Z 変換へんかんの基礎きそ

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、Z 変換へんかんZ-transformがシフト作用素さようそshift operatorを $z$z または $z^{-1}$z^{-1} による代数的乗算だいすうてきじょうざんへ変換へんかんすることを説明せつめいする。

連続時間れんぞくじかんの微分方程式びぶんほうていしきでは、ラプラス変換へんかんが微分作用素びぶんさようそを $s$s の式しきへ移うつす。離散時間りさんじかんの漸化式ぜんかしきでは、Z 変換へんかんがシフトや遅延ちえんを $z$z や $z^{-1}$z^{-1} の式しきへ移うつす。

2定義ていぎ

この講義こうぎでは $$z\ne 0$$z\ne0 とする。

両側りょうがわ列れつ $x=\left(x\right[n]{)}_{n\in \mathbb{Z}}$x=(x[n])_{n\in\mathbb Z} に対たいして、両側 Z 変換へんかんbilateral Z-transformを

で定義ていぎする。

片側かたがわ列れつ $x=\left(x\right[n]{)}_{n\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}0}$x=(x[n])_{n\ge0} に対たいして、片側 Z 変換へんかんunilateral Z-transformを

で定義ていぎする。

どちらの定義ていぎでも、$$\sum _n\left|x\right[n\left]z^{-n}\right|$$\sum_n|x[n]z^{-n}| が収束しゅうそくする $z$z の範囲はんいを確認かくにんする必要ひつようがある。この絶対収束ぜったいしゅうそくする範囲はんいを収束領域しゅうそくりょういきregion of convergence、略りゃくして ROC という。Z 変換へんかんの結果けっかは、式しきだけでなく「式しきと ROC の組くみ」である。以下いかでは、両側変換りょうがわへんかんを $$X_{\mathrm{b}}$$X_{\mathrm b}、片側変換かたがわへんかんを $$X_{+}$$X_+ と書かき分わける。

3ROC による原列げんれつの識別しきべつ

$$a\ne 0$$a\ne0 とし、$$u\left[n\right]$$u[n] を $$n\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}0$$n\ge0 で 1、$$n<0$$n<0 で 0 となる単位階段列たんいかいだんれつunit step sequenceとする。$$x\left[n\right]=a^{n}u\left[n\right]$$x[n]=a^nu[n] なら

である。一方いっぽう、$$y\left[n\right]=-a^{n}u[-n-1]$$y[n]=-a^nu[-n-1] なら

である。有理式ゆうりしきは同おなじ $$z/(z-a)$$z/(z-a) でも、外側そとがわの ROC では右向みぎむきの列れつ $$a^{n}u\left[n\right]$$a^nu[n]、内側うちがわの ROC では左向ひだりむきの列れつ $$-a^{n}u[-n-1]$$-a^nu[-n-1] を表あらわす。

この例れいでは、逆 Z 変換ぎゃくゼットへんかんinverse Z-transformは ROC に適合てきごうする Laurent 展開てんかい

を選えらび、$$z^{-n}$$z^{-n} の係数けいすうを抽出ちゅうしゅつする操作そうさである。この講義こうぎでは複素積分ふくそせきぶんを前提ぜんていにせず、幾何級数きかきゅうすうと係数比較けいすうひかくで逆変換ぎゃくへんかんする。

4重おもみ $z^{-n}$z^{-n} とシフト作用さよう

漸化式ぜんかしきでは、$x[n+1]$x[n+1] や $x[n-1]$x[n-1] のように添字そえじが移動いどうする。この移動いどうを代数的だいすうてきに処理しょりするため、添字そえじが 1 増加ぞうかするごとに一定倍率いっていばいりつを与あたえる重おもみを採用さいようする。

$z^{-n}$z^{-n} は

を満みたす。したがって、添字そえじを 1 移動いどうする操作そうさは、変換後へんかんごには $z$z または $z^{-1}$z^{-1} による乗算じょうざんとして表現ひょうげんされる。

5命題めいだい 1：両側りょうがわ Z 変換へんかんは線型せんけいである

5.1主張しゅちょう

$$X_{\mathrm{b}}$$X_{\mathrm b} と $$Y_{\mathrm{b}}$$Y_{\mathrm b} の ROC の共通部分きょうつうぶぶんで、

である。

5.2証明しょうめい

定義ていぎより

である。したがって Z 変換へんかんは線型せんけいである。和わで項こうが相殺そうさいすると ROC が広ひろがることはあるが、少すくなくとも共通部分きょうつうぶぶんではこの計算けいさんが正当化せいとうかされる。□

6命題めいだい 2：両側りょうがわ Z 変換へんかんではシフトが $z$z 倍ばいになる

6.1主張しゅちょう

$E$E を

で定義ていぎされる前進ぜんしんシフト作用素さようそとする。両側りょうがわ Z 変換へんかんでは

である。

また、遅延作用素ちえんさようそ $D_{-}$D_- を

で定義ていぎすると

である。

6.2証明しょうめい

まず前進ぜんしんシフトについて、

$m=n+1$m=n+1 と置おくと $n=m-1$n=m-1 である。したがって

である。

同様どうように、$m=n-1$m=n-1 と置おくと

である。□

7片側かたがわ Z 変換へんかんの初期項しょきこう

片側かたがわ Z 変換へんかんでは、和わが $n=0$n=0 から始はじまるため、シフトすると端はしの項こうが残のこる。

たとえば

である。

これはラプラス変換へんかんで

となることに対応たいおうする。片側変換かたがわへんかんでは、初期値しょきちを変換式へんかんしきへ組くみ込こむため、シフト公式こうしきに初期項しょきこうが付加ふかされる。

8漸化式ぜんかしきへの応用おうよう

$$a\ne 0$$a\ne0 とし、片側かたがわ漸化式ぜんかしき

を考かんがえる。片側かたがわ Z 変換へんかんを取とると

である。したがって

となり、

を得える。ここで $$R_{+}\left(z\right)=\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("mathcal")")]}{Z}_{+}\left\{r\right[n\left]\right\}$$R_+(z)=\mathcal Z_+\{r[n]\} である。

この操作そうさは、漸化式ぜんかしきというシフト作用素方程式さようそほうていしきを、$$X_{+}\left(z\right)$$X_+(z) に関かんする代数方程式だいすうほうていしきへ変換へんかんするものである。

入力にゅうりょくが 0、すなわち $$r\left[n\right]=0$$r[n]=0 の場合ばあいは

となる。$$z^{-n}$$z^{-n} の係数けいすうを読よめば

を得える。これにより、変換後へんかんごの代数方程式だいすうほうていしきの求解きゅうかいと、ROC に適合てきごうする級数展開きゅうすうてんかいからの原列げんれつの復元ふくげんが完了かんりょうする。

9畳たたみ込こみとの関係かんけい

線型時不変せんけいじふへん（LTI）システムlinear time-invariant systemとは、入出力写像にゅうしゅつりょくしゃぞうが線型結合せんけいけつごうを保存ほぞんし、シフト作用さようと可換かかんであるシステムをいう。$$n=0$$n=0 で 1、それ以外いがいで 0 の単位たんいインパルスunit impulse $$\delta \left[n\right]$$\delta[n] を入力にゅうりょくしたときの出力しゅつりょく $$h\left[n\right]$$h[n] をインパルス応答おうとうimpulse responseという。

有限個ゆうげんこの項こうだけが 0 でない列れつは $$x\left[n\right]=\sum _{k}x\left[k\right]\delta [n-k]$$x[n]=\sum_kx[k]\delta[n-k] と有限和ゆうげんわで書かける。LTI の線型性せんけいせいと時不変性じふへんせいから、その出力しゅつりょくは

となる。一般いっぱんの列れつでは、この畳たたみ込こみ級数きゅうすうが収束しゅうそくし、システム作用さようと有限部分和ゆうげんぶぶんわの極限きょくげんを交換こうかんできる場合ばあいに同おなじ表示ひょうじへ拡張かくちょうする。以下いかでは、出力しゅつりょくがこの畳たたみ込こみで与あたえられる LTI システムを扱あつかう。$$h$$h の Z 変換へんかん $$H_{\mathrm{b}}\left(z\right)$$H_{\mathrm b}(z) を、この畳たたみ込こみ作用さようの伝達関数でんたつかんすうtransfer functionという。

離散りさん畳たたみ込こみを

で定義ていぎする。二重和にじゅうわの順序じゅんじょを交換こうかんできるだけ絶対収束ぜったいしゅうそくする $$z$$z の範囲はんいでは

である。

線型時不変せんけいじふへんな離散時間りさんじかんシステムでは、入力にゅうりょく $x$x とインパルス応答おうとう $h$h から出力しゅつりょくが $h*x$h*x として表あらわされる。Z 変換へんかんは、その畳たたみ込こみを積せきへ変換へんかんするため、差分方程式さぶんほうていしきおよびデジタルフィルタの解析かいせきに適用てきようできる。

9.1安定性あんていせいと単位円たんいえん

入力にゅうりょくの上界じょうかいを $$B$$B としたとき、入力にゅうりょくに依存いぞんしない定数ていすう $$C$$C により出力しゅつりょくの上界じょうかいを $$CB$$CB とできるBIBO 安定性あんていせいbounded-input bounded-output stabilityは、インパルス応答おうとうについて

と同値どうちである。実際じっさい、$$\left|x\right[n\left]\right|\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}B$$|x[n]|\le B なら

なので、絶対総和可能性ぜったいそうわかのうせいから BIBO 安定性あんていせいが従したがう。逆ぎゃくに BIBO 安定あんていなら、$$\left|k\right|\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}N$$|k|\le N で $$x_N[-k]=\stackrel{\_}{h\left[k\right]}/\left|h\right[k\left]\right|$$x_N[-k]=\overline{h[k]}/|h[k]|（$$h\left[k\right]=0$$h[k]=0 なら 0）、その外そとで 0 と選えらぶ。すると $$\left|x_N\right[n\left]\right|\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}1$$|x_N[n]|\le1 であり、$$n=0$$n=0 の出力しゅつりょくは

となる。安定性あんていせいによる $$N$$N に依存いぞんしない上界じょうかいから $$\sum _k\left|h\right[k\left]\right|<\mathrm{\infty }$$\sum_k|h[k]|<\infty を得える。

このとき $$z=e^{i\omega }$$z=e^{i\omega} を代入だいにゅうした級数きゅうすうは絶対収束ぜったいしゅうそくするので、単位円たんいえん $$\left|z\right|=1$$|z|=1 は $$H_{\mathrm{b}}$$H_{\mathrm b} の ROC に含ふくまれ、

を周波数応答しゅうはすうおうとうと呼よべる。単位円たんいえんが ROC に含ふくまれない場合ばあい、有理式ゆうりしきへ形式的けいしきてきに $$z=e^{i\omega }$$z=e^{i\omega} を代入だいにゅうしただけでは周波数応答しゅうはすうおうとうにならない。

伝達関数でんたつかんすうが有理式ゆうりしきのとき、分子ぶんしと分母ぶんぼの共通因子きょうつういんしを消けすことを極零相殺きょくれいそうさいpole-zero cancellationという。因果的いんがてき、すなわち $$h\left[n\right]=0(n<0)$$h[n]=0\ (n<0) である有理ゆうりなシステムでは、極零相殺きょくれいそうさいを済すませた伝達関数でんたつかんすうのすべての極きょくが単位円たんいえんの内側うちがわにあることが BIBO 安定あんていの条件じょうけんになる。これは因果性いんがせいにより ROC が最外極さいがいきょくの外側そとがわとなり、そこに単位円たんいえんを含ふくめるためである。

10Laplace・Fourier・Z 変換へんかんの位置いちづけ

両側りょうがわ Z 変換へんかんの ROC が単位円たんいえんを含ふくむとき、$$z=e^{i\omega }$$z=e^{i\omega} と置おいた $$X_{\mathrm{b}}\left(e^{i\omega }\right)$$X_{\mathrm b}(e^{i\omega}) は離散時間りさんじかん Fourier 変換へんかんになる。したがって「Fourier 変換へんかんは Z 変換へんかんの単位円上たんいえんじょうの値あたいである」という解釈かいしゃくには、単位円たんいえんが ROC に含ふくまれるという条件じょうけんが必要ひつようである。

11成立範囲せいりつはんい

Z 変換へんかんでは収束領域しゅうそくりょういきが変換結果へんかんけっかの一部いちぶである。同おなじ式しきでも ROC が異ことなれば元もとの両側列りょうがわれつが異ことなる。また、片側変換かたがわへんかんは $$n<0$$n<0 の情報じょうほうを持もたず、初期値問題しょきちもんだいの境界項きょうかいこうを扱あつかうための変換へんかんである。両側変換りょうがわへんかんの ROC による左右列さゆうれつの識別しきべつと、片側変換かたがわへんかんの役割やくわりを区別くべつする必要ひつようがある。

したがって、Z 変換へんかんの適用前てきようまえに、列れつと変換へんかんが片側かたがわか両側りょうがわか、初期値しょきちを対象たいしょうとするか、周波数応答しゅうはすうおうとうを解析かいせきするかを明示めいじする。

この講義こうぎの変換契約へんかんけいやく

• 両側りょうがわ Z 変換へんかんは「$$X_{\mathrm{b}}\left(z\right)$$X_{\mathrm b}(z) と ROC」の組くみとして扱あつかう。
• 片側かたがわ Z 変換へんかんは $$X_{+}\left(z\right)$$X_+(z) と書かき、初期項しょきこうを含ふくむシフト公式こうしきを使つかう。
• 逆変換ぎゃくへんかんでは ROC に適合てきごうする Laurent 展開てんかいを選択せんたくし、$$z^{-n}$$z^{-n} の係数けいすうを抽出ちゅうしゅつする。
• 周波数応答しゅうはすうおうとうとして単位円たんいえんを使つかうには、$$\left|z\right|=1$$|z|=1 が ROC に含ふくまれることを確認かくにんする。

12要約ようやく

Z 変換へんかんは、離散時間りさんじかんのシフト作用素さようそを $z$z や $z^{-1}$z^{-1} の代数操作だいすうそうさへ移うつし、漸化式ぜんかしき・差分方程式さぶんほうていしき・離散りさん畳たたみ込こみを扱あつかいやすくする変換へんかんである。

13関連かんれんリンク

Foundations of the Z-Transform

1Introduction

This lecture explains the Z-transform as a transformation that converts a shift operator into algebraic multiplication by $z$z or $z^{-1}$z^{-1}. In continuous-time differential equations the Laplace transform converts differentiation into an expression in $s$s; in discrete-time recurrences the Z-transform performs the corresponding role for shifts and delays.

2Definitions

Assume $z\ne 0$z\ne0. For a bilateral sequence $\left(x\right[n]{)}_{n\in \mathbb{Z}}$(x[n])_{n\in\mathbb Z}, define

For a unilateral sequence $\left(x\right[n]{)}_{n\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}0}$(x[n])_{n\ge0}, define

The region of convergence (ROC) is the set of $z$z for which the corresponding series converges absolutely. A Z-transform result consists of both its expression and its ROC. The notations $X_{\mathrm{b}}$X_{\mathrm b} and $X_{+}$X_+ distinguish the bilateral and unilateral transforms throughout.

3The Same Expression Can Represent Different Sequences

Let $a\ne 0$a\ne0 and let $u\left[n\right]$u[n] be one for $n\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}0$n\ge0 and zero for $n<0$n<0. For $x\left[n\right]=a^{n}u\left[n\right]$x[n]=a^nu[n],

For $y\left[n\right]=-a^{n}u[-n-1]$y[n]=-a^nu[-n-1],

Thus the same rational expression denotes a right-sided or left-sided sequence according to the ROC. Inversion selects the Laurent expansion compatible with the ROC and extracts the coefficient of $z^{-n}$z^{-n}. Here geometric series and coefficient comparison suffice; complex contour integration is not required.

4Why the Weight Is $z^{-n}$z^{-n}

The identity $z^{-(n+1)}=z^{-1}{z}^{-n}$z^{-(n+1)}=z^{-1}z^{-n} makes a unit index shift become multiplication by $z$z or $z^{-1}$z^{-1} after transformation. This property converts equations in shift operators into algebraic equations.

5Proposition 1: The Bilateral Z-Transform Is Linear

5.1Statement

On the intersection of the ROCs of $X_{\mathrm{b}}$X_{\mathrm b} and $Y_{\mathrm{b}}$Y_{\mathrm b},

5.2Proof

Absolute convergence on the common region justifies termwise operations, and

Cancellation can enlarge the ROC of the sum, but the equality is always valid on the common region. $\mathrm{\square }$\square

6Proposition 2: Bilateral Shifts Become Multiplication by $z$z

6.1Statement

For the forward shift $\left(Ex\right)\left[n\right]=x[n+1]$(Ex)[n]=x[n+1] and delay $\left(D_{-}x\right)\left[n\right]=x[n-1]$(D_-x)[n]=x[n-1],

6.2Proof

With $m=n+1$m=n+1,

Likewise, $m=n-1$m=n-1 gives

7Initial Terms Appear in the Unilateral Transform

Because the unilateral sum begins at $n=0$n=0, shifting leaves a boundary term:

This is the discrete counterpart of $\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("mathcal")")]}L\left\{f^{\prime }\right\}=sF\left(s\right)-f\left(0\right)$\mathcal L\{f'\}=sF(s)-f(0). A unilateral transform includes initial data at the cost of initial terms in shift formulas.

8Application to a Recurrence

For

the unilateral transform gives

This converts an equation in the shift operator into an algebraic equation for $X_{+}$X_+. If $r\left[n\right]=0$r[n]=0,

so coefficient extraction gives $x\left[n\right]=x_0{a}^n$x[n]=x_0a^n for $n\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}0$n\ge0.

9Relation to Convolution

An LTI system preserves linear combinations and commutes with shifts. The unit impulse $\delta \left[n\right]$\delta[n] equals one at $n=0$n=0 and zero otherwise; the output generated by this input is the impulse response $h\left[n\right]$h[n]. A finitely supported sequence satisfies $x\left[n\right]=\sum _{k}x\left[k\right]\delta [n-k]$x[n]=\sum_kx[k]\delta[n-k], so linearity and time invariance give

For general sequences, this representation extends when the convolution converges and the system action commutes with limits of finite partial sums. Define

Where absolute convergence permits exchanging double sums,

The transform $H_{\mathrm{b}}$H_{\mathrm b} is the transfer function of this convolution operator. Transforming convolution into multiplication makes the Z-transform effective for difference equations and digital filters.

9.1Stability and the Unit Circle

BIBO stability is equivalent to absolute summability of the impulse response:

Sufficiency follows from $\left|\right(h*x\left)\right[n\left]\right|\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}B\sum _k\left|h\right[k\left]\right|$|(h*x)[n]|\le B\sum_k|h[k]| when $\left|x\right[n\left]\right|\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}B$|x[n]|\le B. Conversely, define $x_N[-k]=\stackrel{\_}{h\left[k\right]}/\left|h\right[k\left]\right|$x_N[-k]=\overline{h[k]}/|h[k]| for $\left|k\right|\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}N$|k|\le N when $h\left[k\right]\ne 0$h[k]\ne0, and zero otherwise. Then $\left|x_N\right[n\left]\right|\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}1$|x_N[n]|\le1 and

A stability bound independent of $N$N implies absolute summability.

Consequently the unit circle lies in the ROC and

is the frequency response. Formal substitution $z=e^{i\omega }$z=e^{i\omega} is not a frequency response when the unit circle is outside the ROC.

For a causal rational system, after pole-zero cancellation, BIBO stability is equivalent to every remaining pole lying strictly inside the unit circle. Causality makes the ROC exterior to the outermost pole, so it contains the unit circle exactly under this condition.

10Position of the Laplace, Fourier, and Z Transforms

When the bilateral ROC contains the unit circle, $X_{\mathrm{b}}\left(e^{i\omega }\right)$X_{\mathrm b}(e^{i\omega}) is the discrete-time Fourier transform. The assertion that the Fourier transform is the value of the Z-transform on the unit circle therefore requires this ROC condition.

11Scope

The ROC is part of every bilateral transform result; changing it can change the underlying sequence. The unilateral transform contains no information for $n<0$n<0 and is intended for boundary terms in initial-value problems. It must not be conflated with the bilateral ROC distinction between left- and right-sided sequences.

Before applying a Z-transform, specify whether the sequence and transform are bilateral or unilateral, whether initial data are involved, and whether a frequency response is required.

Transform contract

• Treat a bilateral result as the pair $\left(X_{\mathrm{b}}\right(z),\mathrm{R}\mathrm{O}\mathrm{C})$(X_{\mathrm b}(z),\mathrm{ROC}).
• Use $X_{+}\left(z\right)$X_+(z) and shift formulas with initial terms for unilateral transforms.
• Invert with the Laurent expansion compatible with the ROC and extract coefficients of $z^{-n}$z^{-n}.
• Use the unit circle as a frequency response only when $\left|z\right|=1$|z|=1 lies in the ROC.

12Summary

The Z-transform converts discrete-time shifts into algebraic multiplication by $z$z or $z^{-1}$z^{-1} and thereby supports the analysis of recurrences, difference equations, and discrete convolution.

13Related Lectures