標本化ひょうほんかと標本化定理ひょうほんかていりの基本きほん

date2026-07-14document_iddoc_39a00152c4e334961250e32dbdb8c3c5descriptionインパルス列による標本化、スペクトルの反復、標本化定理、エイリアシング、アンチエイリアスフィルタを説明する。prerequisitesフーリエ変換の基本 / 通信工学の基本type講義statusactive

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1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、連続時間信号れんぞくじかんしんごうの一様標本化いちようひょうほんかをインパルス列れつとの乗算じょうざんとして表現ひょうげんし、周波数領域しゅうはすうりょういきに生しょうじるスペクトルの反復はんぷくから、復元条件ふくげんじょうけんとエイリアシングを説明せつめいする。

2一様標本化いちようひょうほんか

標本化ひょうほんかSamplingとは、連続時間信号れんぞくじかんしんごうから離散時刻りさんじこくの値あたいを取得しゅとくする操作そうさである。標本化周期ひょうほんかしゅうきを $T_{s} > 0$ 、標本化周波数ひょうほんかしゅうはすうSampling frequencyを $f_{s} = 1 / T_{s}$ とすると、標本列ひょうほんれつは

x [n] = x (n T_{s}), n \in Z

である。単位たんいは $T_{s}$ が s、 $f_{s}$ が Hz である。

Dirac のデルタDirac delta $δ (t - t_{0})$ は通常つうじょうの関数かんすうではなく、滑なめらかでコンパクトな台だいをもつ試験関数しけんかんすう $φ$ に対たいして

\int_{- \infty}^{\infty} φ (t) δ (t - t_{0}) d t = φ (t_{0})

という抽出特性ちゅうしゅつとくせいをもつ超関数ちょうかんすうである。この理想化りそうかを用もちいて、一様標本化いちようひょうほんかを連続時間れんぞくじかんで表現ひょうげんするため、周期しゅうき $T_{s}$ のインパルス列れつ

p (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} δ (t - n T_{s})

を導入どうにゅうする。標本化信号ひょうほんかしんごうは

x_{s} (t) = x (t) p (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n T_{s}) δ (t - n T_{s})

となる。この式しきは理想模型りそうもけいであり、現実げんじつの A/D 変換器へんかんきにおける有限時間ゆうげんじかんの標本取得ひょうほんしゅとくや量子化りょうしかは別べつの効果こうかである。

3スペクトルの反復はんぷく

インパルス列れつのフーリエ変換へんかんは

P (f) = f_{s} \sum_{k = - \infty}^{\infty} δ (f - k f_{s})

である。時間領域じかんりょういきの乗算じょうざんは周波数領域しゅうはすうりょういきの畳たたみ込こみに対応たいおうするため、

X_{s} (f) = X (f) * P (f) = f_{s} \sum_{k = - \infty}^{\infty} X (f - k f_{s})

を得える。すなわち、 $X (f)$ の複写ふくしゃが $f_{s}$ 間隔かんかくで反復はんぷくする。 $f_{s}$ は複写間隔ふくしゃかんかくであり、ナイキスト周波数しゅうはすうNyquist frequency $f_{s} / 2$ は基底帯域きていたいいきの慣用的かんようてきな境界きょうかいである。帯域上限たいいきじょうげん $B$ に対たいするナイキスト率りつNyquist rate $2 B$ とは異ことなる量りょうである。この境界きょうかいでの一意性いちいせいには注意ちゅういが必要ひつようであり、後述こうじゅつする。

4標本化定理ひょうほんかていり

$x (t)$ が連続れんぞくな有限ゆうげんエネルギー信号しんごうであり、かつ帯域制限たいいきせいげんされ、

X (f) = 0 (| f | > B)

を満みたすと仮定かていする。さらに $f_{s} > 2 B$ なら、隣接りんせつするスペクトルの複写ふくしゃは間隔かんかく $f_{s} - 2 B > 0$ を保たもち、重かさならない。理想低域通過りそうていいきつうかフィルタで中央ちゅうおうの複写ふくしゃだけを抽出ちゅうしゅつし、利得りとく $T_{s}$ を与あたえれば、 $X (f)$ 、したがって $x (t)$ を一意いちいに復元ふくげんできる。

したがって、厳密げんみつに帯域制限たいいきせいげんされた連続時間信号れんぞくじかんしんごうに対たいし、

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] f_{s} > 2 B

は理想標本りそうひょうほんからの完全復元かんぜんふくげんを保証ほしょうする十分条件じゅうぶんじょうけんである。この主張しゅちょうは無限長むげんちょうの信号しんごう、正確せいかくな標本値ひょうほんち、理想的りそうてきな復元ふくげんフィルタを仮定かていする。

$sinc (u) = \sin (π u) / (π u)$ と定義ていぎすると、復元ふくげんはsinc 補間ほかんSinc interpolation

x (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n T_{s}) sinc (\frac{t - n T_{s}}{T_{s}})

によっても表現ひょうげんできる。この無限和むげんわは理想低域通過りそうていいきつうかフィルタによる復元ふくげんと同おなじ内容ないようを表あらわす。

5境界きょうかい $f_{s} = 2 B$

$f_{s} = 2 B$ では、隣接りんせつするスペクトルの複写ふくしゃが $f = \pm B$ で接せっする。前節ぜんせつの有限ゆうげんエネルギー信号しんごうでは、端点たんてんだけの値あたいは $L^{2}$ 関数かんすうとしての信号しんごうを変更へんこうしないため、これだけから非一意性ひいちいせいは結論けつろんできない。ただし、電力信号でんりょくしんごうも含ふくむ工学的こうがくてきな信号しんごうモデルでは、境界きょうかいに注意ちゅういが必要ひつようである。たとえば、有限ゆうげんエネルギー仮定かていの外そとにある $x (t) = \sin (2 π B t)$ を $f_{s} = 2 B$ で、すべての標本時刻ひょうほんじこくが零交差れいこうさに一致いっちする位相いそうから標本化ひょうほんかすると、すべての標本値ひょうほんちが 0 となる。このため、この講義こうぎでは端点たんてんの曖昧性あいまいせいを避さける保守的ほしゅてきな工学上こうがくじょうの保証条件ほしょうじょうけんとして、 $f_{s} > 2 B$ を採用さいようする。

6エイリアシングとアンチエイリアスフィルタ

$f_{s} < 2 B$ の場合ばあい、または入力にゅうりょくが $f_{s} / 2$ を超こえる成分せいぶんを含ふくむ場合ばあいは、スペクトルの複写ふくしゃが重かさなる。 $f_{s} / 2$ ちょうどの成分せいぶんは、前節ぜんせつで述のべた境界条件きょうかいじょうけんとして扱あつかう。エイリアシングAliasingとは、この重かさなりによって異ことなる連続時間周波数れんぞくじかんしゅうはすうが同一どういつの標本列ひょうほんれつとして観測かんそくされる現象げんしょうである。たとえば、 $f$ と $f + k f_{s}$ の正弦波せいげんはは標本時刻ひょうほんじこくで区別くべつできない。

標本化後ひょうほんかごに重かさなったスペクトルから元もとの成分せいぶんを一般いっぱんに分離ぶんりすることはできない。このため、A/D 変換へんかんの前まえにアナログアンチエイリアスフィルタAnti-aliasing filterを配置はいちし、 $f_{s} / 2$ 以上いじょうの成分せいぶんを十分じゅうぶんに減衰げんすいさせる。現実げんじつのフィルタには遷移帯域せんいたいいきがあるため、信号帯域しんごうたいいきと $f_{s} / 2$ の間あいだに余裕よゆうを設もうける。

7要点ようてん

インパルス列れつによる標本化ひょうほんかは、周波数領域しゅうはすうりょういきで $f_{s}$ 間隔かんかくのスペクトル複写ふくしゃを生成せいせいする。
$| f | > B$ で $X (f) = 0$ となり、かつ $f_{s} > 2 B$ の下もとで、理想的りそうてきな完全復元かんぜんふくげんが可能かのうである。
$f_{s} = 2 B$ の扱あつかいは信号しんごうクラスと端点条件たんてんじょうけんに依存いぞんするため、保守的ほしゅてきな工学上こうがくじょうの保証ほしょうには厳密不等号げんみつふとうごうを用もちいる。
エイリアシングは標本化後ひょうほんかごに一般いっぱんには除去じょきょできないため、標本化前ひょうほんかまえのフィルタと十分じゅうぶんな標本化周波数ひょうほんかしゅうはすうが必要ひつようである。

8次つぎに進すすむ講義こうぎ

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Sampling and the Sampling Theorem

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1Introduction

This lecture represents uniform sampling of a continuous-time signal as multiplication by an impulse train and derives reconstruction conditions and aliasing from the resulting spectral replicas.

2Uniform Sampling

SamplingSampling obtains values of a continuous-time signal at discrete times. Let $T_{s} > 0$ be the sampling period and let the sampling frequencySampling frequency be $f_{s} = 1 / T_{s}$ . The sample sequence is

x [n] = x (n T_{s}), n \in Z .

$T_{s}$ is measured in seconds and $f_{s}$ in hertz.

The Dirac deltaDirac delta $δ (t - t_{0})$ is a distribution rather than an ordinary function. For every smooth, compactly supported test function $φ$ , it has the sifting property

\int_{- \infty}^{\infty} φ (t) δ (t - t_{0}) d t = φ (t_{0}) .

Using this idealization, represent uniform sampling in continuous time by the impulse train of period $T_{s}$ ,

p (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} δ (t - n T_{s}) .

The sampled signal is

x_{s} (t) = x (t) p (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n T_{s}) δ (t - n T_{s}) .

This is an ideal model. Finite acquisition time and quantization in a physical analog-to-digital converter are separate effects.

3Spectral Replicas

The Fourier transform of the impulse train is

P (f) = f_{s} \sum_{k = - \infty}^{\infty} δ (f - k f_{s}) .

Because multiplication in time corresponds to convolution in frequency,

X_{s} (f) = X (f) * P (f) = f_{s} \sum_{k = - \infty}^{\infty} X (f - k f_{s}) .

Copies of $X (f)$ therefore repeat at intervals of $f_{s}$ . The spacing of the replicas is $f_{s}$ , while the Nyquist frequencyNyquist frequency $f_{s} / 2$ is the conventional boundary of the baseband. It is distinct from the Nyquist rateNyquist rate $2 B$ associated with a band limit $B$ . Uniqueness at this boundary requires care, as discussed below.

4Sampling Theorem

Assume that $x (t)$ is a continuous finite-energy signal that is band-limited and satisfies

X (f) = 0 (| f | > B) .

If, in addition, $f_{s} > 2 B$ , adjacent spectral replicas remain separated by $f_{s} - 2 B > 0$ and do not overlap. An ideal low-pass filter can select the central replica and apply gain $T_{s}$ , recovering $X (f)$ and hence $x (t)$ uniquely.

Thus, for a strictly band-limited continuous-time signal,

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] f_{s} > 2 B

is a sufficient condition for perfect reconstruction from ideal samples. This statement assumes an infinite-duration signal, exact sample values, and an ideal reconstruction filter.

Equivalently, with $sinc (u) = \sin (π u) / (π u)$ , reconstruction can be written as the sinc interpolationSinc interpolation formula

x (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x (n T_{s}) sinc (\frac{t - n T_{s}}{T_{s}}) .

This infinite sum expresses the same ideal low-pass reconstruction.

5The Boundary $f_{s} = 2 B$

At $f_{s} = 2 B$ , adjacent spectral replicas touch at $f = \pm B$ . For the finite-energy signals considered in the preceding section, values at isolated endpoints do not change a signal as an $L^{2}$ function, so this contact alone does not establish non-uniqueness. The boundary nevertheless requires care in engineering signal models that also include power signals. For example, $x (t) = \sin (2 π B t)$ lies outside the finite-energy assumption; if it is sampled at $f_{s} = 2 B$ with every sampling instant at a zero crossing, every sample is zero. This lecture therefore adopts $f_{s} > 2 B$ as a conservative engineering guarantee that avoids ambiguity at the endpoints.

6Aliasing and the Anti-Aliasing Filter

When $f_{s} < 2 B$ , or when the input contains components above $f_{s} / 2$ , spectral replicas overlap. A component exactly at $f_{s} / 2$ is treated as the boundary case described in the preceding section. AliasingAliasing is the phenomenon in which this overlap makes distinct continuous-time frequencies appear as the same sample sequence. Sinusoids at $f$ and $f + k f_{s}$ , for example, cannot be distinguished at the sampling instants.

Once spectra overlap after sampling, their original components cannot generally be separated. An analog anti-aliasing filterAnti-aliasing filter is therefore placed before analog-to-digital conversion to attenuate components at and above $f_{s} / 2$ sufficiently. Because a physical filter has a transition band, practical systems leave a guard band between the signal bandwidth and $f_{s} / 2$ .

7Key Points

Sampling with an impulse train produces spectral replicas spaced by $f_{s}$ in the frequency domain.
Under $X (f) = 0$ for $| f | > B$ and $f_{s} > 2 B$ , ideal perfect reconstruction is possible.
Treatment of $f_{s} = 2 B$ depends on the signal class and endpoint conditions; a conservative engineering guarantee uses a strict inequality.
Aliasing cannot generally be removed after sampling, so pre-sampling filtering and a sufficiently high sampling frequency are necessary.

8Next Lecture