線型作用素方程式せんけいさようそほうていしきの応用例おうようれい

date2026-07-14document_iddoc_ce3876b6bbdd4c9997beebd27094117adescription線型作用素方程式の見方を、微分方程式・差分方程式・漸化式・固有関数・固有ベクトル・特性方程式へ接続する講義である。prerequisites線型作用素方程式 / 基本作用素の例 / 微分方程式の基本 / 数列と漸化式type講義content_typelecturestatusactive

mathlinear-operatordifferential-equationssequenceeigenvaluelecture

1導入どうにゅう

このページの目的もくてきは、微分方程式びぶんほうていしき、差分方程式さぶんほうていしき、漸化式ぜんかしきを、別々べつべつの公式集こうしきしゅうではなく

L x = y

という線型作用素方程式せんけいさようそほうていしきlinear operator equationとして読よむことである。

ここで大切たいせつなのは、解法名かいほうめいではない。最初さいしょに見みるべきものは

Im L, \ker L

である。右辺うへんが像ぞうに入はいれば解かいが存在そんざいし、解かいが 1 つ見みつかれば残のこりは核かくで決きまる。

なぜ、このような見方みかたを思おもいつくのか。微分方程式びぶんほうていしきでも漸化式ぜんかしきでも、非同次項ひどうじこうがあると解かいを足たし合あわせても同おなじ方程式ほうていしきの解かいにはならない。困こまるのは、非同次項ひどうじこうが重かさなってしまうことである。

そこで解かいを足たすのではなく、解かいどうしの差さを見みる。 $L x_{1} = y$ 、 $L x_{2} = y$ なら

L (x_{1} - x_{2}) = 0

となり、右辺うへんが消きえる。ここで同次方程式どうじほうていしきと核かくが自然しぜんに出でてくる。つまり「特殊解とくしゅかいを 1 つ見みつけ、同次解どうじかいを足たす」という方法ほうほうは、公式こうしきではなく、非同次項ひどうじこうを消けすために差さを取とった結果けっかである。

2例れい 1：一階線型微分方程式いっかいせんけいびぶんほうていしき

微分方程式びぶんほうていしき

y^{'} - k y = q (x)

を考かんがえる。 $D = [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dfrac\")")] d d x$ 、 $I$ を恒等作用素こうとうさようそとすれば

L [y] = q, L = D - k I

という形かたちである。

同次解どうじかいは

L [y] = 0, y^{'} - k y = 0

の解かいである。この方程式ほうていしきは

y = C e^{k x}

を解かいに持もつ。したがって

\ker L = {C e^{k x} ∣ C \in K}

である。

$y_{p}$ が $y^{'} - k y = q (x)$ の特殊解とくしゅかいなら、線型作用素方程式せんけいさようそほうていしきの基本定理きほんていりより

y = y_{p} + C e^{k x}

が一般解いっぱんかいである。

つまり、微分方程式びぶんほうていしきで「同次解どうじかい + 特殊解とくしゅかい」と言いう理由りゆうは、 $x_{p} + \ker L$ の具体例ぐたいれいだからである。

data/lecture/math/differential-equations/first-order-linear-odes-and-integrating-factors.lecture.n.md

3例れい 2：差分方程式さぶんほうていしき

列れつ $a = (a_{n})$ に対たいして

Δ a = b

を考かんがえる。これは

a_{n + 1} - a_{n} = b_{n}

という差分方程式さぶんほうていしきである。

同次方程式どうじほうていしきは

Δ a = 0

であり、これは $a_{n + 1} = a_{n}$ を意味いみする。したがって同次解どうじかいは定数列ていすうれつであり、

\ker Δ = {定数列}

である。

一方いっぽう、特殊解とくしゅかいは和わを取とって

a_{n^{(p)}} = \sum_{j = 0}^{n - 1} b_{j}

と作つくれる。したがって一般解いっぱんかいは

a_{n} = C + \sum_{j = 0}^{n - 1} b_{j}

である。 $C$ が出でる理由りゆうは、 $\ker Δ$ が定数列ていすうれつだからである。

4例れい 3：一次漸化式いちじぜんかしきと平衡解へいこうかい

一次いちじ漸化式ぜんかしき

a_{n + 1} = p a_{n} + q

を考かんがえる。これは非同次ひどうじの更新式こうしんしきである。

値あたいが変かわらない定数列ていすうれつ $a_{n} = α$ を探さがすと

α = p α + q

が必要ひつようである。これは漸化式ぜんかしきにおける平衡解へいこうかいequilibrium solutionであり、固定点こていてんfixed pointとも呼よぶ。

$p \neq 1$ なら

α = \frac{q}{1 - p}

である。この $α$ を引ひくと

a_{n + 1} - α = p (a_{n} - α)

となる。

4.1証明しょうめい

$α = p α + q$ より $q = α - p α$ である。もとの漸化式ぜんかしきから

\begin{aligned} a_{n+1}-\alpha &=pa_n+q-\alpha\\ &=pa_n+(\alpha-p\alpha)-\alpha\\ &=p(a_n-\alpha) \end{aligned}\begin{aligned} a_{n+1}-\alpha &=pa_n+q-\alpha\\ &=pa_n+(\alpha-p\alpha)-\alpha\\ &=p(a_n-\alpha) \end{aligned}

である。したがって、平衡解へいこうかいを引ひくと非同次ひどうじ漸化式ぜんかしきが同次どうじ漸化式ぜんかしきへ帰着きちゃくする。

この変形へんけいは暗記あんきではない。平衡解へいこうかいという特殊解とくしゅかいを 1 つ見みつけて、その周まわりのずれを同次方程式どうじほうていしきで見みる操作そうさである。

data/lecture/math/sequence/first-order-recurrences.lecture.n.md

5例れい 4：固有こゆうベクトルeigenvectorと固有関数こゆうかんすうeigenfunction

作用素さようそ $L$ に対たいして、 $0$ でない $v$ が

L v = λ v

を満みたすとき、 $v$ を固有こゆうベクトルeigenvector、 $λ$ を固有値こゆうちeigenvalueという。

関数空間かんすうくうかんで $0$ でない関数かんすう $ϕ$ が

L ϕ = λ ϕ

を満みたすとき、 $ϕ$ を固有関数こゆうかんすうeigenfunctionという。

たとえば、微分作用素びぶんさようそ $D$ について

D (e^{λ x}) = λ e^{λ x}

である。したがって $e^{λ x}$ は $D$ の固有関数こゆうかんすうである。

また、列れつの空間くうかんで $a_{n} = r^{n}$ とすると

E (r^{n}) = r^{n + 1} = r r^{n}

なので $r^{n}$ はシフト作用素さようそshift operator $E$ の固有列こゆうれつeigen-sequenceである。

この事実じじつが、定数係数ていすうけいすう微分方程式びぶんほうていしきで $e^{λ x}$ を試ためし、定数係数ていすうけいすう漸化式ぜんかしきで $r^{n}$ を試ためす理由りゆうである。作用素さようそを作用さようさせても形かたちが変かわらないため、作用素さようその方程式ほうていしきが数かずの方程式ほうていしきへ落おちる。

data/lecture/math/linear-algebra/eigenvalues-and-eigenvectors.lecture.n.md

6例れい 5：特性方程式とくせいほうていしきcharacteristic equationが出でる理由りゆう

定数係数ていすうけいすう線型せんけい漸化式ぜんかしき

a_{n + 2} = c_{1} a_{n + 1} + c_{2} a_{n}

を考かんがえる。これを

(E^{2} - c_{1} E - c_{2} I) a = 0

と書かく。ここで

P (t) = t^{2} - c_{1} t - c_{2}

と置おけば、方程式ほうていしきは

P (E) a = 0

である。

$a_{n} = r^{n}$ は $E$ の固有列こゆうれつなので

P (E) (r^{n}) = P (r) r^{n}

である。したがって $r^{n}$ が解かいになる条件じょうけんは

P (r) = 0

である。これが特性方程式とくせいほうていしきcharacteristic equationである。

同おなじ考かんがえは、微分作用素びぶんさようそ $D$ に対たいしても成立せいりつする。 $e^{λ x}$ は $D$ の固有関数こゆうかんすうなので

P (D) e^{λ x} = P (λ) e^{λ x}

である。したがって、定数係数ていすうけいすう線型せんけい微分方程式びぶんほうていしきで特性方程式とくせいほうていしきが現あらわれる。

より詳くわしい多項式作用素たこうしきさようそ、固有値問題こゆうちもんだい、同伴行列どうはんぎょうれつは次つぎのページで扱あつかう。

data/lecture/math/linear-operator/polynomial-operators-and-eigenvalue-problems.lecture.n.md

7どこまで成立せいりつするか

このページの議論ぎろんで本質的ほんしつてきなのは線型性せんけいせいである。同次解どうじかいが核かくになり、一般解いっぱんかいが特殊解とくしゅかい + 核かくになることは、任意にんいの線型作用素せんけいさようそで成立せいりつする。

一方いっぽう、特性方程式とくせいほうていしきのように数かずの方程式ほうていしきへ落おとせるのは、 $e^{λ x}$ や $r^{n}$ のような固有関数こゆうかんすう・固有列こゆうれつを使つかえる場合ばあいである。係数けいすうが変数へんすうに依存いぞんする微分方程式びぶんほうていしきや漸化式ぜんかしきでは、作用素さようそが単純たんじゅんな多項式たこうしきとして扱あつかえないことがある。

8一言ひとことでいうと

微分方程式びぶんほうていしき、差分方程式さぶんほうていしき、漸化式ぜんかしきの線型せんけいな部分ぶぶんは、すべて $L x = y$ として読よめる。同次解どうじかいは $\ker L$ 、特殊解とくしゅかいは 1 つの到達点とうたつてん、一般解いっぱんかいは $x_{p} + \ker L$ である。