物理ぶつりモデルと PDE への橋渡はしわたし

date2026-07-14document_iddoc_2c122e63eef68039f988ddf26d591fdedescription集中定数モデルと連続体モデルを保存則で結び、局所収支と構成則から熱・波動方程式およびPDE問題設定へ移行する。prerequisitesLogistic方程式 / 複素根と強制振動 / 多変数関数と偏微分type講義content_typelecturestatusactive

mathdifferential-equationsmodelingphysicslecture

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、系全体けいぜんたいを少数しょうすうの状態変数じょうたいへんすうで表あらわす集中定数しゅうちゅうていすうモデルLumped modelと、場所ばしょごとの状態じょうたいを場ばとして残のこす連続体れんぞくたいモデルContinuum modelを、同おなじ保存則ほぞんそくから区別くべつすることである。空間変数くうかんへんすうを追加ついかしただけでは特定とくていの偏微分方程式へんびぶんほうていしきPartial differential equation（PDE）は得えられない。局所収支きょくしょしゅうしに、流束りゅうそくや力ちからを状態じょうたいへ結むすびつける構成則こうせいそくを組くみ合あわせて初はじめて方程式ほうていしきが定さだまる。

2モデル化かの共通契約きょうつうけいやく

現象げんしょうから微分方程式びぶんほうていしきを立たてるときは、次つぎの順じゅんに確認かくにんする。

系けいの範囲はんいと未知量みちりょうを決きめる。
蓄積率ちくせきりつ＝流入率りゅうにゅうりつ−流出率りゅうしゅつりつ＋生成率せいせいりつという収支しゅうし、または Newton の運動方程式うんどうほうていしきを書かく。
熱流束ねつりゅうそく・復元力ふくげんりょくなどを状態じょうたいへ結むすぶ構成則こうせいそくを置おく。
係数けいすうの符号ふごうと単位たんいを確認かくにんする。
領域りょういき、データ、求もとめる解かいのクラス、近似きんじの範囲はんいを明記めいきする。

単位たんいの一致いっちは立式りっしきの必要条件ひつようじょうけんだが、仮定かていや構成則こうせいそくの正当性せいとうせいまでは保証ほしょうしない。

3集中定数しゅうちゅうていすうモデル 1: Newton の冷却法則れいきゃくほうそく

物体内部ぶったいないぶの温度おんどが位置いちによらず $T (t)$ で表あらわせると仮定かていする。密度みつどを $ρ$ 、比熱ひねつを $c_{p}$ 、体積たいせきを $V$ 、表面積ひょうめんせきを $A_{s}$ 、熱伝達率ねつでんたつりつを $h > 0$ 、一定いっていの環境温度かんきょうおんどを $T_{e n v}$ とする。ここで $h$ の単位たんいは $[W / (m^{2} K)]$ である。物体ぶったいの熱容量ねつようりょうは $ρ c_{p} V$ なので、全体ぜんたいのエネルギー収支しゅうしは

ρ c_{p} V T^{'} (t) = - h A_{s} (T (t) - T_{e n v})

となる。したがって

T^{'} = - k_{c o o l} (T - T_{e n v}), k_{c o o l} = \frac{h A_{s}}{ρ c_{p} V} > 0

である。 $h A_{s} (T - T_{e n v})$ はエネルギーの流出率りゅうしゅつりつ $[J / s]$ 、 $ρ c_{p} V T^{'}$ も $[J / s]$ であり、 $k_{c o o l}$ は $[s^{- 1}]$ を持もつ。

この ODE の本質的ほんしつてきな仮定かていは、内部ないぶの熱伝導ねつでんどうが境界きょうかいでの熱交換ねつこうかんに比くらべて十分速じゅうぶんはやく、物体内部ぶったいないぶの温度差おんどさを無視むしできることである。この集中熱容量近似しゅうちゅうねつようりょうきんじLumped-capacitance approximationが不適切ふてきせつなら、 $T (t)$ だけではなく温度場おんどば $u (x, t)$ を残のこす。

4集中定数しゅうちゅうていすうモデル 2: 完全混合槽かんぜんこんごうそう

一定体積いっていたいせき $V$ の槽そうへ流量りゅうりょう $q$ 、濃度のうど $C_{i n} (t)$ で溶液ようえきが入はいり、同おなじ流量りゅうりょうで出でるとする。槽内そうないの溶質量ようしつりょうを $Q (t)$ とし、完全混合かんぜんこんごうにより流出濃度りゅうしゅつのうどを $Q (t) / V$ と置おくと、

Q^{'} (t) = q C_{i n} (t) - q \frac{Q (t)}{V}

を得える。濃度のうどと流量りゅうりょうの積せきは質量率しつりょうりつ $[k g / s]$ である。完全混合かんぜんこんごうを外はずして濃度場のうどば $C (x, t)$ を残のこすなら、一ひとつの総量そうりょう ODE ではなく、局所きょくしょの濃度収支のうどしゅうしと輸送流束ゆそうりゅうそくの構成則こうせいそくが必要ひつようになる。

5集中定数しゅうちゅうていすうモデル 3: 質点しつてんの振動しんどう

一自由度いちじゆうどの質点しつてんについて、質量しつりょうを $m > 0$ 、減衰係数げんすいけいすうを $b [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"ge\")")] 0$ 、ばね定数ていすうを $k_{s} > 0$ 、外力がいりょくを $F (t)$ とすると、

m x^{'}' + b x^{'} + k_{s} x = F (t)

である。 $m x^{'}'$ 、 $b x^{'}$ 、 $k_{s} x$ 、 $F$ はすべて力ちから $[N]$ の単位たんいを持もつ。この二階線型非斉次方程式にかいせんけいひせいじほうていしきは、空間自由度くうかんじゆうどを一ひとつだけ残のこし、未知関数みちかんすうを $x (t)$ とするモデルである。連続れんぞくした弦げんの各位置かくいちの変位へんいを区別くべつすると、後のちで波動方程式はどうほうていしきが現あらわれる。

6局所収支きょくしょしゅうしから熱方程式ねつほうていしきへ

一様いちような細ほそい棒ぼうの軸じくを $x$ 、断面積だんめんせきを $A$ とし、温度場おんどばを $u (x, t)$ とする。密度みつど $ρ > 0$ 、比熱ひねつ $c_{p} > 0$ 、熱伝導率ねつでんどうりつ $K > 0$ は定数ていすう、側面そくめんからの熱損失ねつそんしつと内部熱源ないぶねつげんはないと仮定かていする。 $q (x, t)$ を正せいの $x$ 方向ほうこうへ流ながれる単位面積たんいめんせきあたりの熱流束ねつりゅうそくとする。

微小区間びしょうくかん $[x, x + Δ x]$ の熱量ねつりょうの変化率へんかりつは、左端ひだりはしからの流入率りゅうにゅうりつと右端みぎはしからの流出率りゅうしゅつりつの差さなので、

\frac{d}{d t} \int_{x}^{x + Δ x} ρ c_{p} A u (ξ, t) d ξ = A q (x, t) - A q (x + Δ x, t)

となる。両辺りょうへんを $A Δ x$ で割わり、 $u$ と $q$ が必要ひつようなだけ滑なめらかであるとして $Δ x \to 0$ とすれば

ρ c_{p} u_{t} = - q_{x}

を得える。高温側こうおんがわから低温側ていおんがわへ熱ねつが流ながれるという Fourier の熱伝導法則ねつでんどうほうそく

q = - K u_{x}

を組くみ合あわせると、

u_{t} = κ u_{x x}, κ = \frac{K}{ρ c_{p}} > 0

となる。 $K / [ρ c_{p}]$ の単位たんいは $[m^{2} / s]$ であり、 $κ$ は熱拡散率ねつかくさんりつThermal diffusivityである。

Newton の冷却法則れいきゃくほうそくとの対応たいおうは、外表面がいひょうめんでの熱交換ねつこうかんを含ふくむ別べつの設定せっていで確認かくにんできる。境界きょうかいでは物体ぶったいから外そとへ出でる向むきを正せいとし、単位面積たんいめんせきあたりの熱流出率ねつりゅうしゅつりつを $h (u - T_{e n v})$ と置おく。これは境界きょうかいで温度おんどと流束りゅうそくを結むすぶ条件じょうけんであり、後あとの講義こうぎで Robin 境界条件きょうかいじょうけんとして整理せいりする。

物体内部ぶったいないぶの小領域しょうりょういきごとの収支しゅうしを全体ぜんたいで足たし合あわせると、隣接領域りんせつりょういきの間あいだを通とおる熱ねつは一方いっぽうの流出りゅうしゅつと他方たほうの流入りゅうにゅうとして相殺そうさいし、外表面がいひょうめんからの流出りゅうしゅつだけが残のこる。ここで $u \approx T (t)$ と一様温度いちようおんどに近似きんじすれば、蓄たくわえられた熱量ねつりょうの変化率へんかりつは $ρ c_{p} V T^{'}$ 、表面積ひょうめんせき $A_{s}$ 全体ぜんたいからの流出率りゅうしゅつりつは $h A_{s} (T - T_{e n v})$ なので、 $ρ c_{p} V T^{'} = - h A_{s} (T - T_{e n v})$ が得えられる。一様性いちようせいを仮定かていしなければ、平均温度へいきんおんどだけの ODE は一般いっぱんに閉とじない。

7局所運動方程式きょくしょうんどうほうていしきから波動方程式はどうほうていしきへ

一様いちような弦げんの横変位よこへんいを $u (x, t)$ 、張力ちょうりょくを $τ > 0$ 、線密度せんみつどを $μ > 0$ とする。張力ちょうりょくがほぼ一定いっていで、横変位よこへんいと傾かたむきが小ちいさく、外力がいりょくと減衰げんすいを無視むしできると仮定かていする。微小区間びしょうくかん $[x, x + Δ x]$ の質量しつりょうは $μ Δ x$ 、鉛直方向えんちょくほうこうの張力差ちょうりょくさは小傾斜近似しょうけいしゃきんじで

τ (u_{x} (x + Δ x, t) - u_{x} (x, t))

だから、Newton の運動方程式うんどうほうていしきより

μ \int_{x}^{x + Δ x} u_{t t} (ξ, t) d ξ = τ (u_{x} (x + Δ x, t) - u_{x} (x, t))

となる。両辺りょうへんを $Δ x$ で割わり、 $u$ が必要ひつようなだけ滑なめらかであるとして $Δ x \to 0$ とすれば

u_{t t} = c_{{w a v e}^{2}} u_{x x}, c_{w a v e} = \sqrt{\frac{τ}{μ}}

を得える。 $τ / μ$ の単位たんいは $[m^{2} / s^{2}]$ なので、 $c_{w a v e}$ は速度そくどの単位たんいを持もつ。弦げんの幾何きかを含ふくむ詳くわしい導出どうしゅつは物理ぶつりの波動方程式はどうほうていしきの講義こうぎへ委ゆだねる。

data/lecture/physics/waves/wave-equation-basics.lecture.n.md

8PDE の式しきから問題もんだいへ

PDE の式しきを導みちびいただけでは問題設定もんだいせっていは完了かんりょうしない。たとえば有界区間ゆうかいくかん $0 < x < L$ では、熱方程式ねつほうていしきに初期温度しょきおんど $u (x, 0) = f (x)$ と端点たんてんの境界条件きょうかいじょうけんを与あたえる。波動方程式はどうほうていしきには初期変位しょきへんい $u (x, 0) = f (x)$ 、初期速度しょきそくど $u_{t} (x, 0) = g (x)$ 、端点たんてんの境界条件きょうかいじょうけんを与あたえる。古典解こてんかいを閉領域へいりょういきまで求もとめるなら、初期しょきデータと境界きょうかいデータが角かどで一致いっちする適合条件てきごうじょうけんも必要ひつようになる。

方程式ほうていしき、領域りょういき、データ、係数けいすうの仮定かてい、解かいのクラスを指定していして初はじめて PDE の問題もんだいになる。用語ようごと条件じょうけんの詳細しょうさいは PDE の入口いりぐちへ進すすんで確認かくにんする。

9ODE と PDE は近似きんじの選択せんたくでもある

ODE と PDE の定義上ていぎじょうの違ちがいは、独立変数どくりつへんすうの個数こすうと常微分じょうびぶん・偏微分へんびぶんの違ちがいである。一方いっぽう、どちらをモデルとして選えらぶかは、観測尺度かんそくしゃくどと必要精度ひつようせいどに依存いぞんする。内部分布ないぶぶんぷを捨すててよければ集中定数しゅうちゅうていすう ODE を使つかえるが、局所相互作用きょくしょそうごさようや境界きょうかいの影響えいきょうを残のこすなら PDE が自然しぜんである。

空間くうかんを有限個ゆうげんこの格子点こうしてんで近似きんじすれば、PDE から有限個ゆうげんこの ODE 系けいが得えられる。温度場おんどばや変位場へんいばを、少数しょうすうの代表的だいひょうてきな空間形状くうかんけいじょうの組合くみあわせで近似きんじする方法ほうほうもある。したがって「有限個ゆうげんこの変数へんすうなら ODE、無限個むげんこなら PDE」という判定はんていは定義ていぎではない。何なにを解像かいぞうし、何なにを平均化へいきんか・近似きんじしたかをモデルの仮定かていとして記録きろくする。

10どこまで成立せいりつするか

熱方程式ねつほうていしきの導出どうしゅつでは一次元いちじげん、均質きんしつな定係数媒質ていけいすうばいしつ、内部熱源ないぶねつげんなし、側面損失そくめんそんしつなしを仮定かていした。波動方程式はどうほうていしきでは一様いちような弦げん、一定張力いっていちょうりょく、小変位しょうへんい・小傾斜しょうけいしゃ、外力がいりょく・減衰げんすいなしを仮定かていした。係数けいすうが場所ばしょで変かわる場合ばあい、熱源ねつげん・外力がいりょく・減衰げんすいがある場合ばあい、構成則こうせいそくが非線形ひせんけいな場合ばあいには追加項ついかこうや別べつの PDE が必要ひつようになる。

11次つぎに進すすむ経路けいろ

PDE の問題設定もんだいせっていと解法かいほうへ進すすむなら、まず PDE の入口いりぐちを読よみ、次つぎに初期条件しょきじょうけんと境界条件きょうかいじょうけんの役割やくわりを確認かくにんする。

data/lecture/math/partial-differential-equations/introduction-to-pdes.lecture.n.md data/lecture/math/partial-differential-equations/initial-and-boundary-value-problems.lecture.n.md

ODE トラックの変換法へんかんほう・級数法きゅうすうほう・モデル化かの使つかい分わけを先さきに総括そうかつするなら、次つぎの出口講義でぐちこうぎへ進すすむ。

data/lecture/math/differential-equations/laplace-transforms-series-and-modeling.lecture.n.md