変数分離形へんすうぶんりけいと自律方程式じりつほうていしき

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、変数分離法へんすうぶんりほうseparation of variablesを $$dy$$dy と $$dx$$dx の形式的けいしきてきな移項いこうとしてではなく、合成関数ごうせいかんすうの微分公式びぶんこうしきを逆向ぎゃくむきに適用てきようする方法ほうほうとして説明せつめいする。

変数分離へんすうぶんりが使つかえるのは、未知関数みちかんすうの変化率へんかりつが

のように、$$x$$x だけの部分ぶぶんと $$y$$y だけの部分ぶぶんの積せきに分わかれている場合ばあいである。この形かたちだから、$$y$$y に関かんする因子いんしを左ひだりへ、$$x$$x に関かんする因子いんしを右みぎへ整理せいりできる。

ただし、$$g\left(y\right)$$g(y) で割わる操作そうさは、$$g\left(y\right)=0$$g(y)=0 の解かいを除外じょがいする操作そうさでもある。そのため、変数分離へんすうぶんりでは計算けいさんの前まえに定数解ていすうかいを確認かくにんする。本ほんによっては $$g\left(y\right)$$g(y) を $$h\left(y\right)$$h(y) と書かくが、注意ちゅういは同おなじである。

2標準形ひょうじゅんけい

変数分離形へんすうぶんりけいseparable equationとは、

に整理せいりできる一階微分方程式いっかいびぶんほうていしきである。

特とくに

のように右辺うへんが独立変数どくりつへんすう $$x$$x を明示的めいじてきに含ふくまない方程式ほうていしきを自律方程式じりつほうていしきautonomous equationという。これは $$f\left(x\right)=1,g\left(y\right)=F\left(y\right)$$f(x)=1,\ g(y)=F(y) とおけば変数分離形へんすうぶんりけいでもある。

3命題めいだい1：変数分離へんすうぶんりで得えた陰関数解いんかんすうかいは元もとの方程式ほうていしきを満みたす

区間くかん $$I,J$$I,J と微分可能びぶんかのうな関数かんすう $$y:I\to J$$y:I\to J を考かんがえ、$$g$$g は $$J$$J 上じょうで 0 にならないとする。

において、$$I$$I 上じょうで $$F^{\prime }\left(x\right)=f\left(x\right)$$F'(x)=f(x)、$$J$$J 上じょうで $$G^{\prime }\left(y\right)=1/g\left(y\right)$$G'(y)=1/g(y) とする。このとき

を満みたす微分可能びぶんかのうな関数かんすう $$y\left(x\right)$$y(x) は、元もとの方程式ほうていしきを満みたす。

3.1証明しょうめい

$$G\left(y\right(x\left)\right)=F\left(x\right)+C$$G(y(x))=F(x)+C を $$x$$x で微分びぶんする。合成関数ごうせいかんすうの微分公式びぶんこうしきより、

である。$$G^{\prime }\left(y\right)=1/g\left(y\right)$$G'(y)=1/g(y)、$$F^{\prime }\left(x\right)=f\left(x\right)$$F'(x)=f(x) だから

である。$$g\left(y\right)\ne 0$$g(y)\ne 0 なので両辺りょうへんに $$g\left(y\right)$$g(y) を掛かけて

を得える。したがって変数分離へんすうぶんりで得えた関係式かんけいしきは元もとの方程式ほうていしきを満みたす。

この証明しょうめいが、形式的けいしきてきに

と書かいて積分せきぶんしてよい理由りゆうである。

4解法かいほうの手順てじゅん

1. $$y^{\prime }=f\left(x\right)g\left(y\right)$$y'=f(x)g(y) の形かたちに整理せいりする。
2. $$g\left(y\right)=0$$g(y)=0 を満みたす定数解ていすうかいを先さきに確認かくにんする。
3. $$g\left(y\right)\ne 0$$g(y)\ne 0 の範囲はんいで

と分離ぶんりする。

1. 両辺りょうへんを積分せきぶんする。
2. 条件じょうけんがあれば任意定数にんいていすうに対たいする制約方程式せいやくほうていしきを解とく。
3. 最後さいごに元もとの方程式ほうていしきと指定していされたすべての条件じょうけんへ代入だいにゅうして検算けんざんする。

5命題めいだい2：$$g\left(y\right)=0$$g(y)=0 は定数解ていすうかいを与あたえる

5.1主張しゅちょう

変数分離形へんすうぶんりけい

で、ある定数ていすう $a$a が $g\left(a\right)=0$g(a)=0 を満みたすとする。このとき

は定数解ていすうかいである。

5.2証明しょうめい

$y\left(x\right)=a$y(x)=a は定数関数ていすうかんすうなので

である。また $g\left(a\right)=0$g(a)=0 だから

である。したがって

を満みたす。

この命題めいだいが、変数分離へんすうぶんりで $$g\left(y\right)$$g(y) で割わる前まえに $$g\left(y\right)=0$$g(y)=0 を確認かくにんする理由りゆうである。$$g\left(y\right)$$g(y) で割わった後あとの式しきには、$$g\left(y\right)=0$$g(y)=0 の定数解ていすうかいは現あらわれない。

6例れい1：$$y^{\prime }=xy$$y'=xy

は $$f\left(x\right)=x,g\left(y\right)=y$$f(x)=x,\ g(y)=y の変数分離形へんすうぶんりけいである。まず $$g\left(y\right)=y=0$$g(y)=y=0 から、$$y=0$$y=0 は定数解ていすうかいである。

つぎに $$y\ne 0$$y\ne 0 として、

と分離ぶんりする。両辺りょうへんを積分せきぶんして

を得える。指数関数しすうかんすうを取とると、

である。$$e^C>0$$e^C>0 であり、符号ふごうも定数ていすうに吸収きゅうしゅうできるので、

と書かける。この式しきは $$C=0$$C=0 を許ゆるすため、最初さいしょに確認かくにんした定数解ていすうかい $$y=0$$y=0 も含ふくむ。

7陽関数解ようかんすうかいと陰関数解いんかんすうかい

陽関数解ようかんすうかいexplicit solutionとは、$$y=H\left(x\right)$$y=H(x) のように $$y$$y が $$x$$x の式しきとして直接ちょくせつ表あらわされている解かいである。

陰関数解いんかんすうかいimplicit solutionとは、

のように、$$x$$x と $$y$$y の関係式かんけいしきとして表あらわされた解かいである。

変数分離へんすうぶんりでは、積分せきぶんの結果けっかが必かならず $$y=H\left(x\right)$$y=H(x) に解とけるとは限かぎらない。その場合ばあいでも、関係式かんけいしきが微分可能びぶんかのうな関数かんすうを定さだめる区間くかんでは、元もとの方程式ほうていしきを満みたすことを確認かくにんした陰関数解いんかんすうかいとして解かいを表あらわせる。

8例れい2：途中とちゅうで発散はっさんする解かい

を考かんがえる。$$y=0$$y=0 は定数解ていすうかいだが、初期条件しょきじょうけん $$y\left(0\right)=1$$y(0)=1 には合あわない。$$y\ne 0$$y\ne 0 として

を積分せきぶんすると、

である。$$y\left(0\right)=1$$y(0)=1 より $$-1=C$$-1=C だから

であり、

を得える。

この解かいは $$x=1$$x=1 で定義ていぎできない。したがって初期点しょきてん $$x=0$$x=0 を含ふくむ最大解区間さいだいかいくかんは $$(-\mathrm{\infty },1)$$(-\infty,1) である。

この例れいは、微分方程式びぶんほうていしきの解かいを数式すうしきと定義域ていぎいきの組くとして指定していする必要性ひつようせいを示しめす。

9自律方程式じりつほうていしきと平衡解へいこうかい

平衡解へいこうかいequilibrium solutionとは、独立変数どくりつへんすうが変化へんかしても値あたいが一定いっていである定数解ていすうかいをいう。自律方程式じりつほうていしき

では、$$F\left(a\right)=0$$F(a)=0 なら $$y=a$$y=a は平衡解へいこうかいである。

9.1証明しょうめい

$$y=a$$y=a は定数関数ていすうかんすうなので $$y^{\prime }=0$$y'=0 である。一方いっぽう、$$F\left(a\right)=0$$F(a)=0 だから右辺うへんも 0 である。したがって

を満みたす。

自律方程式じりつほうていしきでは、解かいを明示的めいじてきに求もとめる前まえに、$$F\left(y\right)$$F(y) の符号ふごうから解かいの増減ぞうげんを判定はんていできる。$$F\left(y\right)>0$$F(y)>0 なら $$y$$y は増加ぞうかし、$$F\left(y\right)<0$$F(y)<0 なら $$y$$y は減少げんしょうする。

10例れい3：Logistic 方程式ほうていしき

は自律方程式じりつほうていしきである。$$F\left(y\right)=y(1-y)$$F(y)=y(1-y) とおくと、平衡解へいこうかいは

である。

符号ふごうを調しらべる。

したがって、解かいが $$0<y<1$$0<y<1 にある間あいだは増加ぞうかし、位相線いそうせんの矢印やじるしは平衡解へいこうかい $$y=1$$y=1 の方向ほうこうを指さす。この符号解析ふごうかいせきにより、解かいの明示式めいじしきを導出どうしゅつする前まえにも局所的きょくしょてきな増減ぞうげんを判定はんていできる。$$y=1$$y=1 への収束しゅうそくを結論けつろんするには、解かいが $$0<y<1$$0<y<1 にとどまることと、その極限きょくげんを別途べっと確認かくにんする必要ひつようがある。

11変数分離へんすうぶんりできない例れい

は $$x$$x と $$y$$y が和わで結むすばれている。積せき $$f\left(x\right)g\left(y\right)$$f(x)g(y) に分解ぶんかいされていないので、変数分離形へんすうぶんりけいとして扱あつかってはならない。この方程式ほうていしきは

と整理せいりして一階線型いっかいせんけいとして扱あつかう。

12特異解とくいかいとの関係かんけい

$$g\left(y\right)=0$$g(y)=0 の定数解ていすうかいを除算じょざんによって脱落だつらくさせることと、特異解とくいかいの存在そんざいとは別べつの問題もんだいである。特異解とくいかいは、微分方程式びぶんほうていしきを満みたすが、一般解族いっぱんかいぞくの任意定数にんいていすうを選択せんたくしても得えられない解かいとして判定はんていする。

同一どういつの初期条件しょきじょうけんを満みたす複数ふくすうの解かいが存在そんざいする非一意性ひいちいせいは、存在一意性定理そんざいいちいせいていりの仮定かていに関かんする別べつの問題もんだいであり、特異解とくいかいの定義ていぎでも十分条件じゅうぶんじょうけんでもない。変数分離へんすうぶんりの計算けいさんでは、除算じょざんした因子いんし、定義域ていぎいき、初期条件しょきじょうけんを最後さいごに確認かくにんする。

13まとめ

変数分離形へんすうぶんりけいで最初さいしょに確認かくにんすることは、次つぎの 4 点てんである。

1. $$y^{\prime }=f\left(x\right)g\left(y\right)$$y'=f(x)g(y) に整理せいりできるか。
2. $$g\left(y\right)=0$$g(y)=0 から定数解ていすうかいが出でないか。
3. 積分せきぶんの結果けっかが陽関数解ようかんすうかいか陰関数解いんかんすうかいか。
4. 得えた解かいの定義域ていぎいきはどこか。

14演習えんしゅうリンク

Separable Equations and Autonomous Equations

1Introduction

This lecture explains separation of variables not as a formal rearrangement of $$dy$$dy and $$dx$$dx, but as an application of the chain rule in reverse.

Separation applies when the rate of change of an unknown function factors as

with one factor depending only on $$x$$x and the other only on $$y$$y. This product structure permits the $$y$$y-dependent factor to be placed on one side and the $$x$$x-dependent factor on the other.

Division by $$g\left(y\right)$$g(y) excludes points at which $$g\left(y\right)=0$$g(y)=0. Therefore, constant solutions arising from such zeros must be checked before division. Some sources denote this factor by $$h\left(y\right)$$h(y); the same caution applies.

2Standard Form

A separable equation is a first-order differential equation that can be written as

An equation of the form

whose right-hand side does not explicitly contain the independent variable, is called an autonomous equation. It is separable by taking $$f\left(x\right)=1$$f(x)=1 and $$g\left(y\right)=F\left(y\right)$$g(y)=F(y).

3Proposition 1: An Implicit Relation Obtained by Separation Satisfies the Original Equation

Let $$I$$I and $$J$$J be intervals, let $$y:I\to J$$y:I\to J be differentiable, and suppose that $$g$$g is nonzero on $$J$$J. Consider

Assume that $$F^{\prime }\left(x\right)=f\left(x\right)$$F'(x)=f(x) on $$I$$I and $$G^{\prime }\left(y\right)=1/g\left(y\right)$$G'(y)=1/g(y) on $$J$$J. Then every such function $$y\left(x\right)$$y(x) satisfying

satisfies the original differential equation.

3.1Proof

Differentiate $$G\left(y\right(x\left)\right)=F\left(x\right)+C$$G(y(x))=F(x)+C with respect to $$x$$x. The chain rule gives

Using $$G^{\prime }\left(y\right)=1/g\left(y\right)$$G'(y)=1/g(y) and $$F^{\prime }\left(x\right)=f\left(x\right)$$F'(x)=f(x) gives

Since $$g\left(y\right)\ne 0$$g(y)\ne 0, multiplication by $$g\left(y\right)$$g(y) yields

Thus the implicit relation obtained by separation satisfies the original equation. This chain-rule calculation justifies the formal notation

4Solution Procedure

1. Rewrite the equation as $$y^{\prime }=f\left(x\right)g\left(y\right)$$y'=f(x)g(y).
2. First identify constant solutions satisfying $$g\left(y\right)=0$$g(y)=0.
3. On a range where $$g\left(y\right)\ne 0$$g(y)\ne 0, separate the variables:

1. Integrate both sides.
2. If conditions are prescribed, solve the resulting constraint equations for the arbitrary constants.
3. Verify the result by substitution into the original equation and all prescribed conditions.

5Proposition 2: Zeros of $$g$$g Give Constant Solutions

Suppose that

and that a constant $$a$$a satisfies $$g\left(a\right)=0$$g(a)=0. Then

is a constant solution.

5.1Proof

Since $$y\left(x\right)=a$$y(x)=a is constant, $$y^{\prime }=0$$y'=0. Also,

Therefore $$y^{\prime }=f\left(x\right)g\left(y\right)$$y'=f(x)g(y). This is why zeros of $$g$$g must be checked before division: the divided equation no longer represents these constant solutions.

6Example 1: $$y^{\prime }=xy$$y'=xy

The equation

is separable with $$f\left(x\right)=x$$f(x)=x and $$g\left(y\right)=y$$g(y)=y. First, $$g\left(0\right)=0$$g(0)=0 shows that $$y=0$$y=0 is a constant solution.

On a branch where $$y\ne 0$$y\ne 0,

Integration gives

Exponentiation gives

Since $$e^C>0$$e^C>0 and a constant sign can be absorbed into the arbitrary constant, the family can be written as

Allowing $$C=0$$C=0 includes the previously identified constant solution $$y=0$$y=0.

7Explicit and Implicit Solutions

An explicit solution represents the unknown directly as $$y=H\left(x\right)$$y=H(x).

An implicit solution represents the solution through a relation such as

The result of separation cannot always be solved explicitly for $$y$$y. In that case, a verified implicit relation still represents a solution on intervals where the implicit relation defines a differentiable function.

8Example 2: A Solution with Finite-Time Blow-Up

Consider

The constant function $$y=0$$y=0 is a solution of the differential equation but does not satisfy the initial condition. On the branch where $$y\ne 0$$y\ne 0,

Integration gives

The condition $$y\left(0\right)=1$$y(0)=1 yields $$C=-1$$C=-1, so

and therefore

This function is undefined at $$x=1$$x=1. Hence the maximal solution interval containing the initial point $$x=0$$x=0 is $$(-\mathrm{\infty },1)$$(-\infty,1). The example shows that a solution must be specified by both its formula and its domain.

9Autonomous Equations and Equilibria

An equilibrium solution is a constant solution whose value remains unchanged as the independent variable varies. For the autonomous equation

every zero $$F\left(a\right)=0$$F(a)=0 gives the equilibrium solution $$y=a$$y=a.

9.1Proof

If $$y=a$$y=a, then $$y^{\prime }=0$$y'=0. Since $$F\left(a\right)=0$$F(a)=0, the right-hand side is also zero; hence $$y^{\prime }=F\left(y\right)$$y'=F(y).

The sign of $$F\left(y\right)$$F(y) determines monotonicity before an explicit formula is obtained: $$F\left(y\right)>0$$F(y)>0 implies that $$y$$y increases, while $$F\left(y\right)<0$$F(y)<0 implies that $$y$$y decreases.

10Example 3: The Logistic Equation

The equation

is autonomous. Its equilibria are the zeros of $$F\left(y\right)=y(1-y)$$F(y)=y(1-y):

The sign table is

Thus, while a solution remains in $$0<y<1$$0<y<1, it increases, and the phase-line arrow points toward the equilibrium $$y=1$$y=1. This sign analysis determines local monotonicity before an explicit formula is derived. Convergence to $$y=1$$y=1 additionally requires verification that the solution remains in $$0<y<1$$0<y<1 and determination of its limit.

11A Nonseparable Example

The equation

contains $$x$$x and $$y$$y additively and cannot be factored as $$f\left(x\right)g\left(y\right)$$f(x)g(y). It must not be separated. Instead, rewrite it as

which is a first-order linear equation.

12Relation to Singular Solutions

Losing a constant solution with $$g\left(y\right)=0$$g(y)=0 through division and the existence of a singular solution are distinct issues. A singular solution satisfies the differential equation but cannot be obtained by selecting the arbitrary constants in its general solution family.

Nonuniqueness, in which multiple solutions satisfy the same initial condition, is a separate issue governed by the hypotheses of existence and uniqueness theorems; it is neither the definition nor a sufficient condition for a singular solution. After separation, verify every divided factor, the domain, and the prescribed initial conditions.

13Summary

For a separable equation, check the following four items.

1. Can it be written as $$y^{\prime }=f\left(x\right)g\left(y\right)$$y'=f(x)g(y)?
2. Do zeros of $$g\left(y\right)$$g(y) give constant solutions?
3. Does integration produce an explicit or implicit solution?
4. What is the domain of the resulting solution?

14Exercise