作用素さようそカタログ：基礎編きそへん

date2026-07-08document_iddoc_d820201277dfa8e700d930033686b0c2description乗法作用素・微分作用素・シフト作用素・遅延作用素・積分作用素・畳み込み作用素・射影作用素を、意味と変換との相性から整理する講義である。prerequisites線型作用素 / 基本作用素の例 / 微分積分学の基本 / 数列type講義content_typelecturestatusactive

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1導入どうにゅう

このページの目的もくてきは、作用素さようその名前なまえを暗記あんきすることではない。どの作用素さようそが「何なにをしているのか」を見みて、核かく・像ぞう・固有関数こゆうかんすう・変換へんかんのどれで扱あつかうと自然しぜんかを判断はんだんすることである。

方針ほうしんは次つぎである。

典型形てんけいけいを見みる。
何なにを変かえる作用素さようそかを言葉ことばで読よむ。
対応たいおうしやすい変換へんかんを確認かくにんする。

data/lecture/math/linear-operator/basic-operator-examples.lecture.n.md

2一覧いちらん

作用素さようそ	典型形てんけいけい	意味いみ	対応たいおうしやすい変換へんかん
乗法作用素じょうほうさようそmultiplication operator	$(M_{m} f) (x) = m (x) f (x)$	点てんごとに倍率ばいりつを変かえる	そのまま扱あつかいやすい。Fourier 変換へんかんでは畳たたみ込こみと関係かんけいする
微分作用素びぶんさようそdifferential operator	$D f = f^{'}, D^{2} f = f^{'}'$	変化率へんかりつ・曲率きょくりつを見みる	Fourier, Laplace
シフト作用素さようそshift operator	$(E x) [n] = x [n + 1]$	列れつを前まえへ 1 歩ほずらす	Z-transform, discrete-time Fourier transform
遅延作用素ちえんさようそdelay operator	$(R x) [n] = x [n - 1]$ , $(R_{a} f) (t) = f (t - a)$	入力にゅうりょくを遅おくらせる	Z-transform, Laplace
積分作用素せきぶんさようそintegral operator	$(K f) (x) = \int K (x, y) f (y) d y$	平均化へいきんか・重かさね合あわせ	Fourier, eigenfunction expansion
畳たたみ込こみ作用素Convolution operator	$C_{h} f = h * f$	LTI system の応答おうとう	Fourier, Laplace, Z
射影作用素しゃえいさようそprojection operator	$P^{2} = P$	成分せいぶんを取とり出だす	直交分解ちょっこうぶんかい, Fourier expansion

3乗法作用素じょうほうさようそmultiplication operator

(M_{m} f) (x) = m (x) f (x)

は、各点かくてん $x$ で値あたいを $m (x)$ 倍ばいする作用素さようそである。 $m (x)$ が 0 になる点てんでは、その点てんの情報じょうほうが消きえる。核かくを調しらべるときは、 $m (x) = 0$ の集合しゅうごうを見みる。

乗法作用素じょうほうさようそを見みるときの発想はっそうは、「空間全体くうかんぜんたいを混まぜているのか、それとも点てんごとに処理しょりしているのか」である。 $M_{m}$ は点てんごとの操作そうさなので、微分びぶんや積分せきぶんより局所的きょくしょてきである。

4微分作用素びぶんさようそdifferential operator

D f = f^{'}

は変化率へんかりつを取とる作用素さようそである。さらに

D^{2} f = f^{'}'

のような二階微分にかいびぶんは、曲まがり方かたや拡散かくさん・波動はどうの式しきに現あらわれる。

微分作用素びぶんさようそに Fourier 変換へんかんや Laplace 変換へんかんが効ききやすい理由りゆうは、指数関数しすうかんすうが微分びぶんしても形かたちを変かえないからである。たとえば

D (e^{λ x}) = λ e^{λ x}

である。したがって、微分作用素びぶんさようそは指数関数しすうかんすうの基底きていで見みると、掛かけ算ざんに変かわる。

5シフト作用素さようそshift operatorと遅延作用素ちえんさようそdelay operator

離散時間りさんじかんで

(E x) [n] = x [n + 1]

は前進ぜんしんシフトである。一方いっぽう、

(R x) [n] = x [n - 1]

は遅延ちえんである。

連続時間れんぞくじかんで「 $a$ だけ遅おくらせ、 $t < a$ では 0 にする」因果的いんがてきな遅延ちえんを表あらわすときは、Heaviside 単位たんいステップ関数かんすうHeaviside unit step function $H$ を用もちいて

(R_{a} f) (t) = f (t - a) H (t - a)

と書かくことがある。

Z 変換へんかんでは、両側りょうがわ変換へんかんなら

E \mapsto z, R \mapsto z^{- 1}

と対応たいおうする。片側かたがわ Z 変換へんかんでは、初期項しょきこうが追加ついかで現あらわれる。

data/lecture/math/analysis/introduction-to-z-transform.lecture.n.md

6積分作用素せきぶんさようそintegral operator

一般いっぱんの積分作用素せきぶんさようそは

(K f) (x) = \int K (x, y) f (y) d y

の形かたちで現あらわれる。ここで $K (x, y)$ を核関数かくかんすうkernel functionという。同おなじ「核かく」という日本語にほんごでも、 $\ker L$ の kernel と $K (x, y)$ の kernel function は文脈ぶんみゃくが違ちがうので混同こんどうしない。

積分作用素せきぶんさようそは、 $f (y)$ の値あたいを $K (x, y)$ で重おもみ付づけして集あつめ、 $x$ の値あたいを作つくる。平均化へいきんか、平滑化へいかつか、過去かこの履歴りれきの重かさね合あわせなどに現あらわれる。

7畳たたみ込こみ作用素Convolution operator

畳たたみ込こみは、関数空間かんすうくうかんや収束条件しゅうそくじょうけんを決きめないと厳密げんみつな意味いみが定さだまらない。ここでは安全あんぜんな設定せっていとして、 $C_{c} (R)$ を「連続れんぞくで、ある有限区間ゆうげんくかんの外そとでは 0 になる関数かんすう」全体ぜんたいとする。

$h \in C_{c} (R)$ を固定こていし、

(C_{h} f) (t) = (h * f) (t) = \int_{- \infty}^{\infty} h (t - τ) f (τ) d τ

で

C_{h} : C_{c} (R) \to C_{c} (R)

を定義ていぎする。このような作用素さようそを畳たたみ込こみ作用素さようそという。

7.1命題めいだい： $C_{h}$ は線型せんけいである

7.2証明しょうめい

$f, g \in C_{c} (R)$ とスカラー $α, β$ に対たいして

\begin{aligned} C_h(\alpha f+\beta g)(t) &=\int_{-\infty}^{\infty} h(t-\tau)(\alpha f(\tau)+\beta g(\tau))\,d\tau\\ &=\alpha\int_{-\infty}^{\infty} h(t-\tau)f(\tau)\,d\tau +\beta\int_{-\infty}^{\infty} h(t-\tau)g(\tau)\,d\tau\\ &=\alpha C_hf(t)+\beta C_hg(t) \end{aligned}\begin{aligned} C_h(\alpha f+\beta g)(t) &=\int_{-\infty}^{\infty} h(t-\tau)(\alpha f(\tau)+\beta g(\tau))\,d\tau\\ &=\alpha\int_{-\infty}^{\infty} h(t-\tau)f(\tau)\,d\tau +\beta\int_{-\infty}^{\infty} h(t-\tau)g(\tau)\,d\tau\\ &=\alpha C_hf(t)+\beta C_hg(t) \end{aligned}

である。したがって $C_{h}$ は線型せんけいである。□

畳たたみ込こみが重要じゅうようなのは、線型時不変系けいlinear time-invariant systemの出力しゅつりょくが「入力にゅうりょくとインパルス応答おうとうの畳たたみ込こみ」として表あらわされるからである。Fourier, Laplace, Z 変換へんかんでは、畳たたみ込こみが積せきへ変かわる。

8射影作用素しゃえいさようそprojection operator

P^{2} = P

を満みたす線型作用素せんけいさようそ $P$ を射影作用素しゃえいさようそprojection operatorという。 $P$ は「一度いちど取とり出だした成分せいぶんを、もう一度いちど取とり出だしても変かわらない」作用素さようそである。

8.1命題めいだい： $P^{2} = P$ なら $V = Im P \oplus \ker P$

8.2証明しょうめい

任意にんいの $x \in V$ に対たいして

x = P x + (x - P x)

と分解ぶんかいする。 $P x \in Im P$ である。また

P (x - P x) = P x - P^{2} x = P x - P x = 0

なので $x - P x \in \ker P$ である。したがって $V = Im P + \ker P$ である。

さらに $v \in Im P \cap \ker P$ とする。 $v \in Im P$ だから $v = P u$ と書かける。一方いっぽう、 $v \in \ker P$ なので $P v = 0$ である。しかし

P v = P (P u) = P^{2} u = P u = v

でもある。したがって $v = 0$ である。よって共通部分きょうつうぶぶんは ${0}$ であり、

V = Im P \oplus \ker P

である。□

この命題めいだいは、射影しゃえいを「成分せいぶんを取とり出だす操作そうさ」として見みる理由りゆうである。残のこりの成分せいぶんは $\ker P$ に入はいる。

9次つぎに読よむページ

このページで挙あげた作用素さようそについて、定義域ていぎいきと終域しゅういきを明示めいじし、線型性せんけいせいを定義ていぎから証明しょうめいする。

data/lecture/math/linear-operator/proving-operator-linearity.lecture.n.md

10一言ひとことでいうと

作用素さようその種類しゅるいを見みたら、典型形てんけいけい、意味いみ、対応たいおうしやすい変換へんかんを確認かくにんする。微分びぶんは Fourier・Laplace、シフトと遅延ちえんは Z、畳たたみ込こみは Fourier・Laplace・Z で扱あつかいやすい。