フーリエ変換へんかんの基礎きそ

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、時間領域じかんりょういきの関数かんすうを周波数成分しゅうはすうせいぶんの複素振幅ふくそしんぷくとして表現ひょうげんするフーリエ変換へんかんを説明せつめいする。反転定理はんてんていりによる復元ふくげんと微分則びぶんそくを通つうじて、時間領域じかんりょういきと周波数領域しゅうはすうりょういきの対応たいおうを明確めいかくにする。

2Schwartz 関数かんすうと変換規約へんかんきやく

この講義こうぎでは、収束しゅうそくの問題もんだいを曖昧あいまいにしないため、まず Schwartz 関数かんすうSchwartz functionを扱あつかう。これは無限回微分可能むげんかいびぶんかのうであり、どの非負整数ひふせいすう $$m,n$$m,n に対たいしても

となる関数かんすうである。関数かんすうとすべての導関数どうかんすうが、任意にんいの多項式たこうしきの逆数ぎゃくすうよりも急速きゅうそくに 0 へ収束しゅうそくすることを意味いみする。この関数かんすうの集合しゅうごうを $$\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("mathcal")")]}S\left(\mathbb{R}\right)$$\mathcal S(\mathbb R) と表あらわす。

$$f,g\in \text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("mathcal")")]}S\left(\mathbb{R}\right)$$f,g\in\mathcal S(\mathbb R) に対たいする フーリエ変換へんかんFourier transform $$\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("mathcal")")]}F$$\mathcal F と逆ぎゃくフーリエ変換へんかん $$\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("mathcal")")]}{F}^{-1}$$\mathcal F^{-1} を

と定義ていぎする。$$\omega$$\omega は角周波数かくしゅうはすうangular frequencyであり、通常つうじょうの周波数しゅうはすう $$\nu$$\nu とは $$\omega =2\pi \nu$$\omega=2\pi\nu の関係かんけいにある。時間じかんを秒びょうで測定そくていするとき、$$\nu$$\nu の単位たんいは Hz、$$\omega$$\omega の単位たんいは rad/s である。通信工学つうしんこうがくの Hz 規約きやくでは

と定義ていぎし、$X\left(\nu \right)=X_{\omega }\left(2\pi \nu \right)$X(\nu)=X_\omega(2\pi\nu) が成立せいりつする。指数しすうの符号ふごうや $$2\pi$$2\pi の配置はいちには別べつの規約きやくもあるため、正変換せいへんかんと逆変換ぎゃくへんかんを一組ひとくみで明示めいじする。

3フーリエ反転はんてん

フーリエ反転定理はんてんていり $$f\in \text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("mathcal")")]}S\left(\mathbb{R}\right)$$f\in\mathcal S(\mathbb R) なら $$\hat{f}\in \text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("mathcal")")]}S\left(\mathbb{R}\right)$$\hat f\in\mathcal S(\mathbb R) であり、

が成立せいりつする。標準的ひょうじゅんてきな証明しょうめいでは、逆変換積分ぎゃくへんかんせきぶんへガウス因子いんしを導入どうにゅうして正則化せいそくかする。絶対収束ぜったいしゅうそくにより積分順序せきぶんじゅんじょを交換こうかんすると、$f$f とガウス近似恒等族きんじこうとうぞくの畳たたみ込こみを得える。ガウス関数かんすうの幅はばを 0 へ収束しゅうそくさせると、この畳たたみ込こみは $f$f へ収束しゅうそくする。Schwartz 関数かんすうの急減少性きゅうげんしょうせいが極限きょくげんと積分せきぶんの交換こうかんを正当化せいとうかする。

4音響的おんきょうてきな解釈かいしゃく

音響信号おんきょうしんごうの波形はけいは、時間じかんに対たいする空気圧くうきあつの変動へんどうを表あらわす。フーリエ変換へんかんは、この信号しんごうを各周波数成分かくしゅうはすうせいぶんの複素振幅ふくそしんぷくと位相いそうの分布ぶんぷとして表現ひょうげんする。

5離散直交性りさんちょっこうせいと連続変換れんぞくへんかん

ここからは $$e^{i\omega x}$$e^{i\omega x} と複素共役ふくそきょうやくを使用しようする。複素数ふくそすうの極形式きょくけいしきとオイラーの公式こうしきを前提ぜんていとする。

$$e^{i\omega x}$$e^{i\omega x} は角周波数かくしゅうはすう $$\omega$$\omega の複素指数関数ふくそしすうかんすうである。整数せいすう $m,n\in \mathbb{Z}$m,n\in\mathbb Z に対たいし、有限区間ゆうげんくかんのフーリエ級数きゅうすうでは

を計算けいさんすると、

となる。フーリエ級数きゅうすうでは、この直交性ちょっこうせいによって離散的りさんてきな周波数しゅうはすうの係数けいすうを取とり出だす。フーリエ変換へんかんは、その考かんがえを連続れんぞくな角周波数かくしゅうはすうへ移うつし、$$\hat{f}\left(\omega \right)$$\hat f(\omega) を位相いそうも含ふくむ複素振幅ふくそしんぷくの密度みつどとして記述きじゅつする。

その連続版れんぞくばんとして

を定義ていぎする。フーリエ反転定理はんてんていりにより $$\hat{f}$$\hat f から $$f$$f を復元ふくげんできる。したがって「周波数しゅうはすうへ分解ぶんかいする」は一方向いちほうこうの比喩ひゆではなく、$$f$$f と $$\hat{f}$$\hat f の間あいだを往復おうふくできる対応たいおうである。

6微分則びぶんそく

微分びぶんは周波数領域しゅうはすうりょういきで乗算じょうざんに変換へんかんされる。これを部分積分ぶぶんせきぶんによって導出どうしゅつすると、

である。部分積分ぶぶんせきぶんを使つかうと

である。Schwartz 関数かんすうなら $$f,f^{\prime }$$f,f' の積分せきぶんは絶対収束ぜったいしゅうそくし、端はしの項こうも 0 になるので、

を得える。つまり、微分びぶんは周波数領域しゅうはすうりょういきでは $$i\omega$$i\omega を掛かける操作そうさに変かわる。

7Gaussian の例れい

Schwartz 関数かんすうである Gaussian

のフーリエ変換へんかんは

である。したがって、$$x$$x の側がわで局在きょくざいした滑なめらかな山やまは、$$\omega$$\omega の側がわでも Gaussian になる。

この式しきは、$$I\left(\omega \right)={\int }_{\mathbb{R}}{e}^{-x^2}{e}^{-i\omega x}dx$$I(\omega)=\int_{\mathbb R}e^{-x^2}e^{-i\omega x}\,dx と置おけば確たしかめられる。積分せきぶんの中なかを $$\omega$$\omega で微分びぶんし、$$x{e}^{-x^2}=-\frac{1}{2}\frac{d}{dx}{e}^{-x^2}$$xe^{-x^2}=-\frac12\frac{d}{dx}e^{-x^2} を使つかって部分積分ぶぶんせきぶんすると

を得える。ガウス積分せきぶん $$I\left(0\right)={\int }_{\mathbb{R}}{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$$I(0)=\int_{\mathbb R}e^{-x^2}\,dx=\sqrt\pi と合あわせると、$$I\left(\omega \right)=\sqrt{\pi }{e}^{-{\omega }^2/4}$$I(\omega)=\sqrt\pi e^{-\omega^2/4} となる。

8Schwartz 空間外くうかんがいの対象たいしょう

Dirac のデルタ $\delta$\delta は、試験関数しけんかんすう $\phi \in \text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("mathcal")")]}S\left(\mathbb{R}\right)$\varphi\in\mathcal S(\mathbb R) に対たいして $⟨\delta (\omega -a),\phi ⟩=\phi \left(a\right)$\langle\delta(\omega-a),\varphi\rangle=\varphi(a) と作用さようする超関数ちょうかんすうである。緩増加超関数かんぞうかちょうかんすうとは Schwartz 関数かんすう上じょうの連続線形汎関数れんぞくせんけいはんかんすうであり、フーリエ変換へんかんはこの空間くうかんへ拡張かくちょうできる。

$$\cos \left(ax\right)$$\cos(ax) は無限遠むげんえんで減衰げんすいしないため、通常つうじょうのフーリエ積分せきぶんは収束しゅうそくしない。しかし、上記じょうきの抽出特性ちゅうしゅつとくせいをもつデルタを用もちいると、現在げんざいの規約きやくでは緩増加超関数かんぞうかちょうかんすうの等式とうしき

が成立せいりつする。この等式とうしきは、両辺りょうへんを任意にんいの Schwartz 試験関数しけんかんすうへ作用さようさせた結果けっかが一致いっちすることを意味いみし、通常つうじょうの収束積分しゅうそくせきぶんの等式とうしきではない。

$f\in L^1\left(\mathbb{R}\right)$f\in L^1(\mathbb R) なら正変換せいへんかんの積分せきぶんは各かく $\omega$\omega で存在そんざいするが、反転はんてんには追加条件ついかじょうけんが必要ひつようである。一般いっぱんの $L^2\left(\mathbb{R}\right)$L^2(\mathbb R) 関数かんすうでは積分せきぶんが点てんごとに存在そんざいするとは限かぎらず、Plancherel 定理ていりによる一意いちいな $L^2$L^2 拡張かくちょうとして定義ていぎする。

9Plancherel 定理ていり

Plancherel 定理ていりPlancherel theorem Schwartz 関数かんすうでは

が成立せいりつする。これは時間領域じかんりょういきで測はかった二乗積分にじょうせきぶんと、周波数領域しゅうはすうりょういきで測はかった二乗積分にじょうせきぶんが規約きやくの係数けいすうを除のぞいて一致いっちすることを表あらわす。Schwartz 関数かんすうに対たいする証明しょうめいは、反転公式はんてんこうしきを代入だいにゅうして積分順序せきぶんじゅんじょを交換こうかんし、複素共役ふくそきょうやくを含ふくむ内積ないせきを保たもつことから得えられる。さらに Schwartz 関数かんすうが $$L^2\left(\mathbb{R}\right)$$L^2(\mathbb R) で稠密ちゅうみつであることを使つかうと、フーリエ変換へんかんを $$L^2$$L^2 極限きょくげんとして一意いちいに拡張かくちょうできる。

10数学的すうがくてきな解釈かいしゃく

10.1解析学的かいせきがくてきな解釈かいしゃく

微積分びせきぶんが関数かんすうの各点かくてんにおける値あたいと局所変化きょくしょへんかを記述きじゅつするのに対たいし、フーリエ変換へんかんは関数かんすうを周波数成分しゅうはすうせいぶんの重かさね合あわせとして表現ひょうげんする。この表現ひょうげんは波動はどうと信号しんごうの解析かいせきに適てきする。

10.2線形代数せんけいだいすう・行列ぎょうれつによる解釈かいしゃく

有限個ゆうげんこの点てんだけを扱あつかう離散版りさんばんでは、フーリエ変換へんかんは行列ぎょうれつを掛かけることと同おなじである。連続版れんぞくばんでも、反転公式はんてんこうしきと Plancherel 等式とうしきにより「時間領域じかんりょういきの記述きじゅつを連続れんぞくな周波数座標しゅうはすうざひょうの記述きじゅつへ移うつす変換へんかん」と見みられる。ただし $$e^{i\omega x}$$e^{i\omega x} 自体じたいは $$L^2\left(\mathbb{R}\right)$$L^2(\mathbb R) に入はいらないので、通常つうじょうの有限次元基底ゆうげんじげんきていとまったく同おなじではない。

この解釈かいしゃくにより、フーリエ変換へんかんを特殊とくしゅな積分公式せきぶんこうしきではなく、座標変換ざひょうへんかんとして理解りかいできる。

10.3作用素さようそによる解釈かいしゃく

微分びぶんという作用素さようそは、形式的けいしきてきには $$e^{i\omega x}$$e^{i\omega x} に対たいして

となる。この意味いみで $$e^{i\omega x}$$e^{i\omega x} を微分作用素びぶんさようその一般化固有関数いっぱんかこゆうかんすうgeneralized eigenfunctionとみなせる。通常つうじょうの $$L^2$$L^2 固有関数こゆうかんすうではないことに注意ちゅういする。フーリエ変換へんかんをすると微分方程式びぶんほうていしきが周波数しゅうはすうごとの代数方程式だいすうほうていしきへ変かわるのは、この関係かんけいによる。

この解釈かいしゃくにより、フーリエ変換へんかんと微分方程式びぶんほうていしきの関係かんけいを固有値問題こゆうちもんだいとして整理せいりできる。

10.4適用対象てきようたいしょう

• 波動はどう、振動しんどう、周期性しゅうきせいを周波数成分しゅうはすうせいぶんによって解析かいせきする場合ばあい
• 微分方程式びぶんほうていしきを周波数しゅうはすうごとの代数方程式だいすうほうていしきへ変換へんかんする場合ばあい
• 局所情報きょくしょじょうほうではなく全体的ぜんたいてきな振動構造しんどうこうぞうを分析ぶんせきする場合ばあい

11成立範囲せいりつはんいと変換契約へんかんけいやく

周期構造しゅうきこうぞうにはフーリエ級数きゅうすう、実数直線全体じっすうちょくせんぜんたいの非周期的ひしゅうきてきな信号しんごうにはフーリエ変換へんかんが基本的きほんてきなモデルになる。ただし、対象たいしょうとする関数空間かんすうくうかんや超関数ちょうかんすうへの拡張かくちょうによって両者りょうしゃの境界きょうかいは変かわる。

この講義こうぎの正変換せいへんかん・逆変換ぎゃくへんかん・微分公式びぶんこうしき・Plancherel 等式とうしきは、すべて $f\in \text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("mathcal")")]}S\left(\mathbb{R}\right)$f\in\mathcal S(\mathbb R) という共通条件きょうつうじょうけんの下もとで述のべた。$L^1$L^1、$L^2$L^2、緩増加超関数かんぞうかちょうかんすうへの拡張かくちょうでは、前節ぜんせつで述のべた各空間かくくうかんの定義ていぎと成立条件せいりつじょうけんを使用しようする。

この講義こうぎの変換契約へんかんけいやく
$$f\in \text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("mathcal")")]}S\left(\mathbb{R}\right)$$f\in\mathcal S(\mathbb R) なら

$$\hat{f}\left(\omega \right)={\int }_{\mathbb{R}}f\left(x\right)e^{-i\omega x}dx,f\left(x\right)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{\mathbb{R}}\hat{f}\left(\omega \right)e^{i\omega x}d\omega ,$$\hat f(\omega)=\int_{\mathbb R}f(x)e^{-i\omega x}\,dx, \qquad f(x)=\frac1{2\pi}\int_{\mathbb R}\hat f(\omega)e^{i\omega x}\,d\omega,

$$\widehat{f^{\prime }}\left(\omega \right)=i\omega \hat{f}\left(\omega \right),{\int }_{\mathbb{R}}|f{|}^2=\frac{1}{2\pi }{\int }_{\mathbb{R}}|\hat{f}{|}^{2.}$$\widehat{f'}(\omega)=i\omega\hat f(\omega), \qquad \int_{\mathbb R}|f|^2=\frac1{2\pi}\int_{\mathbb R}|\hat f|^2.

12関連かんれんリンク

Foundations of the Fourier Transform

1Introduction

This lecture explains how the Fourier transform represents a function by the complex amplitudes of its frequency components. The transform provides an invertible correspondence, not merely an informal decomposition, and converts differentiation into multiplication by frequency.

2Schwartz Functions and the Transform Convention

To state convergence results without ambiguity, first work in the Schwartz space $\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("mathcal")")]}S\left(\mathbb{R}\right)$\mathcal S(\mathbb R). A smooth function $f$f belongs to this space when, for every pair of nonnegative integers $m,n$m,n,

Thus $f$f and all its derivatives decay faster than every reciprocal polynomial. For $f,g\in \text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("mathcal")")]}S\left(\mathbb{R}\right)$f,g\in\mathcal S(\mathbb R), define

Here $\omega$\omega is angular frequency in radians per unit time. Ordinary frequency $\nu$\nu is measured in cycles per unit time, or Hz when time is in seconds, and satisfies $\omega =2\pi \nu$\omega=2\pi\nu. Communications texts often use

so $X\left(\nu \right)=X_{\omega }\left(2\pi \nu \right)$X(\nu)=X_\omega(2\pi\nu). The sign and placement of $2\pi$2\pi vary among conventions; the forward and inverse definitions must always be specified together.

3Fourier Inversion

If $f\in \text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("mathcal")")]}S\left(\mathbb{R}\right)$f\in\mathcal S(\mathbb R), then $\hat{f}\in \text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("mathcal")")]}S\left(\mathbb{R}\right)$\hat f\in\mathcal S(\mathbb R) and

A standard proof regularizes the inverse integral with a Gaussian factor. Interchanging the absolutely convergent integrals produces the convolution of $f$f with a Gaussian approximate identity. As the Gaussian width tends to zero, this convolution converges to $f$f. Rapid decay justifies the exchanges of limits and integrals. This theorem is the basis for reconstructing a function from its spectrum.

4An Acoustic Interpretation

A sound waveform records air-pressure variation in time, while pitch perception distinguishes its high- and low-frequency components. The Fourier transform provides the mathematical complex amplitude and phase of these components.

5Discrete Orthogonality and the Continuous Transform

For integers $m,n\in \mathbb{Z}$m,n\in\mathbb Z, the complex exponentials on $[-\pi ,\pi ]$[-\pi,\pi] satisfy

Fourier series use this orthogonality to extract coefficients at discrete frequencies. The Fourier transform extends the construction to a continuum of angular frequencies: $\hat{f}\left(\omega \right)$\hat f(\omega) is a density of complex amplitude and therefore records both amplitude and phase. Fourier inversion establishes the reciprocal correspondence between $f$f and $\hat{f}$\hat f.

6Differentiation Rule

For $f\in \text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("mathcal")")]}S\left(\mathbb{R}\right)$f\in\mathcal S(\mathbb R), integration by parts gives

The boundary term vanishes by rapid decay. Hence differentiation in the original variable becomes multiplication by $i\omega$i\omega in the frequency domain. This identity is a principal reason that Fourier methods simplify constant-coefficient differential equations.

7Gaussian Example

For $f\left(x\right)=e^{-x^2}$f(x)=e^{-x^2},

To derive the formula, put

Differentiation under the integral and the identity $x{e}^{-x^2}=-\frac{1}{2}(d/dx)e^{-x^2}$xe^{-x^2}=-\frac12(d/dx)e^{-x^2} yield, after integration by parts,

Together with the Gaussian integral $I\left(0\right)=\sqrt{\pi }$I(0)=\sqrt\pi, this differential equation gives $I\left(\omega \right)=\sqrt{\pi }{e}^{-{\omega }^2/4}$I(\omega)=\sqrt\pi e^{-\omega^2/4}. Thus a smooth localized Gaussian transforms to another Gaussian.

8Functions Outside the Schwartz Space

The Dirac delta $\delta$\delta is the distribution defined by the extraction property $⟨\delta (\omega -a),\phi ⟩=\phi \left(a\right)$\langle\delta(\omega-a),\varphi\rangle=\varphi(a) for every test function $\phi \in \text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("mathcal")")]}S\left(\mathbb{R}\right)$\varphi\in\mathcal S(\mathbb R). A tempered distribution is a continuous linear functional on the Schwartz space, and the Fourier transform extends to this space.

The function $\cos \left(ax\right)$\cos(ax) does not decay at infinity, so its Fourier integral does not converge in the preceding sense. Under the present convention, its transform is the tempered-distribution identity

This identity means that both sides give the same value when applied to every Schwartz test function; it is not an equality of ordinary convergent integrals.

If $f\in L^1\left(\mathbb{R}\right)$f\in L^1(\mathbb R), the forward integral exists for every $\omega$\omega, but inversion requires additional hypotheses. For a general $L^2\left(\mathbb{R}\right)$L^2(\mathbb R) function, the integral need not exist pointwise. The transform is instead defined as the unique $L^2$L^2 extension supplied by Plancherel's theorem.

9Plancherel's Theorem

For $f\in \text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("mathcal")")]}S\left(\mathbb{R}\right)$f\in\mathcal S(\mathbb R),

The proof first establishes preservation of the inner product, with the normalization factor dictated by the transform convention, by substituting the inversion formula and justifying interchange of integrals. Since $\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("mathcal")")]}S\left(\mathbb{R}\right)$\mathcal S(\mathbb R) is dense in $L^2\left(\mathbb{R}\right)$L^2(\mathbb R), the scaled isometry extends uniquely to all of $L^2$L^2. Consequently, time-domain and frequency-domain squared norms contain the same information up to the stated factor.

10Mathematical Interpretations

10.1Analytic Interpretation

Whereas calculus describes pointwise values and local variation, the Fourier transform represents a function as a superposition of frequency components. This representation is particularly appropriate for waves and signals.

10.2Linear-Algebra Interpretation

In finite-dimensional discrete settings, the discrete Fourier transform is multiplication by a matrix whose columns are orthogonal discrete exponentials. The continuous transform analogously supplies continuous frequency coordinates through inversion and Plancherel's identity. However, $e^{i\omega x}$e^{i\omega x} is not in $L^2\left(\mathbb{R}\right)$L^2(\mathbb R), so these functions do not form an ordinary finite- or countable-dimensional basis.

10.3Operator Interpretation

The identity

makes $e^{i\omega x}$e^{i\omega x} a generalized eigenfunction of the differentiation operator with generalized eigenvalue $i\omega$i\omega. It is not an ordinary $L^2\left(\mathbb{R}\right)$L^2(\mathbb R) eigenfunction because it is not square-integrable. Fourier transformation diagonalizes differentiation in this generalized sense, converting differential equations into algebraic equations indexed by $\omega$\omega.

10.4Appropriate Applications

• analyzing waves, oscillations, and periodicity by frequency components;
• converting differential equations into algebraic equations indexed by frequency;
• analyzing global oscillatory structure rather than local information.

11Scope and Transform Contract

Fourier series are the natural elementary model for periodic functions, whereas the Fourier transform is the corresponding model on the entire real line. Function-space and distributional extensions refine this distinction.

Transform contract for this lecture. For $f\in \text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("mathcal")")]}S\left(\mathbb{R}\right)$f\in\mathcal S(\mathbb R),

$$\hat{f}\left(\omega \right)={\int }_{\mathbb{R}}f\left(x\right)e^{-i\omega x}dx,f\left(x\right)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{\mathbb{R}}\hat{f}\left(\omega \right)e^{i\omega x}d\omega ,$$\hat f(\omega)=\int_{\mathbb R}f(x)e^{-i\omega x}\,dx, \qquad f(x)=\frac1{2\pi}\int_{\mathbb R}\hat f(\omega)e^{i\omega x}\,d\omega,

$$\widehat{f^{\prime }}\left(\omega \right)=i\omega \hat{f}\left(\omega \right),{\int }_{\mathbb{R}}|f{|}^2=\frac{1}{2\pi }{\int }_{\mathbb{R}}|\hat{f}{|}^{2.}$$\widehat{f'}(\omega)=i\omega\hat f(\omega), \qquad \int_{\mathbb R}|f|^2 =\frac1{2\pi}\int_{\mathbb R}|\hat f|^2.

The formula $X\left(\nu \right)=X_{\omega }\left(2\pi \nu \right)$X(\nu)=X_\omega(2\pi\nu) translates this angular-frequency convention to the Hz convention used in communications engineering.

12Related Lectures