波動方程式の基本
physicswaveswave-equationlecture
1導入
この講義では、波の公式を暗記するのではなく、媒質の微小部分に運動方程式を立てると波動方程式を導出する。
弦が曲がっていると、左右から引く張力の向きが少しずれる。そのずれが上下方向の合力を生み、媒質を加速する。つまり、波の伝播は「曲がりが加速度を決める」現象である。
2用語と定義
波動方程式とは、1 次元では
\boxed{\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}=v^2\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}}
の形をした偏微分方程式である。
ここで y(x,t) は位置 x、時刻 t における変位であり、v は波の速さである。
つまり波動方程式は、未知関数 y(x,t) を求める偏微分方程式である。単に v=f\lambda を使う公式問題ではなく、場の時間変化と空間的な曲がりがどう結びつくかを表す方程式として読む。
data/lecture/math/differential-equations/physical-models-and-transition-to-pdes.lecture.n.md
線密度 \mu は、単位長さあたりの質量である。
\mu=\frac{\Delta m}{\Delta x}
3方針
波動方程式を導くには、弦の短い部分を取り出す。
- 微小部分の質量を \mu\Delta x と書く。
- 張力の鉛直成分の差を求める。
- 運動方程式 ma=F を立てる。
- \Delta x\to0 の極限で偏微分方程式を得る。
4方程式 1：弦の波動方程式
張力 T、線密度 \mu の弦で、変位が小さく、傾きも小さいとき、
\boxed{\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}=\frac{T}{\mu}\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}}
が成立する。したがって波の速さは
\boxed{v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}}
である。
4.1証明
x から x+\Delta x までの弦の微小部分を考える。質量は
\mu\Delta x
である。張力の大きさは両端でほぼ T とみなす。鉛直方向の力は
T\sin\theta(x+\Delta x)-T\sin\theta(x)
である。傾きが小さいので
\sin\theta\simeq\tan\theta=\frac{\partial y}{\partial x}
である。したがって鉛直方向の合力は
T\left[
\frac{\partial y}{\partial x}(x+\Delta x,t)
-
\frac{\partial y}{\partial x}(x,t)
\right]
である。運動方程式は
\mu\Delta x\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}
=
T\left[
\frac{\partial y}{\partial x}(x+\Delta x,t)
-
\frac{\partial y}{\partial x}(x,t)
\right]
である。両辺を \Delta x で割り、\Delta x\to0 とすると、
\mu\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}
=
T\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}
を得る。よって
\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}
=
\frac{T}{\mu}\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}
である。波動方程式の標準形と比べると、
v^2=\frac{T}{\mu}
なので、v=\sqrt{T/\mu} である。
5帰結 2：進行波は波動方程式の解
任意の 2 回微分可能な関数 F について、
y(x,t)=F(x-vt)
は
\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}=v^2\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}
を満たす。
5.1証明
u=x-vt と置くと y=F(u) である。連鎖律より
\frac{\partial y}{\partial t}=-vF'(u),
\qquad
\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}=v^2F''(u)
である。また
\frac{\partial y}{\partial x}=F'(u),
\qquad
\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}=F''(u)
である。したがって
\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}
=
v^2F''(u)
=
v^2\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}
であり、波動方程式を満たす。
6関係式 3：正弦波では \omega=vk
y=A\cos(kx-\omega t)
が波動方程式を満たすなら、
\boxed{\omega=vk}
である。
6.1証明
時間で 2 回偏微分すると、
\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}
=
-\omega^2A\cos(kx-\omega t)
である。位置で 2 回偏微分すると、
\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}
=
-k^2A\cos(kx-\omega t)
である。波動方程式に代入すると
-\omega^2A\cos(kx-\omega t)
=
v^2(-k^2A\cos(kx-\omega t))
である。恒等的に成立するためには
\omega^2=v^2k^2
である。\omega>0,\ k>0,\ v>0 と取れば
\omega=vk
を得る。
7単位の確認
T\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}],
\qquad
\mu\ [\mathrm{kg/m};\ \mathsf{ML^{-1}}]
なので、
\frac{T}{\mu}
\ [\mathrm{m^2/s^2};\ \mathsf{L^2T^{-2}}]
である。したがって \sqrt{T/\mu} は速さの単位をもつ。
8見分け方
- 媒質の微小部分に力を立てるなら、波動方程式の導出である。
- 形がそのまま動くなら F(x-vt) を試す。
- 正弦波なら、\omega=vk と v=f\lambda は同じ関係である。
9どこまで成立するか
この導出では、弦の傾きが小さいこと、張力の大きさがほぼ一定であること、弦の伸びによる非線形効果を無視できることを仮定した。振幅が大きい場合や媒質が非線形な場合は、別の方程式が必要になる。
10最終形
\boxed{\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}=v^2\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}}
\boxed{v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}}
ここまでで直接確認したのは、F(x-vt) や G(x+vt) のような進行波が解になることである。さらに適切な正則性を仮定し、初期条件を組み込むと、1 次元の波動方程式では d'Alembert 型の表示
\boxed{y=F(x-vt)+G(x+vt)}
へ進める。この一般表示の導出は、変数変換または PDE の講義で扱う。
11一言
波動方程式は、媒質の曲がりが加速度を決めるという運動方程式である。