Logistic 方程式ほうていしき

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、Logistic 方程式ほうていしきを自律方程式じりつほうていしきとして解析かいせきし、平衡解へいこうかい・増減ぞうげん・非負ひふの状態空間じょうたいくうかんにおける長期挙動ちょうききょどうを判定はんていする方法ほうほうを説明せつめいする。

標準形ひょうじゅんけいは

である。ここで $$r>0$$r>0 は低密度ていみつどでの成長率せいちょうりつ、$$K>0$$K>0 は環境収容力かんきょうしゅうようりょくcarrying capacityを表あらわす。

$$y$$y が小ちいさいときは $$1-y/K\approx 1$$1-y/K\approx 1 なので、

であり、指数成長しすうせいちょうに近ちかい。一方いっぽう、$$y$$y が $$K$$K に近ちかづくと $$1-y/K$$1-y/K が小ちいさくなり、成長せいちょうが抑おさえられる。

2平衡解へいこうかいを先さきに解析かいせきする理由りゆう

Logistic 方程式ほうていしきは

という自律方程式じりつほうていしきである。自律方程式じりつほうていしきでは、現在げんざいの値あたい $$y$$y だけで増減ぞうげんが決きまる。そのため、解かいの式しきを求もとめる前まえに、$$F\left(y\right)$$F(y) の符号ふごうから増減方向ぞうげんほうこうを判定はんていできる。

3命題めいだい1：Logistic 方程式ほうていしきの平衡解へいこうかい

仮定かていとして $$r>0,K>0$$r>0,\ K>0 とする。Logistic 方程式ほうていしき

の平衡解へいこうかいは

である。

3.1証明しょうめい

平衡解へいこうかいは定数解ていすうかいなので $$y^{\prime }=0$$y'=0 を満みたす。右辺うへんが 0 になる条件じょうけんは

である。$$r>0$$r>0 だから、

または

である。したがって $$y=0,K$$y=0,\ K が平衡解へいこうかいである。逆ぎゃくに、$$y=0$$y=0 と $$y=K$$y=K を代入だいにゅうすると右辺うへんは 0 になり、左辺さへんも定数解ていすうかいなので 0 である。よってどちらも解かいである。

4命題めいだい2：$$0<y<K$$0<y<K では増加ぞうかし、$$y>K$$y>K では減少げんしょうする

仮定かていとして $$r>0,K>0$$r>0,\ K>0 とする。

なら $$y^{\prime }>0$$y'>0 であり、

なら $$y^{\prime }<0$$y'<0 である。

4.1証明しょうめい

$$0<y<K$$0<y<K なら $$y>0$$y>0 かつ $$1-y/K>0$$1-y/K>0 である。さらに $$r>0$$r>0 なので

である。したがって $$y^{\prime }>0$$y'>0 であり、解かいは増加ぞうかする。

$$y>K$$y>K なら $$y>0$$y>0 かつ $$1-y/K<0$$1-y/K<0 である。したがって

であり、$$y^{\prime }<0$$y'<0 である。よって解かいは減少げんしょうする。

この命題めいだいから、正せいの半直線上はんちょくせんじょうでは位相線いそうせんの矢印やじるしが $$K$$K の方向ほうこうを指さすと判定はんていできる。$$K$$K への収束しゅうそくは、後あとで明示解めいじかいから確認かくにんする。

5位相線いそうせんによる整理せいり

現実げんじつの人口じんこうや量りょうを表あらわす場合ばあいは、通常つうじょう $$y\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}0$$y\ge 0 の範囲はんいを考かんがえる。この位相線いそうせんでは、矢印やじるしは $$0$$0 から離はなれ、$$K$$K の方向ほうこうを指さす。

6明示解めいじかいの導出どうしゅつ

$$0<y<K$$0<y<K または $$y>K$$y>K の範囲はんいで変数分離へんすうぶんりする。どちらの範囲はんいでも $$y\ne 0$$y\ne 0 かつ $$y\ne K$$y\ne K なので、$$y(K-y)$$y(K-y) で割わる操作そうさが可能かのうである。$$y=0$$y=0 と $$y=K$$y=K は先さきに確認かくにんした平衡解へいこうかいとして別べつに扱あつかう。

だから

である。部分分数分解ぶぶんぶんすうぶんかいにより

である。したがって

である。左辺さへんの第二項だいにこうでは $$K-y$$K-y の微分びぶんが $$-1$$-1 であることに注意ちゅういすると、

を得える。両辺りょうへんに $$K$$K を掛かけ、

と書かく。これを $$y$$y について解とくと、

である。初期条件しょきじょうけん $$y\left(0\right)=y_0$$y(0)=y_0 を使つかうと、$$y_0>0,y_0\ne K$$y_0>0,\ y_0\ne K の場合ばあいには

だから、

である。この式しきは、分母ぶんぼが 0 にならない、$$t=0$$t=0 を含ふくむ最大連結区間さいだいれんけつくかんで解かいを定さだめる。また、$$y_0>0,y_0\ne K$$y_0>0,\ y_0\ne K なら $$t\to \mathrm{\infty }$$t\to\infty で $$y\left(t\right)\to K$$y(t)\to K となることが確認かくにんできる。$$y_0=K$$y_0=K の場合ばあいは、平衡解へいこうかい $$y\left(t\right)=K$$y(t)=K そのものである。

7Bernoulli 型がたとしての解釈かいしゃく

Logistic 方程式ほうていしきは

なので、

と整理せいりできる。これは Bernoulli 方程式ほうていしきの形かたち

で $$n=2$$n=2 の場合ばあいである。

したがって Logistic 方程式ほうていしきは、自律方程式じりつほうていしきとして位相線いそうせんで解析かいせきすることも、Bernoulli 型がたとして線型化せんけいかして解とくこともできる。正せいの半直線上はんちょくせんじょうにおける増減方向ぞうげんほうこうを定性的ていせいてきに判定はんていするなら位相線いそうせんを、具体的ぐたいてきな式しきや収束しゅうそくの証明しょうめいが必要ひつようなら変数分離へんすうぶんりや Bernoulli 置換ちかんを使用しようする。

8適用範囲てきようはんい

Logistic 方程式ほうていしきは、成長率せいちょうりつ $$r$$r と環境収容力かんきょうしゅうようりょく $$K$$K が一定いっていで、増減ぞうげんが現在げんざいの $$y$$y だけで決きまるという単純化たんじゅんかを置おいている。季節変動きせつへんどう、年齢構造ねんれいこうぞう、空間移動くうかんいどうを入いれると、時間依存係数じかんいぞんけいすう、連立系れんりつけい、偏微分方程式へんびぶんほうていしきへ拡張かくちょうされる。

9演習えんしゅうリンク

10次つぎの講義こうぎ

Logistic Equation

1Introduction

This lecture explains how to analyze the logistic equation as an autonomous equation and determine its equilibrium solutions, monotonicity, and long-term behavior on the nonnegative state space.

Its standard form is

where $$r>0$$r>0 is the growth rate at low density and $$K>0$$K>0 is the carrying capacity.

When $$y$$y is small, $$1-y/K\approx 1$$1-y/K\approx1, so

and the behavior is close to exponential growth. As $$y$$y approaches $$K$$K, the factor $$1-y/K$$1-y/K becomes small and suppresses further growth.

2Why Analyze the Equilibria First?

The logistic equation is the autonomous equation

For an autonomous equation, the current value of $$y$$y alone determines whether a solution increases or decreases. The sign of $$F\left(y\right)$$F(y) therefore determines the direction of motion before an explicit solution is derived.

3Proposition 1: Equilibrium Solutions of the Logistic Equation

Assume that $$r>0$$r>0 and $$K>0$$K>0. The equilibrium solutions of

are

3.1Proof

An equilibrium is a constant solution and must satisfy $$y^{\prime }=0$$y'=0. Thus

Since $$r>0$$r>0, either $$y=0$$y=0 or $$1-y/K=0$$1-y/K=0. Hence the only possible equilibria are $$y=0$$y=0 and $$y=K$$y=K. Substitution shows that the right-hand side vanishes for both constants, so both are solutions.

4Proposition 2: Increase for $$0<y<K$$0<y<K and Decrease for $$y>K$$y>K

Assume that $$r>0$$r>0 and $$K>0$$K>0. If

then $$y^{\prime }>0$$y'>0. If

then $$y^{\prime }<0$$y'<0.

4.1Proof

For $$0<y<K$$0<y<K, both $$y$$y and $$1-y/K$$1-y/K are positive. Since $$r>0$$r>0,

so $$y^{\prime }>0$$y'>0 and the solution increases.

For $$y>K$$y>K, the factor $$y$$y is positive while $$1-y/K<0$$1-y/K<0. Therefore,

so $$y^{\prime }<0$$y'<0 and the solution decreases.

This sign analysis directly shows that, on the positive half-line, the arrows on the phase line point toward $$K$$K. Convergence to $$K$$K will be verified below from the explicit solution.

5Phase-Line Summary

When $$y$$y represents a population or another nonnegative quantity, the relevant range is usually $$y\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}0$$y\ge0. On this part of the phase line, the arrows point away from $$0$$0 and toward $$K$$K.

6Derivation of the Explicit Solution

Separate variables on a region where either $$0<y<K$$0<y<K or $$y>K$$y>K. In both cases $$y\ne 0$$y\ne0 and $$y\ne K$$y\ne K, so division by $$y(K-y)$$y(K-y) is valid. The equilibria $$y=0$$y=0 and $$y=K$$y=K, which were checked beforehand, are treated separately.

Since

we have

The partial-fraction decomposition is

Therefore,

Accounting for the derivative $$-1$$-1 of $$K-y$$K-y in the second term gives

After multiplication by $$K$$K, write

Solving for $$y$$y yields

For the initial condition $$y\left(0\right)=y_0$$y(0)=y_0 with $$y_0>0$$y_0>0 and $$y_0\ne K$$y_0\ne K,

and hence

This formula defines the solution on the maximal connected interval containing $$t=0$$t=0 on which its denominator is nonzero. For every $$y_0>0$$y_0>0 with $$y_0\ne K$$y_0\ne K, the formula also shows that $$y\left(t\right)\to K$$y(t)\to K as $$t\to \mathrm{\infty }$$t\to\infty. If $$y_0=K$$y_0=K, the solution is the equilibrium $$y\left(t\right)=K$$y(t)=K itself.

7Interpretation as a Bernoulli Equation

The logistic equation can be written as

or

This is the Bernoulli form

with $$n=2$$n=2.

Thus the logistic equation can be analyzed by a phase line as an autonomous equation or solved by linearization as a Bernoulli equation. A phase line is appropriate for qualitatively determining the direction of change on the positive half-line, whereas separation of variables or the Bernoulli substitution is appropriate when an explicit formula or a proof of convergence is required.

8Scope

The logistic equation assumes constant parameters $$r$$r and $$K$$K and assumes that the rate of change depends only on the current value of $$y$$y. Incorporating seasonal variation, age structure, or spatial movement leads respectively to time-dependent coefficients, systems of equations, or partial differential equations.

9Exercises

10Next Lecture