一階線型微分方程式いっかいせんけいびぶんほうていしきと積分因子せきぶんいんし

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、積分因子せきぶんいんしintegrating factorを暗記あんきする公式こうしきではなく、左辺さへんを積せきの微分びぶんに作つくり替かえるための因子いんしとして導出どうしゅつする。

一階線型いっかいせんけいの標準形ひょうじゅんけいは

である。この形かたちでは、$$y^{\prime }$$y' と $$y$$y が別々べつべつに現あらわれるため、そのまま積分せきぶんしにくい。そこで、ある関数かんすう $$\mu \left(x\right)$$\mu(x) を掛かけて、

を

という 1 個この微分びぶんにしたい。

2積分因子せきぶんいんしを導入どうにゅうする理由りゆう

$\mu =e^{\int p\left(x\right)dx}$\mu=e^{\int p(x)\,dx} という式しきは、積せきの微分公式びぶんこうしきから系統的けいとうてきに導出どうしゅつできる。

まず、直接ちょくせつ積分せきぶんできる形かたちは

である。この形かたちなら、左辺さへんが 1 個この微分びぶんなので、そのまま積分せきぶんできる。

一方いっぽう、一階線型いっかいせんけい

では、左辺さへんに $$y^{\prime }$$y' と $$y$$y が別々べつべつに現あらわれる。$$p\left(x\right)y$$p(x)y が存在そんざいするため、左辺さへんをそのまま 1 個この関数かんすうの導関数どうかんすうとして積分せきぶんすることはできない。

そこで、積せきの微分公式びぶんこうしき

を逆向ぎゃくむきに適用てきようする。もし元もとの左辺さへんを

の形かたちに作つくり替かえられれば、左辺さへんは 1 個この微分びぶんになり、積分せきぶんできる。

ところが元もとの方程式ほうていしきには $$y^{\prime }+p\left(x\right)y$$y'+p(x)y しかない。そこで両辺りょうへんに未知みちの関数かんすう $$\mu \left(x\right)$$\mu(x) を掛かけて、

を作つくる。積せきの微分びぶんと比くらべると、うまくいくためには

であればよい。この条件じょうけんから $\mu$\mu を決きめると、積分因子せきぶんいんしが自然しぜんに出でる。

したがって、$\mu$\mu を掛かける目的もくてきは、左辺さへんを 1 個この積せきの導関数どうかんすうに変換へんかんし、直接積分ちょくせつせきぶんできる形かたちへ帰着きちゃくすることである。

3一階線型いっかいせんけいとは何なにか

一階線型微分方程式いっかいせんけいびぶんほうていしきfirst-order linear differential equationとは、

の形かたちに書かける一階微分方程式いっかいびぶんほうていしきである。ここで $$p\left(x\right),q\left(x\right)$$p(x),q(x) は $$x$$x の関数かんすうであり、$$y$$y や $$y^2$$y^2 を含ふくまない。

線型せんけいという用語ようごは、$$L\left[y\right]=y^{\prime }+p\left(x\right)y$$L[y]=y'+p(x)y とおいたとき、$$L[a{y}_1+b{y}_2]=aL\left[y_1\right]+bL\left[y_2\right]$$L[ay_1+by_2]=aL[y_1]+bL[y_2] が成立せいりつすることを意味いみする。この性質せいしつは、未知関数みちかんすう $$y$$y とその導関数どうかんすう $$y^{\prime }$$y' が積せきや非線型関数ひせんけいかんすうを介かいさずに現あらわれることに対応たいおうする。たとえば

は一階線型いっかいせんけいである。一方いっぽう、

は $$y^2$$y^2 を含ふくむので、そのままでは一階線型いっかいせんけいではない。

4命題めいだい1：積分因子せきぶんいんしの導出どうしゅつ

仮定かていとして、$$p,q$$p,q が対象区間たいしょうくかんで連続れんぞくであり、

を考かんがえる。$$\mu$$\mu が対象区間たいしょうくかんで 0 にならず、

を満みたすなら、

が成立せいりつする。また、$$\mu \ne 0$$\mu\ne0 であるため、この変換後へんかんごの方程式ほうていしきは元もとの方程式ほうていしきと同値どうちである。

4.1証明しょうめい

元もとの方程式ほうていしきの両辺りょうへんに $$\mu$$\mu を掛かける。

仮定かてい $${\mu }^{\prime }=\mu p\left(x\right)$$\mu'=\mu p(x) により、左辺さへんは

である。積せきの微分公式びぶんこうしき

より、

を得える。

逆ぎゃくに、$$(\mu y{)}^{\prime }=\mu q(x)$$(\mu y)'=\mu q(x) を積せきの微分公式びぶんこうしきで展開てんかいし、$${\mu }^{\prime }=\mu p\left(x\right)$$\mu'=\mu p(x) を代入だいにゅうすると、$$\mu y^{\prime }+\mu p\left(x\right)y=\mu q\left(x\right)$$\mu y'+\mu p(x)y=\mu q(x) となる。$$\mu$$\mu は対象区間たいしょうくかんで 0 にならないため、$$\mu$$\mu で除じょして元もとの方程式ほうていしきを得える。

したがって一階線型いっかいせんけいを解とく要点ようてんは、$${\mu }^{\prime }=\mu p\left(x\right)$$\mu'=\mu p(x) を満みたす $$\mu$$\mu を決定けっていすることである。

5積分因子せきぶんいんしの形かたち

は $$\mu \ne 0$$\mu\ne 0 の範囲はんいで

と書かける。両辺りょうへんを積分せきぶんすると、

である。したがって、積分因子せきぶんいんしとして

を選えらべばよい。積分定数せきぶんていすうを入いれると $$\mu$$\mu に定数倍ていすうばいが付つくだけであり、最終的さいしゅうてきな解かいの任意定数にんいていすうに吸収きゅうしゅうされる。

6命題めいだい2：一般解いっぱんかいの公式こうしき

仮定かていとして、$$p,q$$p,q が区間くかん $$I$$I で連続れんぞくであるとする。$$\mu =e^{\int p\left(x\right)dx}$$\mu=e^{\int p(x)\,dx} とおけば、一階線型方程式いっかいせんけいほうていしき

の解かいは

で与あたえられる。

6.1証明しょうめい

命題めいだい1より、

である。両辺りょうへんを積分せきぶんすると、

である。$$\mu =e^{\int p\left(x\right)dx}$$\mu=e^{\int p(x)\,dx} は 0 にならないので、両辺りょうへんを $$\mu$$\mu で割わって

を得える。

この証明しょうめいは、一般解いっぱんかいの公式こうしきが、積分因子せきぶんいんしによって方程式ほうていしきを直接積分ちょくせつせきぶんできる形かたちへ変換へんかんした結果けっかであることを示しめす。

7例れい1：$$y^{\prime }+y=x$$y'+y=x

では $$p\left(x\right)=1,q\left(x\right)=x$$p(x)=1,\ q(x)=x である。積分因子せきぶんいんしは

である。両辺りょうへんに $$e^x$$e^x を掛かけると、

である。左辺さへんは

なので、

である。積分せきぶんして

を得える。したがって

である。

検算けんざんする。$$y^{\prime }=1-C{e}^{-x}$$y'=1-Ce^{-x} だから、

となり、元もとの方程式ほうていしきを満みたす。

8定数変化法ていすうへんかほうとの関係かんけい

定数変化法ていすうへんかほうvariation of constantsは、一階線型いっかいせんけいを別べつの角度かくどから解とく方法ほうほうである。

まず非同次項ひどうじこう $$q\left(x\right)$$q(x) を 0 にした同次方程式どうじほうていしき

を解とく。$$y=0$$y=0 はこの同次方程式どうじほうていしきの解かいである。$$y\ne 0$$y\ne 0 の範囲はんいでは変数分離へんすうぶんりでき、

から

を得える。$$C=0$$C=0 とすれば、先さきに確認かくにんした零解れいかいもこの解族かいぞくに含ふくまれる。

非同次方程式ひどうじほうていしきでは、この定数ていすう $$C$$C を関数かんすう $$C\left(x\right)$$C(x) に変かえる。

とおく。ここで

とすれば

である。積分因子法せきぶんいんしほうで得えた

は、

と同おなじ意味いみである。つまり定数変化法ていすうへんかほうは、同次解どうじかいの定数ていすうを動うごかして非同次項ひどうじこうに対応たいおうする方法ほうほうであり、積分因子法せきぶんいんしほうと同おなじ構造こうぞうを持もつ。

9線型作用素せんけいさようそによる表現ひょうげん

左辺さへんを

と書かくと、一階線型方程式いっかいせんけいほうていしきは

である。これは線型作用素せんけいさようそlinear operatorの方程式ほうていしきである。同次方程式どうじほうていしき $$L\left[y\right]=0$$L[y]=0 の解かいは核かく $$\ker L$$\ker L にあたり、非同次方程式ひどうじほうていしきの一般解いっぱんかいは

の形かたちになる。

この作用素表現さようそひょうげんは、後続こうぞくの二階線型方程式にかいせんけいほうていしきや連立系れんりつけいでも使用しようする。

10適用範囲てきようはんい

この方法ほうほうは、方程式ほうていしきが

という線型せんけいの形かたちに整理せいりできる場合ばあいに適用てきようする。$$p,q$$p,q が区間くかん $$I$$I で連続れんぞくなら、$$I$$I 内ないの点てんで指定していした初期値しょきちに対たいし、$$I$$I 全体ぜんたいで一意いちいな解かいが存在そんざいする。

一方いっぽう、

のように $$y^n$$y^n が現あらわれる場合ばあいは、そのままでは一階線型いっかいせんけいではない。ただし Bernoulli 型がたでは、置換ちかんによって一階線型いっかいせんけいへ帰着きちゃくできる場合ばあいがある。

積分因子せきぶんいんしは、次つぎの完全微分方程式かんぜんびぶんほうていしきでは、微分形式びぶんけいしきを全微分ぜんびぶんへ変換へんかんする因子いんしとして一般化いっぱんかされる。

11演習えんしゅうリンク

First-Order Linear Differential Equations and Integrating Factors

1Introduction

This lecture derives an integrating factor as a factor that converts the left-hand side of a first-order linear equation into the derivative of a product, rather than presenting it as a formula to memorize.

The standard form of a first-order linear equation is

Because $$y^{\prime }$$y' and $$y$$y occur as separate terms, the left-hand side cannot generally be integrated directly. The objective is to multiply the equation by a function $$\mu \left(x\right)$$\mu(x) so that

becomes the single derivative

2Why an Integrating Factor Is Introduced

The expression $$\mu =e^{\int p\left(x\right)dx}$$\mu=e^{\int p(x)\,dx} follows systematically from the product rule.

An equation of the form

can be integrated directly because its left-hand side is already one derivative. By contrast, in

the term $$p\left(x\right)y$$p(x)y prevents the left-hand side from being integrated directly as the derivative of a single function.

Apply the product rule in reverse:

If multiplication by an unknown function $$\mu \left(x\right)$$\mu(x) transforms the original left-hand side into

then it becomes one derivative. Multiplication of the original equation by $$\mu$$\mu gives

Comparison with the product rule shows that the required condition is

Thus the purpose of the integrating factor is to transform the left-hand side into the derivative of a product and thereby reduce the equation to direct integration.

3First-Order Linear Differential Equations

A first-order linear differential equation is an equation that can be written as

where $$p\left(x\right)$$p(x) and $$q\left(x\right)$$q(x) depend only on $$x$$x.

The term linear means that, for $$L\left[y\right]=y^{\prime }+p\left(x\right)y$$L[y]=y'+p(x)y,

Equivalently, the unknown function and its derivative do not occur in products with each other or inside nonlinear functions. For example,

is first-order linear, whereas

is not linear in $$y$$y because it contains $$y^2$$y^2.

4Proposition 1: Derivation of the Integrating Factor

Suppose that $$p$$p and $$q$$q are continuous on an interval and that

If $$\mu$$\mu is nonzero on the interval and satisfies

then

Moreover, because $$\mu \ne 0$$\mu\ne0, the transformed equation is equivalent to the original equation.

4.1Proof

Multiply the original equation by $$\mu$$\mu:

The assumption $${\mu }^{\prime }=\mu p\left(x\right)$$\mu'=\mu p(x) transforms the left-hand side into

The product rule therefore gives

Conversely, expand $$(\mu y{)}^{\prime }=\mu q(x)$$(\mu y)'=\mu q(x) by the product rule and substitute $${\mu }^{\prime }=\mu p\left(x\right)$$\mu'=\mu p(x). This gives $$\mu y^{\prime }+\mu p\left(x\right)y=\mu q\left(x\right)$$\mu y'+\mu p(x)y=\mu q(x). Since $$\mu$$\mu is nonzero on the interval, division by $$\mu$$\mu recovers the original equation.

Consequently, the essential step is to determine a function $$\mu$$\mu satisfying $${\mu }^{\prime }=\mu p\left(x\right)$$\mu'=\mu p(x).

5Form of the Integrating Factor

On a range where $$\mu \ne 0$$\mu\ne0, the equation $${\mu }^{\prime }=\mu p\left(x\right)$$\mu'=\mu p(x) becomes

Integration gives

One may therefore choose

An integration constant only multiplies $$\mu$$\mu by a nonzero constant, which is absorbed into the arbitrary constant in the final solution.

6Proposition 2: General-Solution Formula

Suppose that $$p$$p and $$q$$q are continuous on an interval $$I$$I. With

the solutions of

are given by

6.1Proof

Proposition 1 gives

Integrating both sides yields

Since $$\mu =e^{\int p\left(x\right)dx}$$\mu=e^{\int p(x)\,dx} is nonzero, division by $$\mu$$\mu gives

Thus the formula results directly from transforming the equation into an integrable product derivative.

7Example 1: $$y^{\prime }+y=x$$y'+y=x

For

we have $$p\left(x\right)=1$$p(x)=1 and $$q\left(x\right)=x$$q(x)=x. An integrating factor is

Multiplication by $$e^x$$e^x gives

The left-hand side is $$(e^{x}y{)}^{\prime }$$(e^x y)', so

Integration yields

and hence

To verify the result, note that $$y^{\prime }=1-C{e}^{-x}$$y'=1-Ce^{-x}. Therefore,

8Relation to Variation of Constants

Variation of constants provides another derivation for the solution of a first-order linear equation. First consider the associated homogeneous equation

The zero function is a solution. On a branch where $$y\ne 0$$y\ne0, separation gives

and hence

Allowing $$C=0$$C=0 includes the zero solution. For the nonhomogeneous equation, replace the constant $$C$$C by a function $$C\left(x\right)$$C(x):

If $$\mu =e^{\int p\left(x\right)dx}$$\mu=e^{\int p(x)\,dx}, then

The integrating-factor equation

is therefore equivalent to

Variation of constants and the integrating-factor method express the same transformation: the constant multiplying a homogeneous solution is varied to account for the nonhomogeneous term.

9Linear-Operator Formulation

Define

Then the first-order linear equation is

This is an equation for a linear operator. The solutions of the homogeneous equation $$L\left[y\right]=0$$L[y]=0 form the kernel $$\ker L$$\ker L, and the general solution of the nonhomogeneous equation has the form

The same operator formulation will be used for second-order linear equations and systems of equations.

10Scope of the Method

The integrating-factor method applies when an equation can be written in the linear form

If $$p$$p and $$q$$q are continuous on an interval $$I$$I, then an initial value prescribed at a point in $$I$$I determines a unique solution on all of $$I$$I.

An equation of the form

is not linear in $$y$$y as written. A Bernoulli equation of this form can sometimes be transformed into a first-order linear equation by substitution.

In the next lecture, the integrating-factor concept is generalized to a factor that transforms a differential form into a total differential.

11Exercises