回転運動かいてんうんどうの基本きほん

date2026-07-14document_iddoc_7eb5c4ad2df02c9e189b65b772db16b8description固定軸まわりの回転運動を、角変位・角速度・角加速度から定義し、直線運動との対応、接線加速度、向心加速度、等角加速度公式を証明する講義である。prerequisites円運動と単振動 / 直線運動と落下運動 / 微分の基本 / 単位・次元type講義statusactive

physicsmechanicsrotationlecture

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、固定軸こていじくまわりの回転かいてんを角度かくどで記述きじゅつし、直線運動ちょくせんうんどうとの対応たいおうを説明せつめいする。

直線運動ちょくせんうんどうでは

x, v = \frac{d x}{d t}, a = \frac{d v}{d t}

を使つかった。回転運動かいてんうんどうでは、これに対応たいおうして

θ, ω = \frac{d θ}{d t}, α = \frac{d ω}{d t}

を使つかう。半径はんけい $r$ の点てんについては、弧長こちょう $s = r θ$ によって角度量かくどりょうと直線量ちょくせんりょうが結むすばれる。

2用語ようごと定義ていぎ

角変位かくへんいangular displacement $θ$ とは、基準方向きじゅんほうこうからどれだけ回転かいてんしたかを表あらわす角度かくどである。rad は単位たんいとして書かくが、次元じげんは 1 として扱あつかう。

角速度かくそくどangular velocity $ω$ は

ω = \frac{d θ}{d t}

で定義ていぎする。

角加速度かくかそくどangular acceleration $α$ は

α = \frac{d ω}{d t} = \frac{d^{2} θ}{d t^{2}}

で定義ていぎする。

接線加速度せっせんかそくどtangential accelerationとは、円周えんしゅうに沿そう向むきの加速度かそくどである。

向心加速度こうしんかそくどcentripetal accelerationとは、円えんの中心ちゅうしんへ向むく加速度かそくどである。

3方針ほうしん

回転運動かいてんうんどうでは、まず角度かくどで運動うんどうを書かき、必要ひつようなときだけ半径はんけい $r$ を掛かけて長ながさ・速はやさ・加速度かそくどへ戻もどす。

$s = r θ$ から $v = r ω$ を導みちびく。
さらに微分びぶんして $a_{t} = r α$ を導みちびく。
速度そくどベクトルの向むきの変化へんかから $a_{r} = r ω^{2}$ を読よむ。
$α$ が一定いっていなら、直線運動ちょくせんうんどうの等加速度公式とうかそくどこうしきを角度量かくどりょうへ写うつす。

4関係式かんけいしき 1：弧長こちょうから線速度せんそくどと接線加速度せっせんかそくどが出でる

半径はんけい $r$ が一定いっていの点てんでは、

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] v = r ω, a_{t} = r α

が成立せいりつする。

4.1証明しょうめい

角度かくど $θ$ だけ回転かいてんしたときの弧長こちょうは

s = r θ

である。 $r$ は固定こていなので、時間じかんで微分びぶんすると

v = \frac{d s}{d t} = r \frac{d θ}{d t} = r ω

である。さらに微分びぶんすると

a_{t} = \frac{d v}{d t} = r \frac{d ω}{d t} = r α

を得える。

5関係式かんけいしき 2：向心加速度こうしんかそくど

半径はんけい $r$ 、角速度かくそくど $ω$ の円運動えんうんどうでは、半径方向はんけいほうこうの加速度かそくどの大おおきさは

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] a_{r} = \frac{v^{2}}{r} = r ω^{2}

である。

5.1証明しょうめい

前まえの講義こうぎで示しめした向心加速度こうしんかそくどの式しきは

a_{r} = \frac{v^{2}}{r}

である。関係式かんけいしき 1 より $v = r ω$ なので、

a_{r} = \frac{(r ω)^{2}}{r} = r ω^{2}

を得える。向むきは中心向ちゅうしんむきである。接線加速度せっせんかそくど $a_{t}$ が速はやさを変かえ、向心加速度こうしんかそくど $a_{r}$ が速度そくどの向むきを変かえる。

6公式こうしき 3：等角加速度とうかくかそくど運動うんどうの公式こうしき

$α$ が一定いっていなら、

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] ω = ω_{0} + α t

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] θ = θ_{0} + ω_{0} t + \frac{1}{2} α t^{2}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] ω^{2} - ω_{0^{2}} = 2 α (θ - θ_{0})

が成立せいりつする。

6.1証明しょうめい

$α = d ω / d t$ が一定いっていなので、

d ω = α d t

を $0$ から $t$ まで積分せきぶんして

ω - ω_{0} = α t

を得える。よって $ω = ω_{0} + α t$ である。

次つぎに $ω = d θ / d t$ だから、

d θ = (ω_{0} + α t) d t

を積分せきぶんして

θ - θ_{0} = ω_{0} t + \frac{1}{2} α t^{2}

を得える。

最後さいごに $α = d ω / d t = (d ω / d θ) (d θ / d t) = ω d ω / d θ$ を使つかう。したがって

ω d ω = α d θ

であり、 $ω_{0}$ から $ω$ 、 $θ_{0}$ から $θ$ まで積分せきぶんして

\frac{1}{2} (ω^{2} - ω_{0^{2}}) = α (θ - θ_{0})

を得える。

7単位たんいの確認かくにん

rad を無次元むじげんとして扱あつかうので、

ω [r a d / s; T^{- 1}], α [r a d / s^{2}; T^{- 2}]

である。したがって

r ω : [m; L] [1 / s; T^{- 1}] = [m / s; L T^{- 1}]

であり、

r α : [m; L] [1 / s^{2}; T^{- 2}] = [m / s^{2}; L T^{- 2}]

である。

8具体例ぐたいれい：円盤えんばんの周辺しゅうへんの速はやさ

半径はんけい $0.20 [m; L]$ の円盤えんばんが $ω = 10 [r a d / s; T^{- 1}]$ で回転かいてんしている。周辺しゅうへんの点てんの速はやさは

v = r ω = 0.20 \times 10 = 2.0 [m / s; L T^{- 1}]

である。向心加速度こうしんかそくどの大おおきさは

a_{r} = r ω^{2} = 0.20 \times 10^{2} = 20 [m / s^{2}; L T^{- 2}]

である。

9見分みわけ方かた

角度かくどが主役しゅやくなら $θ, ω, α$ を使つかう。
円周上えんしゅうじょうの点てんの速はやさを知しりたいなら $v = r ω$ を使つかう。
速はやさが変かわるなら $a_{t} = r α$ 、向むきだけが変かわるなら $a_{r} = r ω^{2}$ を使つかう。
$ω$ と $v$ は同おなじ量りょうではない。同おなじ $ω$ でも、半径はんけい $r$ が大おおきいほど $v$ は大おおきくなる。

10どこまで成立せいりつするか

この講義こうぎの式しきは、固定軸こていじくまわりで半径はんけい $r$ が一定いっていの点てんに対たいして成立せいりつする。軸じくが移動いどうする一般いっぱんの剛体運動ごうたいうんどうでは、重心じゅうしんの並進へいしんと重心じゅうしんまわりの回転かいてんを分わけて扱あつかう。

11最終形さいしゅうけい

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] ω = \frac{d θ}{d t}, α = \frac{d ω}{d t}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] v = r ω, a_{t} = r α, a_{r} = r ω^{2}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] ω^{2} - ω_{0^{2}} = 2 α (θ - θ_{0})

12一言ひとこと

回転運動かいてんうんどうでは、まず角度かくどで書かく。長ながさへ戻もどすときだけ半径はんけいを掛かける。