定常波ていじょうはの基本きほん

date2026-07-14document_iddoc_dcafa770d2f0e71495f457bcf18016bbdescription定常波を逆向き進行波の重ね合わせとして導き、節・腹、固定端・自由端、弦と気柱の固有振動条件を証明する講義である。prerequisites波の基本 / 波動方程式の基本 / 三角関数type講義statusactive

physicswavesstanding-wavelecture

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、定常波ていじょうはを「止とまった波なみ」ではなく「逆向ぎゃくむきに進すすむ 2 つの波なみの重かさね合あわせ」として解説かいせつする。

定常波ていじょうはでは、節ふしと腹はらの位置いちが空間くうかんに固定こていされる。弦げんや気柱きちゅうでは、端はしの条件じょうけんが節ふしか腹はらを決きめ、それによって許ゆるされる波長はちょうと振動数しんどうすうが決きまる。

2用語ようごと定義ていぎ

定常波ていじょうはstanding waveとは、節ふしと腹はらの位置いちが空間くうかんに固定こていされた波なみである。

節ふしnodeとは、変位へんいが常つねに 0 になる点てんである。

腹はらantinodeとは、振幅しんぷくが最大さいだいになる点てんである。

固有振動こゆうしんどうnormal modeとは、境界条件きょうかいじょうけんを満みたして保たもたれる振動しんどうの形かたちである。

3方針ほうしん

定常波ていじょうはでは、まず進行波しんこうは 2 本ほんを足たす。

右向みぎむきと左向ひだりむきの同おなじ振幅しんぷくの波なみを書かく。
三角関数さんかくかんすうの和積公式わせきこうしきで変形へんけいする。
空間くうかんだけで決きまる振幅しんぷくの因子いんしから節ふしと腹はらを読よむ。
端はしの条件じょうけんを入いれて許ゆるされる波長はちょうを決きめる。

4整理せいり 1：定常波ていじょうはは逆向ぎゃくむき進行波しんこうはの和わである

同おなじ振幅しんぷく $A$ 、同おなじ $k, ω$ をもつ 2 本ほんの波なみ

y_{1} = A \cos (k x - ω t), y_{2} = A \cos (k x + ω t)

を重かさねると、

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] y = 2 A \cos k x \cos ω t

となる。

4.1証明しょうめい

重かさね合あわせの原理げんりにより

y = y_{1} + y_{2}

である。ここで

\cos α + \cos β = 2 \cos \frac{α + β}{2} \cos \frac{α - β}{2}

を使つかう。 $α = k x - ω t$ 、 $β = k x + ω t$ とすると、

y = 2 A \cos k x \cos (- ω t)

である。 $\cos$ は偶関数ぐうかんすうなので

y = 2 A \cos k x \cos ω t

を得える。

5関係式かんけいしき 2：節ふしと腹はらの間隔かんかく

定常波ていじょうは $y = 2 A \cos k x \cos ω t$ では、隣となり合あう節ふしの間隔かんかくも隣となり合あう腹はらの間隔かんかくも

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] \frac{λ}{2}

である。

5.1証明しょうめい

節ふしは変位へんいが常つねに 0 になる点てんなので、

\cos k x = 0

である。したがって

k x = \frac{π}{2} + n π

である。隣となり合あう節ふしでは $k x$ が $π$ だけ変かわるので、

k Δ x = π

である。 $k = 2 π / λ$ より

Δ x = \frac{π}{k} = \frac{λ}{2}

である。

腹はらは $| \cos k x | = 1$ の点てんなので、 $k x = n π$ である。隣となり合あう腹はらでも $k x$ は $π$ だけ変かわる。したがって間隔かんかくは同おなじく $λ / 2$ である。

6整理せいり 3：両端固定りょうたんこていの弦げん

長ながさ $L$ の弦げんの両端りょうたんが固定こていされているなら、許ゆるされる波長はちょうと振動数しんどうすうは

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] λ_{n} = \frac{2 L}{n}, [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] f_{n} = \frac{n v}{2 L}

である。ただし $n = 1, 2, 3, [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dots\")")]$ である。

6.1証明しょうめい

固定端こていたんでは変位へんいが常つねに 0 なので、端はしは節ふしである。両端りょうたんが節ふしであるためには、長ながさ $L$ の中なかに半波長はんはちょうが整数個せいすうこ入はいる必要ひつようがある。

L = n \frac{λ}{2}

である。したがって

λ_{n} = \frac{2 L}{n}

である。 $v = f λ$ より

f_{n} = \frac{v}{λ_{n}} = \frac{n v}{2 L}

を得える。

7整理せいり 4：片端閉管かたたんへいかんの気柱きちゅう

長ながさ $L$ の気柱きちゅうで、一端いったんが閉とじ、他端たたんが開ひらいているとする。閉端へいたんは変位へんいの節ふし、開端かいたんは変位へんいの腹はらである。このとき

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] L = (2 n - 1) \frac{λ}{4}

であり、

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] f_{n} = \frac{(2 n - 1) v}{4 L}

である。ただし $n = 1, 2, 3, [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dots\")")]$ である。

7.1証明しょうめい

節ふしから隣となの腹はらまでの距離きょりは $λ / 4$ である。片端閉管かたたんへいかんでは閉端へいたんが節ふし、開端かいたんが腹はらなので、管かんの長ながさは奇数個きすうこの $λ / 4$ でなければならない。

L = (2 n - 1) \frac{λ}{4}

である。したがって

λ = \frac{4 L}{2 n - 1}

であり、 $v = f λ$ より

f_{n} = \frac{v}{λ} = \frac{(2 n - 1) v}{4 L}

を得える。

8単位たんいの確認かくにん

$f_{n} = n v / (2 L)$ では、 $n$ は無次元むじげんであり、

\frac{v}{L} : \frac{[m / s; L T^{- 1}]}{[m; L]} = [1 / s; T^{- 1}]

となる。振動数しんどうすうの単位たんいである。

9見分みわけ方かた

節ふしと腹はらが空間くうかんに固定こていされるなら定常波ていじょうはである。
固定端こていたんは節ふし、自由端じゆうたんは腹はらとして扱あつかう。
開口端かいこうたんは変位へんいの腹はら、閉口端へいこうたんは変位へんいの節ふしである。
振動数しんどうすうを求もとめるには、まず波長条件はちょうじょうけんを書かき、最後さいごに $v = f λ$ を使つかう。

10どこまで成立せいりつするか

実際じっさいの気柱きちゅうでは、開口端かいこうたんの腹はらは管かんの端はしから少すこし外そとにずれる。この補正ほせいを開口端補正かいこうたんほせいという。弦げんでも、張力ちょうりょくや線密度せんみつどが場所ばしょで変かわると、単純たんじゅんな $f_{n} = n v / (2 L)$ からずれる。

11最終形さいしゅうけい

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] y = 2 A \cos k x \cos ω t

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] L = n \frac{λ}{2}, f_{n} = \frac{n v}{2 L}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] L = (2 n - 1) \frac{λ}{4}, f_{n} = \frac{(2 n - 1) v}{4 L}

12一言ひとこと

定常波ていじょうはでは、端はしが節ふしか腹はらかを決きめれば、波長はちょうと振動数しんどうすうが決きまる。