基本作用素きほんさようその例れい

date2026-07-14document_iddoc_c2525c987c8cf6e09a299793d4c67b58description恒等作用素・零作用素・乗法作用素・微分作用素・積分作用素・シフト作用素を、核・像・線型性から読む具体例集である。prerequisites線型作用素 / 線型作用素方程式 / 微分積分学の基本 / 数列type講義content_typelecturestatusactive

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1導入どうにゅう

このページの目的もくてきは、線型作用素せんけいさようそlinear operatorを抽象的ちゅうしょうてきな記号きごうのままにせず、具体例ぐたいれいで

\ker L, Im L

を読よむ練習れんしゅうをすることである。

方針ほうしんは常つねに同おなじである。

定義域ていぎいきと終域しゅういきを確認かくにんする。
線型性せんけいせいを確認かくにんする。
$\ker L$ と $Im L$ を求もとめる。
$L x = y$ の可解性かかいせいと一意性いちいせいを読よむ。

この順序じゅんじょを選えらぶ理由りゆうは、作用素さようそは見みた目めだけでは危あぶないからである。微分びぶんも積分せきぶんもシフトも、定義域ていぎいきを決きめなければ何なにに作用さようしているかが決きまらない。定義域ていぎいきと終域しゅういきが決きまると、線型性せんけいせいを確認かくにんできる。線型性せんけいせいが確認かくにんできると、解かいの存在そんざいは像ぞう、自由度じゆうどは核かくで読よめる。

つまり、この順序じゅんじょは形式的けいしきてきなチェックリストではない。方程式ほうていしきを解とくために必要ひつような情報じょうほうを、少すくない仮定かていから順じゅんに確定かくていしている。

2例れい 1：恒等作用素こうとうさようそidentity operator

$V$ 上じょうの恒等作用素こうとうさようそidentity operator $I : V \to V$ を

I x = x

で定義ていぎする。 $I$ は何なにも変かえない作用素さようそである。

線型性せんけいせいは

I (α x_{1} + β x_{2}) = α x_{1} + β x_{2} = α I x_{1} + β I x_{2}

から従したがう。

このとき

\ker I = {0}, Im I = V

である。よって

I x = y

は任意にんいの $y \in V$ に対たいして一意いちいに解かいを持もち、その解かいは $x = y$ である。

また、 $I v = 1 \cdot v$ なので、 $0$ でない任意にんいの $v \in V$ は $I$ の固有こゆうベクトルeigenvectorであり、固有値こゆうちは 1 である。

3例れい 2：零作用素れいさようそzero operator

零作用素れいさようそzero operator $0 : V \to W$ を

0 (x) = 0_{W}

で定義ていぎする。これはすべての入力にゅうりょくを $W$ の零元ぜろげんへ送おくる作用素さようそである。

線型性せんけいせいは

0 (α x_{1} + β x_{2}) = 0_{W} = α 0_{W} + β 0_{W} = α 0 (x_{1}) + β 0 (x_{2})

から従したがう。

このとき

\ker 0 = V, Im 0 = {0_{W}}

である。したがって

0 (x) = y

は $y = 0_{W}$ のときだけ解かいを持もつ。 $y = 0_{W}$ なら全すべての $x \in V$ が解かいである。

この例れいは、像ぞうが小ちいさいと解かいが存在そんざいしにくく、核かくが大おおきいと解かいが一意いちいでなくなることを示しめしている。

4例れい 3：乗法作用素じょうほうさようそmultiplication operator

$X$ を集合しゅうごう、 $V$ を $X$ から $K$ への関数かんすう全体ぜんたいの空間くうかんとする。1 つの関数かんすう $g : X \to K$ を固定こていし、乗法作用素じょうほうさようそmultiplication operator $M_{g} : V \to V$ を

(M_{g} f) (t) = g (t) f (t)

で定義ていぎする。

線型性せんけいせいを確認かくにんする。 $f_{1}, f_{2} \in V$ 、 $α, β \in K$ とすると、任意にんいの $t \in X$ について

\begin{aligned} (M_g(\alpha f_1+\beta f_2))(t) &=g(t)(\alpha f_1(t)+\beta f_2(t))\\ &=\alpha g(t)f_1(t)+\beta g(t)f_2(t)\\ &=(\alpha M_gf_1+\beta M_gf_2)(t). \end{aligned}\begin{aligned} (M_g(\alpha f_1+\beta f_2))(t) &=g(t)(\alpha f_1(t)+\beta f_2(t))\\ &=\alpha g(t)f_1(t)+\beta g(t)f_2(t)\\ &=(\alpha M_gf_1+\beta M_gf_2)(t). \end{aligned}

すべての $t$ で等ひとしいので

M_{g} (α f_{1} + β f_{2}) = α M_{g} f_{1} + β M_{g} f_{2}

である。

$M_{g} f = 0$ とは、すべての $t \in X$ で

g (t) f (t) = 0

となることである。したがって $g (t) \neq 0$ の点てんでは $f (t) = 0$ でなければならない。一方いっぽう、 $g (t) = 0$ の点てんでは $f (t)$ は自由じゆうである。

全すべての関数かんすうを許ゆるす空間くうかんでは

Im M_{g} = {h \in V ∣ g (t) = 0 \Rightarrow h (t) = 0}

である。なぜなら、 $h = M_{g} f$ なら $g (t) = 0$ の点てんでは $h (t) = 0$ であり、逆ぎゃくにその条件じょうけんを満みたす $h$ に対たいしては、 $g (t) \neq 0$ で $f (t) = h (t) / g (t)$ 、 $g (t) = 0$ で $f (t) = 0$ と定義ていぎすれば $M_{g} f = h$ となるからである。

5例れい 4：微分作用素びぶんさようそdifferential operator

区間くかん $[a, b]$ 上うえの $C^{1}$ 関数かんすう全体ぜんたいを $C^{1} [a, b]$ 、連続れんぞく関数かんすう全体ぜんたいを $C [a, b]$ とする。微分作用素びぶんさようそdifferential operator

D : C^{1} [a, b] \to C [a, b], D f = f^{'}

を考かんがえる。

線型性せんけいせいは微分びぶんの基本公式きほんこうしきから

D (α f + β g) = (α f + β g)^{'} = α f^{'} + β g^{'} = α D f + β D g

である。

$D f = 0$ は $f^{'} = 0$ を意味いみする。したがって

\ker D = {定数関数}

である。

また、任意にんいの $q \in C [a, b]$ に対たいして

F (x) = \int_{a}^{x} q (t) d t

と置おけば、微分積分学びぶんせきぶんがくの基本定理きほんていりより $F^{'} = q$ である。したがって

Im D = C [a, b]

である。

方程式ほうていしき $D f = q$ 、すなわち $f^{'} = q$ の一般解いっぱんかいは

f (x) = \int_{a}^{x} q (t) d t + C

である。ここで $C$ が出でる理由りゆうは、 $\ker D$ が定数関数ていすうかんすうだからである。

data/lecture/math/calculus/fundamental-theorem-of-calculus.lecture.n.md

6例れい 5：積分作用素せきぶんさようそintegral operator

連続れんぞく関数かんすう $f \in C [a, b]$ に対たいして

(J f) (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t

で定義ていぎされる作用素さようそ $J : C [a, b] \to C^{1} [a, b]$ を考かんがえる。

線型性せんけいせいは積分せきぶんの線型性せんけいせいから

\begin{aligned} J(\alpha f+\beta g)(x) &=\int_a^x(\alpha f(t)+\beta g(t))\,dt\\ &=\alpha\int_a^x f(t)\,dt+\beta\int_a^x g(t)\,dt\\ &=(\alpha Jf+\beta Jg)(x) \end{aligned}\begin{aligned} J(\alpha f+\beta g)(x) &=\int_a^x(\alpha f(t)+\beta g(t))\,dt\\ &=\alpha\int_a^x f(t)\,dt+\beta\int_a^x g(t)\,dt\\ &=(\alpha Jf+\beta Jg)(x) \end{aligned}

である。

$J f = 0$ なら、すべての $x$ で $\int_{a}^{x} f (t) d t = 0$ である。これを $x$ で微分びぶんすると $f (x) = 0$ である。したがって

\ker J = {0}

であり、 $J$ は単射たんしゃである。

像ぞうは

Im J = {F \in C^{1} [a, b] ∣ F (a) = 0}

である。実際じっさい、 $F = J f$ なら $F (a) = \int_{a}^{a} f (t) d t = 0$ である。逆ぎゃくに $F \in C^{1} [a, b]$ かつ $F (a) = 0$ なら、 $f = F^{'}$ と置おけば

J f (x) = \int_{a}^{x} F^{'} (t) d t = F (x) - F (a) = F (x)

である。

したがって $J f = F$ が解かいを持もつ条件じょうけんは $F (a) = 0$ であり、解かいがあるときは一意いちいで $f = F^{'}$ である。

7例れい 6：シフト作用素さようそshift operatorと差分作用素さぶんさようそdifference operator

片側かたがわ列れつ $a = (a_{0}, a_{1}, a_{2}, \dots)$ の空間くうかんを考かんがえる。シフト作用素さようそshift operator $E$ を

(E a)_{n} = a_{n + 1}

で定義ていぎする。

線型性せんけいせいは

(E (α a + β b))_{n} = α a_{n + 1} + β b_{n + 1} = (α E a + β E b)_{n}

から従したがう。

$E a = 0$ とは $a_{n + 1} = 0$ がすべての $n [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"ge\")")] 0$ で成立せいりつすることである。したがって

\ker E = {(a_{0}, 0, 0, \dots) ∣ a_{0} \in K}

である。像ぞうは片側かたがわ列れつの全体ぜんたいである。なぜなら、任意にんいの $b = (b_{0}, b_{1}, \dots)$ に対たいして、 $a_{n + 1} = b_{n}$ と置おけば $E a = b$ であり、 $a_{0}$ は自由じゆうに選えらべるからである。

さらに

Δ = E - I

で定義ていぎされる作用素さようそを差分作用素さぶんさようそdifference operatorという。このとき

(Δ a)_{n} = a_{n + 1} - a_{n}

である。 $Δ a = 0$ は $a_{n + 1} = a_{n}$ を意味いみするので、

\ker Δ = {定数列}

である。

方程式ほうていしき $Δ a = b$ は

a_{n + 1} - a_{n} = b_{n}

であり、和わを取とると

a_{n} = a_{0} + \sum_{j = 0}^{n - 1} b_{j}

となる。ここで $a_{0}$ が任意にんいに残のこる理由りゆうは、 $\ker Δ$ が定数列ていすうれつだからである。

data/lecture/math/sequence/shift-operators-and-recurrences.lecture.n.md

8次つぎに読よむページ

このページでは作用素さようそごとに $\ker L$ と $Im L$ を見みた。次つぎは、畳たたみ込こみ作用素さようそ、遅延作用素ちえんさようそ、射影作用素しゃえいさようそまで含ふくめて、典型形てんけいけいと対応たいおうしやすい変換へんかんを整理せいりする。

data/lecture/math/linear-operator/operator-catalog-foundations.lecture.n.md

種類しゅるいを増ふやした後あとは、それぞれが本当ほんとうに線型せんけいであることを定義ていぎから確たしかめる。

data/lecture/math/linear-operator/proving-operator-linearity.lecture.n.md

微分方程式びぶんほうていしきや数列すうれつの解法かいほうが、どのように $L x = y$ の構造こうぞうへ戻もどるかも確認かくにんする。

data/lecture/math/linear-operator/linear-operator-equation-applications.lecture.n.md

9一言ひとことでいうと

作用素さようその見みた目めが変かわっても、読よむべき対象たいしょうは同おなじである。解かいが存在そんざいするかは像ぞう、自由度じゆうどは核かくで決きまる。