作用素さようその線型性せんけいせい証明しょうめい

date2026-07-14document_iddoc_6f5323a1677e868efda404a52221aa68description行列作用素・乗法作用素・微分作用素・積分作用素・シフト作用素・遅延作用素・差分作用素・畳み込み作用素・射影作用素が線型であることを、定義域と終域を明示して証明する講義である。prerequisites線型作用素 / 基本作用素の例 / 作用素カタログtype講義content_typelecturestatusactive

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1導入どうにゅう

このページの目的もくてきは、作用素さようその名前なまえを見みて「これは線型せんけいだ」と決きめつけないことである。

線型作用素せんけいさようそであることを使つかうには、必かならず

L (α x + β z) = α L x + β L z

を確認かくにんする。特とくに関数かんすうや数列すうれつの作用素さようそでは、定義域ていぎいきと終域しゅういきを決きめないと、この式しきの意味いみも決きまらない。

このページでは、典型的てんけいてきな作用素さようそについて

定義域ていぎいきと終域しゅういきを書かく。
任意にんいの 2 つの入力にゅうりょくと 2 つのスカラーを取とる。
定義ていぎを代入だいにゅうする。
足たし算ざんとスカラー倍ばいを外そとへ出だす。

という順序じゅんじょで線型性せんけいせいを証明しょうめいする。

data/lecture/math/linear-operator/introduction-to-linear-operators.lecture.n.md

2命題めいだい 1：行列作用素ぎょうれつさようそmatrix operatorは線型せんけいである

2.1設定せってい

$A$ を $m \times n$ 行列ぎょうれつとする。

L_{A} : K^{n} \to K^{m}, L_{A} x = A x

で定義ていぎされる作用素さようそを考かんがえる。

2.2証明しょうめい

$x, z \in K^{n}$ 、 $α, β \in K$ とする。 $A = (a_{i j})$ と書かくと、 $A (α x + β z)$ の $i$ 成分せいぶんは

\begin{aligned} \sum_{j=1}^n a_{ij}(\alpha x_j+\beta z_j) &=\alpha\sum_{j=1}^n a_{ij}x_j +\beta\sum_{j=1}^n a_{ij}z_j\\ &=(\alpha Ax+\beta Az)_i \end{aligned}\begin{aligned} \sum_{j=1}^n a_{ij}(\alpha x_j+\beta z_j) &=\alpha\sum_{j=1}^n a_{ij}x_j +\beta\sum_{j=1}^n a_{ij}z_j\\ &=(\alpha Ax+\beta Az)_i \end{aligned}

である。すべての成分せいぶんで等ひとしいので

A (α x + β z) = α A x + β A z

である。したがって

L_{A} (α x + β z) = α L_{A} x + β L_{A} z

であり、 $L_{A}$ は線型せんけいである。□

2.3方程式ほうていしきとしての例れい

L_{A} x = b

は、ふつうの連立一次方程式れんりついちじほうていしき $A x = b$ である。核かくは $A x = 0$ の解集合かいしゅうごう、像ぞうは $A$ の列空間れつくうかんである。

3命題めいだい 2：乗法作用素じょうほうさようそmultiplication operatorは線型せんけいである

3.1設定せってい

$X$ を集合しゅうごう、 $V$ を $X$ から $K$ への関数かんすう全体ぜんたいのベクトル空間くうかんとする。1 つの関数かんすう $m : X \to K$ を固定こていし、

(M_{m} f) (t) = m (t) f (t)

で $M_{m} : V \to V$ を定義ていぎする。

3.2証明しょうめい

$f, g \in V$ 、 $α, β \in K$ とする。任意にんいの $t \in X$ について

\begin{aligned} (M_m(\alpha f+\beta g))(t) &=m(t)(\alpha f(t)+\beta g(t))\\ &=\alpha m(t)f(t)+\beta m(t)g(t)\\ &=(\alpha M_mf+\beta M_mg)(t). \end{aligned}\begin{aligned} (M_m(\alpha f+\beta g))(t) &=m(t)(\alpha f(t)+\beta g(t))\\ &=\alpha m(t)f(t)+\beta m(t)g(t)\\ &=(\alpha M_mf+\beta M_mg)(t). \end{aligned}

すべての $t$ で等ひとしいので

M_{m} (α f + β g) = α M_{m} f + β M_{m} g

である。したがって $M_{m}$ は線型せんけいである。□

3.3具体例ぐたいれい

$X = R$ 、 $m (t) = t$ とすると

(M_{m} f) (t) = t f (t)

である。これは「点てん $t$ ごとに $t$ 倍ばいする」作用素さようそであり、微分びぶんのように別べつの点てんの値あたいを混まぜない。

4命題めいだい 3：微分作用素びぶんさようそdifferential operatorは線型せんけいである

4.1設定せってい

区間くかん $[a, b]$ 上うえの $C^{1}$ 関数かんすう全体ぜんたいを $C^{1} [a, b]$ 、連続れんぞく関数かんすう全体ぜんたいを $C [a, b]$ とする。

D : C^{1} [a, b] \to C [a, b], D f = f^{'}

を考かんがえる。

4.2証明しょうめい

$f, g \in C^{1} [a, b]$ 、 $α, β \in K$ とする。任意にんいの内点ないてん $x \in (a, b)$ について、導関数どうかんすうの定義ていぎから

\begin{aligned} (\alpha f+\beta g)'(x) &=\lim_{h\to0} \frac{(\alpha f+\beta g)(x+h)-(\alpha f+\beta g)(x)}{h}\\ &=\lim_{h\to0} \left( \alpha\frac{f(x+h)-f(x)}{h} +\beta\frac{g(x+h)-g(x)}{h} \right)\\ &=\alpha f'(x)+\beta g'(x). \end{aligned}\begin{aligned} (\alpha f+\beta g)'(x) &=\lim_{h\to0} \frac{(\alpha f+\beta g)(x+h)-(\alpha f+\beta g)(x)}{h}\\ &=\lim_{h\to0} \left( \alpha\frac{f(x+h)-f(x)}{h} +\beta\frac{g(x+h)-g(x)}{h} \right)\\ &=\alpha f'(x)+\beta g'(x). \end{aligned}

したがって

D (α f + β g) = α D f + β D g

である。よって $D$ は線型せんけいである。□

4.3具体例ぐたいれい

D f = q

は $f^{'} = q$ である。特殊解とくしゅかいを 1 つ見みつけても、定数関数ていすうかんすうを足たしてよい。理由りゆうは $\ker D$ が定数関数ていすうかんすうだからである。

5命題めいだい 4：積分作用素せきぶんさようそintegral operator $J$ は線型せんけいである

5.1設定せってい

J : C [a, b] \to C^{1} [a, b], (J f) (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t

を考かんがえる。

5.2証明しょうめい

$f, g \in C [a, b]$ 、 $α, β \in K$ とする。任意にんいの $x \in [a, b]$ について

\begin{aligned} J(\alpha f+\beta g)(x) &=\int_a^x(\alpha f(t)+\beta g(t))\,dt\\ &=\alpha\int_a^x f(t)\,dt+\beta\int_a^x g(t)\,dt\\ &=(\alpha Jf+\beta Jg)(x). \end{aligned}\begin{aligned} J(\alpha f+\beta g)(x) &=\int_a^x(\alpha f(t)+\beta g(t))\,dt\\ &=\alpha\int_a^x f(t)\,dt+\beta\int_a^x g(t)\,dt\\ &=(\alpha Jf+\beta Jg)(x). \end{aligned}

したがって $J$ は線型せんけいである。□

5.3具体例ぐたいれい

$J f = F$ が解かいを持もつには、 $F (a) = 0$ が必要ひつようである。これは $J f (a) = 0$ だからである。このように、像ぞうを見みると可解性かかいせいが分わかる。

data/lecture/math/calculus/fundamental-theorem-of-calculus.lecture.n.md

6命題めいだい 5：核関数かくかんすうkernel functionを持もつ積分作用素せきぶんさようそは線型せんけいである

6.1設定せってい

$K (x, t)$ を $[a, b] \times [a, b]$ 上うえの連続れんぞく関数かんすうとする。

T f (x) = \int_{a}^{b} K (x, t) f (t) d t

で $T : C [a, b] \to C [a, b]$ を定義ていぎする。

6.2証明しょうめい

$f, g \in C [a, b]$ 、 $α, β \in K$ とする。任意にんいの $x \in [a, b]$ について

\begin{aligned} T(\alpha f+\beta g)(x) &=\int_a^b K(x,t)(\alpha f(t)+\beta g(t))\,dt\\ &=\alpha\int_a^b K(x,t)f(t)\,dt +\beta\int_a^b K(x,t)g(t)\,dt\\ &=(\alpha Tf+\beta Tg)(x). \end{aligned}\begin{aligned} T(\alpha f+\beta g)(x) &=\int_a^b K(x,t)(\alpha f(t)+\beta g(t))\,dt\\ &=\alpha\int_a^b K(x,t)f(t)\,dt +\beta\int_a^b K(x,t)g(t)\,dt\\ &=(\alpha Tf+\beta Tg)(x). \end{aligned}

したがって $T$ は線型せんけいである。□

6.3注意ちゅうい

ここでの $K (x, t)$ は核関数かくかんすうkernel functionである。 $\ker T$ の核かくkernelとは別べつの用語ようごである。同おなじ語ごが出でても、前者ぜんしゃは積分せきぶんの重おもみ、後者こうしゃは $T f = 0$ となる入力にゅうりょくの集合しゅうごうである。

7命題めいだい 6：シフト作用素さようそshift operatorと遅延作用素ちえんさようそdelay operatorは線型せんけいである

7.1設定せってい

$V = K^{Z}$ を両側りょうがわ数列すうれつ $a = (a_{n})_{n \in Z}$ のベクトル空間くうかんとする。

(E a)_{n} = a_{n + 1}, (R a)_{n} = a_{n - 1}

で前進ぜんしんシフト $E$ と遅延ちえん $R$ を定義ていぎする。

7.2証明しょうめい

$a, b \in V$ 、 $α, β \in K$ とする。任意にんいの $n \in Z$ について

\begin{aligned} (E(\alpha a+\beta b))_n &=(\alpha a+\beta b)_{n+1}\\ &=\alpha a_{n+1}+\beta b_{n+1}\\ &=(\alpha Ea+\beta Eb)_n. \end{aligned}\begin{aligned} (E(\alpha a+\beta b))_n &=(\alpha a+\beta b)_{n+1}\\ &=\alpha a_{n+1}+\beta b_{n+1}\\ &=(\alpha Ea+\beta Eb)_n. \end{aligned}

したがって $E$ は線型せんけいである。同おなじように

\begin{aligned} (R(\alpha a+\beta b))_n &=(\alpha a+\beta b)_{n-1}\\ &=\alpha a_{n-1}+\beta b_{n-1}\\ &=(\alpha Ra+\beta Rb)_n \end{aligned}\begin{aligned} (R(\alpha a+\beta b))_n &=(\alpha a+\beta b)_{n-1}\\ &=\alpha a_{n-1}+\beta b_{n-1}\\ &=(\alpha Ra+\beta Rb)_n \end{aligned}

なので、 $R$ も線型せんけいである。□

7.3片側かたがわ列れつでの注意ちゅうい

片側かたがわ列れつ $a = (a_{0}, a_{1}, \dots)$ では、 $E a = (a_{1}, a_{2}, \dots)$ は自然しぜんに定義ていぎできる。一方いっぽう、 $R a$ を定義ていぎするには $a_{- 1}$ をどう扱あつかうかを決きめる必要ひつようがある。たとえば

(R a)_{0} = 0, (R a)_{n} = a_{n - 1} (n [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"ge\")")] 1)

と置おけば、 $R$ は片側かたがわ列れつの空間くうかんでも線型せんけいになる。

data/lecture/math/sequence/shift-operators-and-recurrences.lecture.n.md

8命題めいだい 7：差分作用素さぶんさようそdifference operatorは線型せんけいである

8.1設定せってい

数列すうれつの空間くうかんで

Δ = E - I

と定義ていぎする。つまり

(Δ a)_{n} = a_{n + 1} - a_{n}

である。

8.2証明しょうめい

$E$ と $I$ は線型せんけいである。線型作用素せんけいさようその和わと定数倍ていすうばいは線型せんけいなので、

Δ = E - I

も線型せんけいである。

直接ちょくせつ確たしかめるなら、任意にんいの $n$ について

\begin{aligned} (\Delta(\alpha a+\beta b))_n &=(\alpha a+\beta b)_{n+1}-(\alpha a+\beta b)_n\\ &=\alpha(a_{n+1}-a_n)+\beta(b_{n+1}-b_n)\\ &=(\alpha\Delta a+\beta\Delta b)_n \end{aligned}\begin{aligned} (\Delta(\alpha a+\beta b))_n &=(\alpha a+\beta b)_{n+1}-(\alpha a+\beta b)_n\\ &=\alpha(a_{n+1}-a_n)+\beta(b_{n+1}-b_n)\\ &=(\alpha\Delta a+\beta\Delta b)_n \end{aligned}

である。□

8.3具体例ぐたいれい

Δ a = c

は

a_{n + 1} - a_{n} = c_{n}

である。これは差さが与あたえられた数列すうれつを復元ふくげんする問題もんだいで、和わを取とると解とける。

9命題めいだい 8：畳たたみ込こみ作用素さようそconvolution operatorは線型せんけいである

9.1設定せってい

まず解析的かいせきてきな収束しゅうそくの問題もんだいを避さけるため、有限台ゆうげんだいの両側りょうがわ数列すうれつの空間くうかん $c_{00} (Z)$ を考かんがえる。固定こていした $h \in c_{00} (Z)$ に対たいして

(C_{h} a)_{n} = \sum_{j \in Z} h_{n - j} a_{j}

で $C_{h} : c_{00} (Z) \to c_{00} (Z)$ を定義ていぎする。これは $h$ との畳たたみ込こみである。有限台ゆうげんだいなので、和わは有限個ゆうげんこの項こうだけである。

9.2証明しょうめい

$a, b \in c_{00} (Z)$ 、 $α, β \in K$ とする。任意にんいの $n$ について

\begin{aligned} (C_h(\alpha a+\beta b))_n &=\sum_j h_{n-j}(\alpha a_j+\beta b_j)\\ &=\alpha\sum_j h_{n-j}a_j+\beta\sum_j h_{n-j}b_j\\ &=(\alpha C_ha+\beta C_hb)_n. \end{aligned}\begin{aligned} (C_h(\alpha a+\beta b))_n &=\sum_j h_{n-j}(\alpha a_j+\beta b_j)\\ &=\alpha\sum_j h_{n-j}a_j+\beta\sum_j h_{n-j}b_j\\ &=(\alpha C_ha+\beta C_hb)_n. \end{aligned}

したがって $C_{h}$ は線型せんけいである。□

9.3変換へんかんとの関係かんけい

畳たたみ込こみ作用素さようそは、Fourier 変換へんかん、Laplace 変換へんかん、Z 変換へんかんで掛かけ算ざんへ移うつる。このため、線型時不変系せんけいじふへんけいの入力にゅうりょくと出力しゅつりょくを調しらべる道具どうぐになる。

10命題めいだい 9：射影作用素しゃえいさようそprojection operatorは線型せんけいである

10.1設定せってい

ベクトル空間くうかん $V$ が 2 つの部分空間ぶぶんくうかん $U, N$ の直和ちょくわとして

V = U \oplus N

と書かけるとする。これは、任意にんいの $x \in V$ がただ 1 つの形かたち

x = u + n, u \in U, n \in N

で書かけるという意味いみである。このとき

P (u + n) = u

で $P : V \to V$ を定義ていぎする。これは $N$ 方向ほうこうを落おとして $U$ 成分せいぶんを取とり出だす射影しゃえいである。

10.2証明しょうめい

$x, z \in V$ とする。直和分解ちょくわぶんかいにより

x = u + n, z = v + m

とただ 1 つに書かける。ただし $u, v \in U$ 、 $n, m \in N$ である。

$U, N$ は部分空間ぶぶんくうかんなので、 $α u + β v \in U$ 、 $α n + β m \in N$ である。したがって

α x + β z = (α u + β v) + (α n + β m)

は直和分解ちょくわぶんかいである。 $P$ の定義ていぎより

\begin{aligned} P(\alpha x+\beta z) &=\alpha u+\beta v\\ &=\alpha P x+\beta P z. \end{aligned}\begin{aligned} P(\alpha x+\beta z) &=\alpha u+\beta v\\ &=\alpha P x+\beta P z. \end{aligned}

したがって $P$ は線型せんけいである。□

10.3核かくと像ぞう

この射影しゃえいについて

Im P = U, \ker P = N

である。また

P^{2} = P

が成立せいりつする。

10.4注意ちゅうい

「 $P^{2} = P$ だから線型せんけい」ではない。射影作用素しゃえいさようそというときは、線型せんけいな写像しゃぞうであり、さらに $P^{2} = P$ を満みたすものを指さす。この順序じゅんじょを逆ぎゃくにしない。

11補足ほそく：Jacobian 行列ぎょうれつは点てんでの線型化せんけいかである

Jacobian 行列ぎょうれつは、非線型写像ひせんけいしゃぞうをそのまま線型作用素せんけいさようそにする道具どうぐではない。

$F : R^{n} \to R^{m}$ が点てん $a$ で微分可能びぶんかのうなとき、

h \mapsto J_{F} (a) h

は増分ぞうぶん $h$ に作用さようする線型写像せんけいしゃぞうである。線型せんけいなのはこの点てん $a$ で固定こていした一次近似いちじきんじであり、 $x \mapsto F (x)$ 全体ぜんたいではない。

この区別くべつを入いれておくと、微分方程式びぶんほうていしきで平衡点へいこうてんの近傍きんぼうを線型化せんけいかするときに、なぜ Jacobian 行列ぎょうれつの固有値こゆうちを見みるのかが自然しぜんに読よめる。

data/lecture/math/multivariable-calculus/tangent-planes-chain-rule-and-jacobian.lecture.n.md

12次つぎに読よむページ

線型性せんけいせいを確認かくにんした後あとは、微分方程式びぶんほうていしき、差分方程式さぶんほうていしき、漸化式ぜんかしきで $L x = y$ の枠組わくぐみがどう使つかわれるかを見みる。

data/lecture/math/linear-operator/linear-operator-equation-applications.lecture.n.md

13一言ひとことでいうと

作用素さようそが線型せんけいかどうかは、名前なまえではなく定義ていぎから証明しょうめいする。関数かんすうなら各点かくてんで確認かくにんし、数列すうれつなら各成分かくせいぶんで確認かくにんし、射影しゃえいなら直和分解ちょくわぶんかいの一意性いちいせいから確認かくにんする。