円運動えんうんどうと単振動たんしんどう

date2026-07-14document_iddoc_d9a1c8ef46e0f6300e137f52fd818902description円運動の向心加速度と単振動の復元構造を、速度ベクトルの変化、射影、運動方程式から証明する講義である。prerequisites運動方程式 / 三角関数 / 微分の基本 / 仕事と力学的エネルギーtype講義statusactive

physicsmechanicscircular-motionsimple-harmonic-motionlecture

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、等速円運動とうそくえんうんどうにも加速度かそくどが生しょうじる理由りゆうと、単振動たんしんどうを円運動えんうんどうの射影しゃえいとして表あらわす方法ほうほうを説明せつめいする。

円運動えんうんどうでは、合力ごうりょくの半径方向はんけいほうこう成分せいぶんが速度そくどの向むきを曲まげる。単振動たんしんどうでは、平衡位置へいこういちへ戻もどす力ちからが変位へんいに比例ひれいする。この 2 つは

a = - ω^{2} x

という形かたちで結むすびつく。

2用語ようごと定義ていぎ

等速円運動とうそくえんうんどうuniform circular motionとは、速はやさが一定いっていで、軌道きどうが円えんである運動うんどうである。

角速度かくそくどangular velocity $ω$ とは、角度かくど $θ$ の時間変化率じかんへんかりつである。

ω = \frac{d θ}{d t}

等速円運動とうそくえんうんどうでは $ω$ は一定いっていであり、半径はんけい $r$ 、速はやさ $v$ について $v = r ω$ が成立せいりつする。

角振動数かくしんどうすうangular frequencyも記号きごう $ω$ で表あらわす。これは 1 秒びょうあたりに位相いそうがどれだけ進すすむかを表あらわす量りょうで、単振動たんしんどうの周期しゅうき $T$ とは

T = \frac{2 π}{ω}

で結むすばれる。

向心加速度こうしんかそくどcentripetal accelerationとは、円えんの中心ちゅうしんへ向むく加速度かそくどであり、

a_{r} = \frac{v^{2}}{r} = r ω^{2}

で表あらわされる。

向心力こうしんりょくcentripetal forceは、中心向ちゅうしんむきの合力ごうりょくの役割やくわりを表あらわす言葉ことばである。重力じゅうりょく、張力ちょうりょく、垂直抗力すいちょくこうりょく、摩擦力まさつりょくとは別べつの新あたらしい力ちからではない。

単振動たんしんどうsimple harmonic motionとは、

\ddot{x} = - ω^{2} x

を満みたす運動うんどうである。変位へんいと反対向はんたいむきで、大おおきさが変位へんいに比例ひれいする加速度かそくどをもつ。

3方針ほうしん

円運動えんうんどうでは、半径方向はんけいほうこうと接線方向せっせんほうこうを分わける。半径方向はんけいほうこうは速度そくどの向むきを変かえ、接線方向せっせんほうこうは速はやさを変かえる。

単振動たんしんどうでは、運動方程式うんどうほうていしきを

\ddot{x} = - ω^{2} x

の形かたちへ直なおす。この形かたちに直なおせれば、角振動数かくしんどうすう $ω$ と周期しゅうき $T = 2 π / ω$ が読よめる。

4関係式かんけいしき 1：向心加速度こうしんかそくど

半径はんけい $r$ 、速はやさ $v$ の等速円運動とうそくえんうんどうでは、

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] a_{r} = \frac{v^{2}}{r} = r ω^{2}

であり、向むきは中心向ちゅうしんむきである。

4.1証明しょうめい

短みじかい時間じかん $Δ t$ の間あいだに、速度そくどベクトルの向むきが角度かくど $Δ θ$ だけ変かわる。速はやさの大おおきさは一定いっていなので、速度そくどベクトルの変化量へんかりょうは小ちいさい角かくで

| Δ \vec{v} | \approx v Δ θ

である。角速度かくそくどの定義ていぎより

Δ θ = ω Δ t

であり、また $v = r ω$ である。したがって

\frac{| Δ \vec{v} |}{Δ t} \approx v ω = \frac{v^{2}}{r}

である。 $Δ t \to 0$ の極限きょくげんで

a_{r} = \frac{v^{2}}{r}

を得える。 $v = r ω$ を代入だいにゅうすれば $a_{r} = r ω^{2}$ である。速度そくどベクトルの変化へんかは中心向ちゅうしんむきになるので、加速度かそくどの向むきも中心向ちゅうしんむきである。

5整理せいり 2：円運動えんうんどうの射影しゃえいは単振動たんしんどう

半径はんけい $A$ 、角速度かくそくど $ω$ の等速円運動とうそくえんうんどうを $x$ 軸じくへ射影しゃえいすると、

x = A \cos (ω t + ϕ)

であり、この $x$ は

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] \ddot{x} = - ω^{2} x

を満みたす。

5.1証明しょうめい

円えんを回まわる点てんの角度かくどを

θ = ω t + ϕ

と置おく。射影しゃえいは

x = A \cos θ = A \cos (ω t + ϕ)

である。時間じかんで微分びぶんすると

\dot{x} = - A ω \sin (ω t + ϕ)

さらに微分びぶんして

\ddot{x} = - A ω^{2} \cos (ω t + ϕ)

である。 $x = A \cos (ω t + ϕ)$ なので

\ddot{x} = - ω^{2} x

を得える。

6整理せいり 3：ばねの単振動たんしんどう

水平すいへいばねで摩擦まさつを無視むしし、自然長しぜんちょうからの変位へんいを $x$ とする。質量しつりょう $m$ 、ばね定数ていすう $k$ のとき、

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] ω = \sqrt{\frac{k}{m}}, T = 2 π \sqrt{\frac{m}{k}}

である。

6.1証明しょうめい

ばねの力ちからは

F = - k x

である。運動方程式うんどうほうていしきに代入だいにゅうすると

m \ddot{x} = - k x

である。したがって

\ddot{x} = - \frac{k}{m} x

となる。単振動たんしんどうの標準形ひょうじゅんけい $\ddot{x} = - ω^{2} x$ と比くらべて

ω^{2} = \frac{k}{m}

である。よって $ω = \sqrt{k / m}$ であり、周期しゅうきは

T = \frac{2 π}{ω} = 2 π \sqrt{\frac{m}{k}}

である。

7単位たんいの確認かくにん

向心加速度こうしんかそくどでは

\frac{v^{2}}{r} : \frac{[m^{2} / s^{2}; L^{2} T^{- 2}]}{[m; L]} = [m / s^{2}; L T^{- 2}]

である。 $r ω^{2}$ でも

r [m; L] \times ω^{2} [1 / s^{2}; T^{- 2}] \Rightarrow [m / s^{2}; L T^{- 2}]

となる。角度かくど rad は無次元むじげんとして扱あつかう。

8具体例ぐたいれい 1：水平円運動すいへいえんうんどうの張力ちょうりょく

水平すいへいな台だいの上うえで、糸いとが円えんの半径方向はんけいほうこうにだけ張力ちょうりょくを及およぼす場合ばあいを考かんがえる。半径はんけい $r$ 、質量しつりょう $m$ 、速はやさ $v$ の水平円運動すいへいえんうんどうでは、中心向ちゅうしんむきの合力ごうりょくが

m \frac{v^{2}}{r}

でなければならない。この条件じょうけんで中心向ちゅうしんむきに働はたらく実在じつざいの力ちからが張力ちょうりょくだけなら、

T = m \frac{v^{2}}{r}

である。円錐振子えんすいふりこのように糸いとが斜ななめなら、張力ちょうりょくそのものではなく水平成分すいへいせいぶんが $m v^{2} / r$ に等ひとしくなる。向心力こうしんりょくという別べつの力ちからを追加ついかするのではない。

9具体例ぐたいれい 2：小ちいさい振ふれの単振子たんふりこ

長ながさ $ℓ$ の振子ふりこで、鉛直えんちょくからの角度かくどを $θ$ とする。接線方向せっせんほうこうの運動方程式うんどうほうていしきは

m ℓ \ddot{θ} = - m g \sin θ

である。振ふれが小ちいさいとき $\sin θ \approx θ$ なので

\ddot{θ} = - \frac{g}{ℓ} θ

となる。したがって

ω = \sqrt{\frac{g}{ℓ}}, T = 2 π \sqrt{\frac{ℓ}{g}}

である。この結論けつろんは小振幅近似しょうしんぷくきんじの範囲はんいで成立せいりつする。

10見分みわけ方かた

円えんを回まわるなら、半径方向はんけいほうこうに $\sum F_{r} = m v^{2} / r$ を立たてる。
速はやさが変かわるなら、接線方向せっせんほうこうの式しきも必要ひつようである。
$F = - k x$ または $a = - ω^{2} x$ の形かたちに直なおせるなら、単振動たんしんどうである。
周期しゅうきを求もとめるなら、比例定数ひれいていすうから $ω$ を読よむ。
位置いちごとの速はやさを問とうなら、エネルギー保存ほぞんも有効ゆうこうである。

11どこまで成立せいりつするか

$a_{r} = v^{2} / r$ は円運動えんうんどうまたは曲率半径きょくりつはんけい $r$ の曲線運動きょくせんうんどうで使つかう。単振動たんしんどうの式しきは、復元力ふくげんりょくが変位へんいに比例ひれいする範囲はんいで成立せいりつする。振子ふりこでは小振幅近似しょうしんぷくきんじが必要ひつようである。

12最終形さいしゅうけい

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] a_{r} = \frac{v^{2}}{r} = r ω^{2}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] \ddot{x} = - ω^{2} x

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] x = A \cos (ω t + ϕ), T = \frac{2 π}{ω}

13一言ひとことでいうと

円運動えんうんどうは速度そくどの向むきを曲まげ続つづける運動うんどうであり、単振動たんしんどうは平衡位置へいこういちへ戻もどる加速度かそくどが変位へんいに比例ひれいする運動うんどうである。