通信工学つうしんこうがくの基本きほん

date2026-07-14document_iddoc_607729d375d0265c1e70bcb1f9031bdddescription信号の周波数表現、線形時不変システム、変調、信号対雑音比、帯域の基礎を説明する。prerequisitesフーリエ変換の基本 / 複素数 / 確率の基本type講義statusactive

informationcommunicationsundergraduatelecture

data/lecture/information/communications/communications-engineering-portal.lecture.n.md

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、信号しんごうを時間領域じかんりょういきと周波数領域しゅうはすうりょういきの双方そうほうで表現ひょうげんし、通信路つうしんろの作用さよう、変調へんちょう、雑音ざつおん、帯域制約たいいきせいやくを分析ぶんせきする方法ほうほうを説明せつめいする。

data/lecture/math/analysis/introduction-to-fourier-transform.lecture.n.md

2信号しんごうと周波数しゅうはすう

信号しんごうSignalとは、情報じょうほうを伝達でんたつまたは表現ひょうげんする、時間じかんや空間くうかんなどの変数へんすうの関数かんすうである。この講義こうぎでは連続時間信号れんぞくじかんしんごう $x (t)$ を扱あつかう。

周波数しゅうはすうFrequencyとは、周期的しゅうきてきな変化へんかが単位時間たんいじかんに反復はんぷくする回数かいすうである。周波数しゅうはすう $f$ の単位たんいは Hz であり、角周波数かくしゅうはすうとの関係かんけいは $ω = 2 π f$ である。

通信工学つうしんこうがくでは虚数単位きょすうたんいを $j$ と表あらわし、 $j^{2} = - 1$ とする。 $x$ とそのフーリエ変換へんかんがともに可積分かせきぶんで、 $x$ が連続れんぞくである場合ばあいを考かんがえる。フーリエ変換へんかんを

X (f) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{- j 2 π f t} d t

とする。逆変換ぎゃくへんかんは

x (t) = \int_{- \infty}^{\infty} X (f) e^{j 2 π f t} d f

であり、これらの仮定かていの下もとで各時刻かくじこくにおいて反転はんてんできる。 $X (f)$ は、 $x (t)$ に含ふくまれる各周波数成分かくしゅうはすうせいぶんの振幅しんぷくと位相いそうを表現ひょうげんする。数学すうがくの参照講義さんしょうこうぎで用もちいる角周波数かくしゅうはすうの変換へんかん $X_{ω} (ω)$ とは、 $X (f) = X_{ω} (2 π f)$ の関係かんけいにある。より一般いっぱんの信号しんごうには、二乗可積分関数にじょうかせきぶんかんすうや超関数ちょうかんすうとしてフーリエ変換へんかんを拡張かくちょうする。

3線形時不変せんけいじふへんシステム

線形時不変せんけいじふへんシステムLinear time-invariant system; LTI systemとは、重かさね合あわせを保存ほぞんする線形性せんけいせいと、入力にゅうりょくの時間移動じかんいどうが出力しゅつりょくの同おなじ時間移動じかんいどうを生しょうじる時不変性じふへんせいを満みたすシステムである。

LTI システムのインパルス応答おうとうを $h (t)$ とすると、入力にゅうりょく $x (t)$ と出力しゅつりょく $y (t)$ の関係かんけいは

y (t) = (h * x) (t) = \int_{- \infty}^{\infty} h (τ) x (t - τ) d τ

である。フーリエ変換へんかんが存在そんざいする条件じょうけんの下もとでは、周波数応答しゅうはすうおうとうFrequency response $H (f)$ によって

Y (f) = H (f) X (f)

と表現ひょうげんできる。複素指数関数ふくそしすうかんすうは LTI システムの固有関数こゆうかんすうであり、システムは入力複素指数関数にゅうりょくふくそしすうかんすうの周波数しゅうはすうを保存ほぞんし、その複素振幅ふくそしんぷくに $H (f)$ を乗じょうじる。この性質せいしつにより、フィルタや通信路つうしんろを周波数しゅうはすうごとに分析ぶんせきできる。

4変調へんちょうとスペクトル移動いどう

変調へんちょうModulationとは、情報じょうほうを表あらわすベースバンド信号しんごうに応おうじて、搬送波はんそうはの振幅しんぷく、周波数しゅうはすう、位相いそうなどを変化へんかさせる操作そうさである。ここでは周波数移動しゅうはすういどうを明確めいかくにするため、両側波帯抑圧搬送波振幅変調りょうそくはたいよくあつはんそうはしんぷくへんちょうを例れいとする。

s (t) = m (t) \cos (2 π f_{c} t)

このとき、フーリエ変換へんかんの周波数移動則しゅうはすういどうそくから

S (f) = \frac{1}{2} {M (f - f_{c}) + M (f + f_{c})}

を得える。したがって、ベースバンドスペクトルは $\pm f_{c}$ の周囲しゅういへ複写ふくしゃされる。 $M (f) = 0$ が $| f | > B$ で成立せいりつし、 $f_{c} > B$ なら、正周波数側せいしゅうはすうがわの側波帯そくはたいは $f_{c} - B$ から $f_{c} + B$ に及および、その占有帯域幅せんゆうたいいきはばは $2 B$ である。変調へんちょうによって、アンテナや通信路つうしんろに適てきした周波数帯しゅうはすうたいの利用りよう、および複数信号ふくすうしんごうへの異ことなる周波数帯しゅうはすうたいの割当わりあてが可能かのうとなる。復調ふくちょうには、使用しようした変調方式へんちょうほうしきに対応たいおうする受信処理じゅしんしょりが必要ひつようである。

5雑音ざつおんと SNR

加法性雑音かほうせいざつおんを仮定かていすると、受信信号じゅしんしんごうは

r (t) = s (t) + n (t)

と表現ひょうげんできる。ここで $n (t)$ は雑音ざつおんである。信号対雑音比しんごうたいざつおんひSignal-to-noise ratio; SNRとは、同一どういつの測定点そくていてんおよび測定帯域そくていたいいきで評価ひょうかした信号電力しんごうでんりょく $P_{s}$ と雑音電力ざつおんでんりょく $P_{n}$ の比ひである。

S N R = \frac{P_{s}}{P_{n}}, P_{n} > 0

確定的信号かくていてきしんごう $u (t)$ の平均電力へいきんでんりょくは、極限きょくげんが存在そんざいする場合ばあいに

P_{u} = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2 T} \int_{- T}^{T} | u (t) |^{2} d t

と定義ていぎする。確率的雑音かくりつてきざつおん $n (t)$ が広義定常こうぎていじょうであると仮定かていすると、二乗値にじょうちの期待値きたいち $P_{n} = E [| n (t) |^{2}]$ は時刻じこくに依存いぞんせず、平均電力へいきんでんりょくを表あらわす。この値あたいは、平均へいきんが 0 の場合ばあいにのみ分散ぶんさんと一致いっちする。

dB 表示ひょうじでは

{S N R}_{d B} = 10 \log_{10} \frac{P_{s}}{P_{n}}

となる。SNR は受信品質じゅしんひんしつを評価ひょうかする指標しひょうの一ひとつであるが、同一どういつの SNR でも、変調方式へんちょうほうしき、符号化ふごうか、雑音分布ざつおんぶんぷ、判定方式はんていほうしきによって誤あやまり率りつは異ことなる。

6帯域たいいき

帯域たいいきBandwidthとは、信号しんごうまたはシステムが占有せんゆうまたは通過つうかさせる周波数範囲しゅうはすうはんい、あるいはその幅はばである。ただし、帯域たいいきの定義ていぎは文脈ぶんみゃくに依存いぞんする。厳密げんみつに帯域制限たいいきせいげんされたベースバンド信号しんごうでは、ある $B > 0$ に対たいして $| f | > B$ で $X (f) = 0$ となり、 $B$ を片側帯域幅かたがわたいいきはばまたは最高周波数さいこうしゅうはすうと呼よぶ。両側りょうがわの支持範囲しじはんい $[- B, B]$ の幅はばは $2 B$ である。実際じっさいの信号しんごうやフィルタではスペクトルが完全かんぜんには 0 にならないことがあるため、占有帯域幅せんゆうたいいきはばや 3 dB 帯域幅たいいきはばなど、目的もくてきに応おうじた規約きやくを用もちいる。

広ひろい帯域たいいきは、より急速きゅうそくな波形変化はけいへんかや高たかい情報速度じょうほうそくどを実現じつげんする余地よちを与あたえるが、達成可能たっせいかのうな通信速度つうしんそくどは帯域たいいきだけでは決きまらない。SNR、変調へんちょう、符号化ふごうか、許容誤きょようあやまり率りつなども関係かんけいする。

7要点ようてん

フーリエ変換へんかんは信号しんごうを周波数成分しゅうはすうせいぶんへ分解ぶんかいする。
LTI システムは畳たたみ込こみで記述きじゅつされ、周波数領域しゅうはすうりょういきでは周波数応答しゅうはすうおうとうとの乗算じょうざんになる。
変調へんちょうは情報信号じょうほうしんごうのスペクトルを伝送でんそうに適てきした周波数帯しゅうはすうたいへ移動いどうできる。
SNR は同一どういつの測定点そくていてんと帯域たいいきにおける信号電力しんごうでんりょくと雑音電力ざつおんでんりょくの比ひである。
帯域幅たいいきはばを述のべるときは、帯域制限たいいきせいげん、占有帯域幅せんゆうたいいきはば、3 dB 帯域幅たいいきはばなどの定義ていぎを明示めいじする。

8次つぎに進すすむ講義こうぎ

data/lecture/information/communications/sampling-and-sampling-theorem-basics.lecture.n.md

Communications Engineering Fundamentals

data/lecture/information/communications/communications-engineering-portal.lecture.n.md

1Introduction

This lecture explains how to represent signals in both time and frequency domains and how to analyze channel effects, modulation, noise, and bandwidth constraints.

data/lecture/math/analysis/introduction-to-fourier-transform.lecture.n.md

2Signals and Frequency

A signalSignal is a function of a variable such as time or space that conveys or represents information. This lecture considers a continuous-time signal $x (t)$ .

FrequencyFrequency is the number of repetitions of a periodic variation per unit time. Frequency $f$ is measured in hertz, and its relation to angular frequency is $ω = 2 π f$ .

Communications engineering conventionally denotes the imaginary unit by $j$ , where $j^{2} = - 1$ . Assume that $x$ and its Fourier transform are both integrable and that $x$ is continuous. Define the Fourier transform by

X (f) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{- j 2 π f t} d t .

The inverse transform, which holds at every time under these assumptions, is

x (t) = \int_{- \infty}^{\infty} X (f) e^{j 2 π f t} d f .

$X (f)$ represents the amplitude and phase of each frequency component in $x (t)$ . It is related to the angular-frequency convention $X_{ω} (ω)$ used in the mathematical reference by $X (f) = X_{ω} (2 π f)$ . For more general signals, the Fourier transform can be extended to square-integrable functions and distributions.

3Linear Time-Invariant Systems

A linear time-invariant systemLinear time-invariant system; LTI system satisfies linearity, which preserves superposition, and time invariance, under which a time shift of the input causes the same time shift of the output.

If $h (t)$ is the impulse response of an LTI system, its input $x (t)$ and output $y (t)$ satisfy

y (t) = (h * x) (t) = \int_{- \infty}^{\infty} h (τ) x (t - τ) d τ .

Under conditions for the Fourier transforms to exist, the frequency responseFrequency response $H (f)$ gives

Y (f) = H (f) X (f) .

Complex exponentials are eigenfunctions of LTI systems: the system preserves the input complex exponential's frequency and multiplies its complex amplitude by $H (f)$ . This property permits frequency-by-frequency analysis of filters and channels.

4Modulation and Spectral Translation

ModulationModulation is the operation of varying a carrier's amplitude, frequency, phase, or another property according to a baseband information signal. To exhibit spectral translation explicitly, consider double-sideband suppressed-carrier amplitude modulation:

s (t) = m (t) \cos (2 π f_{c} t) .

The frequency-shift property of the Fourier transform gives

S (f) = \frac{1}{2} {M (f - f_{c}) + M (f + f_{c})} .

The baseband spectrum is therefore copied around $\pm f_{c}$ . If $M (f) = 0$ for $| f | > B$ and $f_{c} > B$ , the positive-frequency sideband extends from $f_{c} - B$ to $f_{c} + B$ and has occupied bandwidth $2 B$ . Modulation permits use of a frequency band suited to an antenna or channel and allocation of distinct bands to multiple signals. Demodulation requires receiver processing corresponding to the selected modulation scheme.

5Noise and SNR

Under an additive-noise model, a received signal is

r (t) = s (t) + n (t),

where $n (t)$ is noise. The signal-to-noise ratioSignal-to-noise ratio; SNR is the ratio of signal power $P_{s}$ to noise power $P_{n}$ , evaluated at the same measurement point and over the same measurement bandwidth:

S N R = \frac{P_{s}}{P_{n}}, P_{n} > 0.

For a deterministic signal $u (t)$ , define average power, when the limit exists, by

P_{u} = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2 T} \int_{- T}^{T} | u (t) |^{2} d t .

If random noise $n (t)$ is assumed to be wide-sense stationary, $P_{n} = E [| n (t) |^{2}]$ is independent of time and represents its average power. This value equals the variance only when the noise has zero mean.

In decibels,

{S N R}_{d B} = 10 \log_{10} \frac{P_{s}}{P_{n}} .

SNR is one measure of reception quality. The error rate can nevertheless differ at the same SNR because it also depends on modulation, coding, the noise distribution, and the decision rule.

6Bandwidth

BandwidthBandwidth denotes a frequency range occupied by a signal or passed by a system, or the width of that range. Its precise definition depends on context. A strictly band-limited baseband signal satisfies $X (f) = 0$ for $| f | > B$ for some $B > 0$ ; $B$ is then called its one-sided bandwidth or highest frequency, while the two-sided support interval $[- B, B]$ has width $2 B$ . Practical signals and filters may not become exactly zero, so conventions such as occupied bandwidth or 3 dB bandwidth are used according to purpose.

A wider bandwidth permits more rapid waveform changes and provides scope for a higher information rate, but bandwidth alone does not determine an achievable communication rate. SNR, modulation, coding, and the acceptable error rate also matter.

7Key Points

The Fourier transform decomposes a signal into frequency components.
An LTI system is described by convolution, which becomes multiplication by its frequency response in the frequency domain.
Modulation can translate an information signal's spectrum into a frequency band suitable for transmission.
SNR is the ratio of signal power to noise power at the same measurement point and over the same bandwidth.
A bandwidth statement must specify whether it refers to strict band limitation, occupied bandwidth, 3 dB bandwidth, or another convention.

8Next Lecture

data/lecture/information/communications/sampling-and-sampling-theorem-basics.lecture.n.md