剛体ごうたいのつり合あいの基本きほん

date2026-07-14document_iddoc_3e2581cb2cfd3ddcd8331f0c750bd521description剛体の静止条件を、合力と力のモーメントの二つの条件として定義し、つり合いの条件と支点まわりの考え方を証明付きで整理する講義である。prerequisites力のつり合いと運動の法則 / 回転運動の基本 / 慣性モーメントの基本 / ベクトルの外積 / 単位・次元type講義statusactive

physicsmechanicsrigid-bodytorquelecture

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、広ひろがりをもつ物体ぶったいでは「動うごかない」ために、合力ごうりょくが 0 であるだけでは足たりないという性質せいしつを説明せつめいする。

質点しつてんなら、力ちからの合計ごうけいが 0 なら加速度かそくどは 0 である。しかし剛体ごうたいは回転かいてんできる。合力ごうりょくが 0 でも、力ちからの作用線さようせんがずれていれば回まわり始はじめる。そこで、並進へいしんを止とめる条件じょうけんと回転かいてんを止とめる条件じょうけんを分わける。

2用語ようごと定義ていぎ

剛体ごうたいrigid bodyとは、物体ぶったいの内部ないぶの距離きょりが変かわらないとみなせる理想化りそうかである。

力ちからのモーメントtorque $\vec{τ}$ とは、基準点きじゅんてんから力ちからの作用点さようてんへ向むかう位置いちベクトルを $\vec{r}$ 、力ちからを $\vec{F}$ として

\vec{τ} = \vec{r} \times \vec{F}

で定義ていぎする量りょうである。平面へいめんの問題もんだいでは、大おおきさは

τ = F d

である。ここで $d$ は基準点きじゅんてんから力ちからの作用線さようせんまでの垂直距離すいちょくきょりである。

作用線さようせんline of actionとは、力ちからの向むきに沿そって作用点さようてんを通とおる直線ちょくせんである。

3方針ほうしん

剛体ごうたいのつり合あいでは、式しきを 2 種類しゅるいに分わける。

並進へいしんを見みるために $\sum \vec{F} = \vec{0}$ を立たてる。
回転かいてんを見みるために $\sum \vec{τ} = \vec{0}$ を立たてる。
未知みちの力ちからが多おおいときは、その力ちからの作用線さようせんが通とおる点てんを基準点きじゅんてんに選えらび、モーメントから消けす。

4条件じょうけん 1：剛体ごうたいが静止せいしし続つづける条件じょうけん

慣性系かんせいけいで剛体ごうたいが初はじめに静止せいしし、初期角速度しょきかくそくども 0 であるとする。この剛体ごうたいが静止せいしし続つづけるための条件じょうけんは、外力がいりょくの合力ごうりょくについて

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] \sum \vec{F} = \vec{0}

かつ、任意にんいの基準点きじゅんてんまわりの外力がいりょくのモーメントについて

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] \sum \vec{τ} = \vec{0}

である。

4.1証明しょうめい

合力ごうりょくについては、剛体ごうたいを構成こうせいする質点しつてんの運動方程式うんどうほうていしきを足たし合あわせると

M \vec{a_{c m}} = \sum \vec{F_{e x t}}

となる。ここで $\vec{a_{c m}}$ は重心じゅうしんの加速度かそくどである。静止せいしし続つづけるなら $\vec{a_{c m}} = \vec{0}$ なので、 $\sum \vec{F} = \vec{0}$ が必要ひつようである。

回転かいてんについては、固定軸こていじくまわりの回転運動かいてんうんどうでは

\sum τ_{e x t} = I α

である。ここで和わは外力がいりょくのモーメントの和わである。静止せいしし続つづけるなら $α = 0$ なので、 $\sum τ = 0$ が必要ひつようである。

逆ぎゃくに、 $\sum \vec{F} = \vec{0}$ かつ $\sum \vec{τ} = \vec{0}$ なら、重心じゅうしんの加速度かそくども角加速度かくかそくども 0 である。したがって初速度しょそくどと初期角速度しょきかくそくどがどちらも 0 なら、その状態じょうたいを保たもつ。

5条件じょうけん 2：基準点きじゅんてんを変かえてもよい条件じょうけん

$\sum \vec{F} = \vec{0}$ が成立せいりつするとき、ある基準点きじゅんてん $O$ まわりで $\sum \vec{τ_{O}} = \vec{0}$ なら、任意にんいの基準点きじゅんてん $O^{'}$ まわりでも $\sum \vec{τ_{O^{'}}} = \vec{0}$ である。

5.1証明しょうめい

$O^{'}$ から $O$ への位置いちベクトルを $\vec{a}$ とする。力ちから $\vec{F_{i}}$ の $O$ からの位置いちベクトルを $\vec{r_{i}}$ とすると、 $O^{'}$ からは $\vec{r_{i}} + \vec{a}$ と書かける。したがって

\sum \vec{τ_{O^{'}}} = \sum (\vec{r_{i}} + \vec{a}) \times \vec{F_{i}} = \sum \vec{r_{i}} \times \vec{F_{i}} + \vec{a} \times \sum \vec{F_{i}}

である。 $\sum \vec{F_{i}} = \vec{0}$ なので第だい 2 項こうは 0 であり、

\sum \vec{τ_{O^{'}}} = \sum \vec{τ_{O}}

となる。よって $O$ で 0 なら $O^{'}$ でも 0 である。

6帰結きけつ 3：作用線さようせんが基準点きじゅんてんを通とおる力ちからのモーメントは 0

力ちからの作用線さようせんが基準点きじゅんてんを通とおるなら、その力ちからのモーメントは 0 である。

6.1証明しょうめい

作用線さようせんが基準点きじゅんてんを通とおるとは、位置いちベクトル $\vec{r}$ と力ちから $\vec{F}$ が平行へいこうであることを意味いみする。したがって

\vec{r} \times \vec{F} = \vec{0}

である。平面へいめんの式しき $τ = F d$ で見みても、垂直距離すいちょくきょり $d = 0$ なので $τ = 0$ である。

7単位たんいの確認かくにん

力ちからのモーメントは

r [m; L] \times F [N; M L T^{- 2}] = τ [N m; M L^{2} T^{- 2}]

である。これはエネルギーと同おなじ次元じげんをもつが、意味いみは違ちがう。エネルギーは仕事しごとの量りょうであり、モーメントは回転かいてんを変かえる効果こうかである。

8具体例ぐたいれい：水平すいへいな棒ぼうの支点反力してんはんりょく

長ながさ $L$ 、質量しつりょう $M$ の一様いちような棒ぼうが左端ひだりはしで支ささえられ、右端みぎはしに質量しつりょう $m$ の物体ぶったいが吊つるされている。左端ひだりはしまわりにモーメントを取とると、左端ひだりはしの支点反力してんはんりょくは作用線さようせんが基準点きじゅんてんを通とおるため消きえる。

M g \frac{L}{2} + m g L

が時計回とけいまわりのモーメントである。他ほかに反時計回はんとけいまわりのモーメントを生うむ力ちからがなければ静止せいしできない。したがって、壁かべや支柱しちゅうが別べつの力ちからを与あたえる配置はいちが必要ひつようである。実際じっさいの問題もんだいでは、その未知力みちりょくを含ふくめて $\sum τ = 0$ を立たてる。

9見分みわけ方かた

物体ぶったいを質点しつてんとして扱あつかえるなら、 $\sum \vec{F} = \vec{0}$ だけでよい。
棒ぼう、板いた、はしご、扉とびらのように長ながさが効きくなら、 $\sum \vec{τ} = \vec{0}$ も必要ひつようである。
未知力みちりょくを消けしたいなら、その作用線さようせんが通とおる点てんを基準点きじゅんてんに選えらぶ。
力ちからの作用点さようてんではなく、作用線さようせんまでの垂直距離すいちょくきょりを見みる。

10どこまで成立せいりつするか

ここでの剛体ごうたいは変形へんけいしない理想化りそうかである。実物じつぶつの梁はりや材料ざいりょうでは、曲まがりや破壊はかいを考かんがえる必要ひつようがある。また、静止せいししていない回転運動かいてんうんどうでは $\sum τ = I α$ を使つかい、 $\sum τ = 0$ だけではない。

11最終形さいしゅうけい

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] \sum \vec{F} = \vec{0}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] \sum \vec{τ} = \vec{0}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] \vec{τ} = \vec{r} \times \vec{F}, τ = F d

12一言ひとこと

剛体ごうたいのつり合あいでは、動うごかないことと回まわらないことを別々べつべつに確認かくにんする。