変数分離形へんすうぶんりけいseparable equationと自律系じりつけいautonomous system-基本演習きほんえんしゅう

2.1解答例かいとうれい

2.2解説かいせつ

$$y$$y で割わるときは、$$y=0$$y=0 を先さきに確認かくにんする。$$y=0$$y=0 は元もとの式しきを満みたすので解かいである。$$y\ne 0$$y\ne0 の範囲はんいでは

となり、積分せきぶんして $$\log \left|y\right|=x^2/2+C$$\log |y|=x^2/2+C を得える。$$C=0$$C=0 を含ふくめて書かけば、零解れいかいも $$y=C{e}^{x^2/2}$$y=Ce^{x^2/2} に含ふくまれる。

3.1解答例かいとうれい

3.2解説かいせつ

自律系じりつけいautonomous systemでは、横軸よこじくの位置いち $$x$$x ではなく、現在げんざいの値あたい $$y$$y が変化へんかの向むきを決きめる。これは方向場ほうこうばdirection fieldを読よむ準備じゅんびになる。

4.1解答例かいとうれい

4.2解説かいせつ

変数分離へんすうぶんりseparation of variablesで $$\log \left|y\right|=2x+C$$\log|y|=2x+C を得える。初期条件しょきじょうけん $$y\left(0\right)=3$$y(0)=3 は $$y$$y が正せいである枝えだを選えらぶので、$$y=C{e}^{2x}$$y=Ce^{2x} に $$C=3$$C=3 を入いれればよい。