線型作用素せんけいさようそlinear operatorとは何なにか

date2026-07-14document_iddoc_590d15ef851aa7698a138004013bc18edescription線型作用素とは何かを、写像・線型性・恒等作用素・零作用素・和・定数倍・合成から証明つきで導入する講義である。prerequisitesベクトル空間 / 写像 / 線型結合type講義content_typelecturestatusactive

mathlinear-operatorlinear-maplecture

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、作用素さようそoperatorを「名前なまえのついた計算手順けいさんてじゅん」ではなく、「ある空間くうかんの元げんを、別べつの空間くうかんの元げんへ送おくる写像しゃぞう」として読よむことを説明せつめいする。

微分びぶん、積分せきぶん、列れつのシフト、行列ぎょうれつによる変換へんかんは見みた目めが異ことなる。しかし、どれも

L : V \to W

という写像しゃぞうとして扱あつかえる。特とくに、足たし算ざんと定数倍ていすうばいを保たもつものが線型作用素せんけいさようそlinear operatorである。

2定義ていぎ

$K$ を体たいfield、 $V, W$ を $K$ 上うえのベクトル空間くうかんvector spaceとする。

作用素さようそoperatorとは、この講義こうぎでは広ひろく

L : V \to W

という写像しゃぞうをいう。 $V = W$ のように、同おなじ空間くうかんを自分自身じぶんじしんへ送おくる場合ばあいに「作用素さようそ」という言葉ことばを特とくによく使つかう。

線型作用素せんけいさようそlinear operatorとは、任意にんいの $x_{1}, x_{2} \in V$ と任意にんいの $α, β \in K$ について

L (α x_{1} + β x_{2}) = α L x_{1} + β L x_{2}

を満みたす写像しゃぞう $L : V \to W$ である。

ここで $L x$ は $L (x)$ と同おなじ意味いみである。行列ぎょうれつのように作用さようさせる書かき方かたをしているだけで、写像しゃぞうとしての意味いみは $L (x)$ と変かわらない。

3方針ほうしん

作用素さようそを見みたら、まず次つぎを確認かくにんする。

入力にゅうりょくの空間くうかん $V$ は何なにか。
出力しゅつりょくの空間くうかん $W$ は何なにか。
$L (α x + β z) = α L x + β L z$ が成立せいりつするか。

この順序じゅんじょを固定こていする理由りゆうは、線型性せんけいせいが「式しきの形かたち」だけではなく、定義域ていぎいきと終域しゅういきにも依存いぞんするからである。たとえば微分作用素びぶんさようそは、微分びぶんできる関数かんすうを入力にゅうりょくにしなければ定義ていぎできない。

4命題めいだい 1：恒等作用素こうとうさようそidentity operatorと零作用素れいさようそzero operatorは線型せんけいである

4.1主張しゅちょう

$V$ 上じょうの恒等作用素こうとうさようそidentity operator $I : V \to V$ を

I x = x

で定義ていぎする。このとき $I$ は線型せんけいである。

また、 $V$ から $W$ への零作用素れいさようそzero operator $0 : V \to W$ を

0 (x) = 0_{W}

で定義ていぎする。このとき $0$ も線型せんけいである。

4.2証明しょうめい

$x_{1}, x_{2} \in V$ 、 $α, β \in K$ とする。恒等作用素こうとうさようそについては

I (α x_{1} + β x_{2}) = α x_{1} + β x_{2} = α I x_{1} + β I x_{2}

である。したがって $I$ は線型せんけいである。

零作用素れいさようそについては

0 (α x_{1} + β x_{2}) = 0_{W}

である。一方いっぽう、 $W$ はベクトル空間くうかんなので

α 0_{W} + β 0_{W} = 0_{W}

である。したがって

0 (α x_{1} + β x_{2}) = α 0 (x_{1}) + β 0 (x_{2})

であり、 $0$ は線型せんけいである。

5命題めいだい 2：線型作用素せんけいさようそlinear operatorの和わと定数倍ていすうばいは線型せんけいである

5.1主張しゅちょう

$S, T : V \to W$ が線型作用素せんけいさようそlinear operatorで、 $a, b \in K$ とする。このとき

a S + b T : V \to W, (a S + b T) (x) = a S x + b T x

も線型作用素せんけいさようそlinear operatorである。

5.2証明しょうめい

$x_{1}, x_{2} \in V$ 、 $α, β \in K$ とする。 $S, T$ の線型性せんけいせいより

\begin{aligned} (aS+bT)(\alpha x_1+\beta x_2) &=aS(\alpha x_1+\beta x_2)+bT(\alpha x_1+\beta x_2)\\ &=a(\alpha Sx_1+\beta Sx_2)+b(\alpha Tx_1+\beta Tx_2)\\ &=\alpha(aSx_1+bTx_1)+\beta(aSx_2+bTx_2)\\ &=\alpha(aS+bT)(x_1)+\beta(aS+bT)(x_2). \end{aligned}\begin{aligned} (aS+bT)(\alpha x_1+\beta x_2) &=aS(\alpha x_1+\beta x_2)+bT(\alpha x_1+\beta x_2)\\ &=a(\alpha Sx_1+\beta Sx_2)+b(\alpha Tx_1+\beta Tx_2)\\ &=\alpha(aSx_1+bTx_1)+\beta(aSx_2+bTx_2)\\ &=\alpha(aS+bT)(x_1)+\beta(aS+bT)(x_2). \end{aligned}

したがって $a S + b T$ は線型せんけいである。

ここで $S$ と $T$ は同おなじ定義域ていぎいき $V$ と同おなじ終域しゅういき $W$ を持もつ必要ひつようがある。 $S x$ と $T x$ を足たすには、どちらも $W$ の元げんでなければならない。

6命題めいだい 3：線型作用素せんけいさようそlinear operatorの合成ごうせいは線型せんけいである

6.1主張しゅちょう

$A : U \to V$ と $B : V \to W$ が線型作用素せんけいさようそlinear operatorなら、合成ごうせい

B \circ A : U \to W, (B \circ A) (u) = B (A u)

も線型作用素せんけいさようそlinear operatorである。

6.2証明しょうめい

$u_{1}, u_{2} \in U$ 、 $α, β \in K$ とする。まず $A$ の線型性せんけいせいから

A (α u_{1} + β u_{2}) = α A u_{1} + β A u_{2}

である。これに $B$ を作用さようさせ、 $B$ の線型性せんけいせいを使つかうと

\begin{aligned} (B\circ A)(\alpha u_1+\beta u_2) &=B(A(\alpha u_1+\beta u_2))\\ &=B(\alpha Au_1+\beta Au_2)\\ &=\alpha B(Au_1)+\beta B(Au_2)\\ &=\alpha(B\circ A)(u_1)+\beta(B\circ A)(u_2). \end{aligned}\begin{aligned} (B\circ A)(\alpha u_1+\beta u_2) &=B(A(\alpha u_1+\beta u_2))\\ &=B(\alpha Au_1+\beta Au_2)\\ &=\alpha B(Au_1)+\beta B(Au_2)\\ &=\alpha(B\circ A)(u_1)+\beta(B\circ A)(u_2). \end{aligned}

したがって $B \circ A$ は線型せんけいである。

合成ごうせいでは順序じゅんじょに注意ちゅういする。 $B \circ A$ は「先さきに $A$ 、次つぎに $B$ 」である。また、 $A$ の出力しゅつりょくが $B$ の入力にゅうりょくとして使つかえるように、 $A : U \to V$ 、 $B : V \to W$ という型かたが合あっている必要ひつようがある。

7例れい：微分作用素びぶんさようそと差分作用素さぶんさようそ

たとえば、微分作用素びぶんさようそ

D : C^{1} [a, b] \to C [a, b], D f = f^{'}

は線型せんけいである。実際じっさい、

D (α f + β g) = (α f + β g)^{'} = α f^{'} + β g^{'} = α D f + β D g

である。

また、列れつ $a = (a_{n})$ に対たいするシフト作用素さようそshift operator $E$ を

(E a)_{n} = a_{n + 1}

と定義ていぎすると、 $E$ は線型せんけいである。さらに $I$ も線型せんけいなので、命題めいだい 2 により

Δ = E - I

も線型せんけいである。これが差分作用素さぶんさようそdifference operatorである。

8どこまで成立せいりつするか

このページの命題めいだいは、有限次元ゆうげんじげんに限かぎらず、任意にんいのベクトル空間くうかんで成立せいりつする。ただし、微分作用素びぶんさようそや積分作用素せきぶんさようそのような関数空間上かんすうくうかんじょうの作用素さようそでは、どの関数空間かんすうくうかんを定義域ていぎいきと終域しゅういきにするかを明示めいじする必要ひつようがある。

9次つぎに読よむページ

線型作用素せんけいさようその方程式ほうていしき $L x = y$ を扱あつかうには、核かくkernelと像ぞうimageを導入どうにゅうする。

data/lecture/math/linear-operator/linear-operator-equation-basics.lecture.n.md

10一言ひとことでいうと

線型作用素せんけいさようそlinear operatorとは、線型結合せんけいけつごうを保たもつ写像しゃぞうである。和わ、定数倍ていすうばい、合成ごうせいで閉とじるため、複雑ふくざつな作用素さようそを基本的きほんてきな作用素さようそから組くみ立たてられる。