波なみのエネルギーとエネルギー密度みつど

date2026-07-14document_iddoc_09201757c13b8604710184c9051f139cdescription波が媒質そのものではなくエネルギーを運ぶことを、弦の微小部分の運動エネルギー密度・弾性エネルギー密度から証明し、正弦波の平均エネルギー流まで整理する講義である。prerequisites波の基本 / 波動方程式の基本 / 仕事と力学的エネルギー / 単位・次元type講義statusactive

physicswavesenergy-densitylecture

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、波なみでは媒質ばいしつが遠とおくへ運はこばれるのではなく、振動しんどうの形かたちとエネルギーが伝つたわるという性質せいしつを説明せつめいする。

弦げんの波なみを考かんがえると、弦げんの各部分かくぶぶんは上下じょうげに動うごく。そのため運動うんどうエネルギーをもつ。また、弦げんは傾かたむくことでわずかに伸のび、張力ちょうりょくに逆さからうため弾性だんせいエネルギーももつ。したがって、波なみのエネルギーは「媒質ばいしつの運動うんどう」と「媒質ばいしつの変形へんけい」の 2 つから出でる。

2用語ようごと定義ていぎ

線密度せんみつどlinear mass density $μ$ とは、単位長たんいいちょうさあたりの質量しつりょうである。

μ = \frac{Δ m}{Δ x}

エネルギー密度みつどenergy densityとは、単位長たんいいちょうさまたは単位体積たんいたいせきあたりのエネルギーである。この講義こうぎでは弦げんの 1 次元じげん波なみを扱あつかうので、単位長たんいいちょうさあたりのエネルギーを $u$ と書かく。

エネルギー流りゅうenergy fluxとは、単位時間たんいじかんあたりに運はこばれるエネルギーである。1 次元じげんの弦げんでは平均仕事率へいきんしごとりつと同おなじ単位たんいをもつ。

3方針ほうしん

波なみのエネルギーを求もとめるときは、弦げんの小ちいさい部分ぶぶん $d x$ を取とる。

質量しつりょうを $d m = μ d x$ と書かく。
上下方向じょうげほうこうの速度そくど $\partial y / \partial t$ から運動うんどうエネルギーを出だす。
傾かたむき $\partial y / \partial x$ による長ながさの増加ぞうかから弾性だんせいエネルギーを出だす。
進行波しんこうはなら、エネルギー密度みつどに波なみの速はやさを掛かけてエネルギー流りゅうを出だす。

4関係式かんけいしき 1：弦げんの運動うんどうエネルギー密度みつど

変位へんいを $y (x, t)$ 、線密度せんみつどを $μ$ とする。弦げんの微小部分びしょうぶぶん $d x$ の上下方向じょうげほうこうの運動うんどうからくるエネルギー密度みつどは

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] u_{K} = \frac{1}{2} μ {(\frac{\partial y}{\partial t})}^{2}

である。

4.1証明しょうめい

長ながさ $d x$ の微小部分びしょうぶぶんの質量しつりょうは

d m = μ d x

である。この部分ぶぶんの上下方向じょうげほうこうの速度そくどは

\frac{\partial y}{\partial t}

である。したがって運動うんどうエネルギーは

d K = \frac{1}{2} d m {(\frac{\partial y}{\partial t})}^{2} = \frac{1}{2} μ {(\frac{\partial y}{\partial t})}^{2} d x

である。単位長たんいいちょうさあたりにするため $d x$ で割わると、

u_{K} = \frac{d K}{d x} = \frac{1}{2} μ {(\frac{\partial y}{\partial t})}^{2}

を得える。

5関係式かんけいしき 2：弦げんの弾性だんせいエネルギー密度みつど

張力ちょうりょく $T$ がほぼ一定いっていで、傾かたむき $| \partial y / \partial x |$ が十分じゅうぶん小ちいさいとする。このとき弦げんの変形へんけいに蓄たくわえられる弾性だんせいエネルギー密度みつどは

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] u_{U} = \frac{1}{2} T {(\frac{\partial y}{\partial x})}^{2}

である。

5.1証明しょうめい

水平すいへいな長ながさ $d x$ の部分ぶぶんが、変位へんい $y (x, t)$ によって傾かたむくと、その実際じっさいの長ながさ $d s$ は

d s = \sqrt{d x^{2} + d y^{2}} = \sqrt{1 + {(\frac{\partial y}{\partial x})}^{2}} d x

である。傾かたむきが小ちいさいので、 $ϵ = (\partial y / \partial x)^{2}$ とおけば

\sqrt{1 + ϵ} ≃ 1 + \frac{1}{2} ϵ

である。したがって

d s - d x ≃ \frac{1}{2} {(\frac{\partial y}{\partial x})}^{2} d x

である。張力ちょうりょく $T$ に逆さからって長ながさが $d s - d x$ だけ増ふえるので、微小びしょうな弾性だんせいエネルギーは

d U ≃ T (d s - d x) = \frac{1}{2} T {(\frac{\partial y}{\partial x})}^{2} d x

である。 $d x$ で割われば

u_{U} = \frac{1}{2} T {(\frac{\partial y}{\partial x})}^{2}

を得える。

6関係式かんけいしき 3：弦げんの全ぜんエネルギー密度みつど

小振幅しょうしんぷくの弦げんの横波よこなみでは、全ぜんエネルギー密度みつどは

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] u = \frac{1}{2} μ {(\frac{\partial y}{\partial t})}^{2} + \frac{1}{2} T {(\frac{\partial y}{\partial x})}^{2}

である。

6.1証明しょうめい

全ぜんエネルギーは、運動うんどうエネルギーと弾性だんせいエネルギーの和わである。関係式かんけいしき 1 より運動うんどうエネルギー密度みつどは

u_{K} = \frac{1}{2} μ {(\frac{\partial y}{\partial t})}^{2}

であり、関係式かんけいしき 2 より弾性だんせいエネルギー密度みつどは

u_{U} = \frac{1}{2} T {(\frac{\partial y}{\partial x})}^{2}

である。したがって

u = u_{K} + u_{U} = \frac{1}{2} μ {(\frac{\partial y}{\partial t})}^{2} + \frac{1}{2} T {(\frac{\partial y}{\partial x})}^{2}

を得える。

7関係式かんけいしき 4：正弦進行波せいげんしんこうはの平均へいきんエネルギー密度みつど

弦げんを伝つたわる正弦進行波せいげんしんこうは

y (x, t) = A \cos (k x - ω t)

を考かんがえる。波なみの速はやさを $v$ とし、 $v^{2} = T / μ$ 、 $ω = v k$ が成立せいりつするとする。このとき時間平均じかんへいきんしたエネルギー密度みつどは

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] ⟨ u ⟩ = \frac{1}{2} μ A^{2} ω^{2}

である。

7.1証明しょうめい

まず偏微分へんびぶんすると

\frac{\partial y}{\partial t} = A ω \sin (k x - ω t)

であり、

\frac{\partial y}{\partial x} = - A k \sin (k x - ω t)

である。関係式かんけいしき 3 に代入だいにゅうすると

u = \frac{1}{2} μ A^{2} ω^{2} \sin^{2} (k x - ω t) + \frac{1}{2} T A^{2} k^{2} \sin^{2} (k x - ω t)

である。波動方程式はどうほうていしきから $v^{2} = T / μ$ 、また $ω = v k$ なので

T k^{2} = μ ω^{2}

である。したがって

u = μ A^{2} ω^{2} \sin^{2} (k x - ω t)

となる。 $\sin^{2}$ の 1 周期しゅうきの平均へいきんは $1 / 2$ だから、

⟨ u ⟩ = \frac{1}{2} μ A^{2} ω^{2}

を得える。

8関係式かんけいしき 5：平均へいきんエネルギー流りゅう

関係式かんけいしき 4 の正弦進行波せいげんしんこうはが速はやさ $v$ で右向みぎむきに進すすむなら、平均へいきんして単位時間たんいじかんに断面だんめんを通過つうかするエネルギーは

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] ⟨ P ⟩ = ⟨ u ⟩ v = \frac{1}{2} μ A^{2} ω^{2} v

である。

8.1証明しょうめい

波なみが速はやさ $v$ で進すすむと、時間じかん $d t$ の間あいだに長ながさ

v d t

の部分ぶぶんが観測点かんそくてんを通過つうかする。単位長たんいいちょうさあたりの平均へいきんエネルギーが $⟨ u ⟩$ なら、その時間じかんに通過つうかするエネルギーは

d E = ⟨ u ⟩ v d t

である。したがって単位時間たんいじかんあたりでは

⟨ P ⟩ = \frac{d E}{d t} = ⟨ u ⟩ v

である。関係式かんけいしき 4 の $⟨ u ⟩ = \frac{1}{2} μ A^{2} ω^{2}$ を代入だいにゅうして

⟨ P ⟩ = \frac{1}{2} μ A^{2} ω^{2} v

を得える。

9単位たんいの確認かくにん

運動うんどうエネルギー密度みつどでは

μ {(\frac{\partial y}{\partial t})}^{2} : [k g / m; M L^{- 1}] [m^{2} / s^{2}; L^{2} T^{- 2}] = [J / m; M L T^{- 2}]

である。弾性だんせいエネルギー密度みつどでは、 $\partial y / \partial x$ は無次元むじげんなので

T {(\frac{\partial y}{\partial x})}^{2} : [N; M L T^{- 2}] = [J / m; M L T^{- 2}]

である。平均へいきんエネルギー流りゅうでは

⟨ u ⟩ v : [J / m; M L T^{- 2}] [m / s; L T^{- 1}] = [W; M L^{2} T^{- 3}]

となる。

10具体例ぐたいれい：振幅しんぷくを 2 倍ばいにしたとき

同おなじ弦げん、同おなじ角振動数かくしんどうすうで、振幅しんぷくだけを $A$ から $2 A$ に変かえる。関係式かんけいしき 4 より

⟨ u ⟩ = \frac{1}{2} μ A^{2} ω^{2}

なので、振幅しんぷくを 2 倍ばいにすると

⟨ u ⟩ ⟶ \frac{1}{2} μ (2 A)^{2} ω^{2} = 4 ⟨ u ⟩

である。波なみの強つよさが振幅しんぷくの 2 乗じょうに比例ひれいするのは、エネルギーが速度そくどの 2 乗じょうと傾かたむきの 2 乗じょうから出でるためである。

11見分みわけ方かた

波なみが何なにを運はこぶかを問とわれたら、媒質ばいしつそのものではなくエネルギーを考かんがえる。
弦げんのエネルギーなら、 $u_{K}$ と $u_{U}$ に分わける。
振幅しんぷくと強つよさの関係かんけいなら、 $A^{2}$ に比例ひれいすることを使つかう。
平均へいきんして運はこばれる量りょうなら、 $⟨ u ⟩ v$ を使つかう。

12どこまで成立せいりつするか

ここでの導出どうしゅつは、傾かたむきが小ちいさい弦げんの横波よこなみを仮定かていしている。大振幅だいしんぷく、張力ちょうりょくが変かわる場合ばあい、減衰げんすいや外力がいりょくがある場合ばあいには、エネルギー密度みつどやエネルギー流りゅうに追加項ついかこうが必要ひつようになる。

音波おんぱや光ひかりでも「波なみがエネルギーを運はこぶ」という構造こうぞうは共通きょうつうである。ただし、音波おんぱでは圧力変化あつりょくへんかと粒子速度りゅうしそくど、光ひかりでは電場でんばと磁場じばでエネルギーを書かくため、式しきは弦げんのものとは異ことなる。

13最終形さいしゅうけい

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] u_{K} = \frac{1}{2} μ {(\frac{\partial y}{\partial t})}^{2}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] u_{U} = \frac{1}{2} T {(\frac{\partial y}{\partial x})}^{2}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] u = \frac{1}{2} μ {(\frac{\partial y}{\partial t})}^{2} + \frac{1}{2} T {(\frac{\partial y}{\partial x})}^{2}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] ⟨ u ⟩ = \frac{1}{2} μ A^{2} ω^{2}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] ⟨ P ⟩ = \frac{1}{2} μ A^{2} ω^{2} v

14一言ひとこと

波なみのエネルギーは、媒質ばいしつの運動うんどうと変形へんけいに入はいっている。振幅しんぷくが大おおきいほど、エネルギーは $A^{2}$ で大おおきくなる。