重心じゅうしんの基本きほん

date2026-07-14document_iddoc_499289dcc6ddedb631710d57c17e7e9ddescription重心を質量で重みづけした代表点として定義し、内力が消えて外力だけが重心運動を決めることを証明する講義である。prerequisites運動方程式 / 運動量と力積 / ベクトルの基本type講義statusactive

physicsmechanicscenter-of-masslecture

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、複数ふくすうの物体ぶったいや広ひろがった物体ぶったいを、並進運動へいしんうんどうだけに注目ちゅうもくして 1 点てんへ集約しゅうやくする方法ほうほうを説明せつめいする。その点てんが重心じゅうしんcenter of massである。

重心じゅうしんを使つかう理由りゆうは、内部ないぶでどれだけ複雑ふくざつな力ちからが働はたらいても、系けい全体ぜんたいの重心じゅうしんの運動うんどうは外力がいりょくだけで決きまるからである。

2用語ようごと定義ていぎ

$n$ 個この質点しつてんがあり、質量しつりょうが $m_{i}$ 、位置いちが $\vec{r_{i}}$ であるとする。全質量ぜんしつりょうを

M = \sum_{i = 1}^{n} m_{i}

と置おく。重心じゅうしん $\vec{R}$ を

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] \vec{R} = \frac{1}{M} \sum_{i = 1}^{n} m_{i} \vec{r_{i}}

で定義ていぎする。

連続体れんぞくたいでは、和わを積分せきぶんに置おき換かえて

\vec{R} = \frac{1}{M} \int \vec{r} d m

と書かく。

3方針ほうしん

重心じゅうしんでは、位置いちそのものを単純たんじゅんに平均へいきんしない。質量しつりょうで重おもみづけする。重おもい部分ぶぶんほど重心じゅうしんを強つよく引ひき寄よせる。

問題もんだいでは次つぎの順序じゅんじょで考かんがえる。

質量しつりょうと位置いちを表ひょうにする。
$\sum m_{i} \vec{r_{i}}$ を作つくる。
全質量ぜんしつりょう $M$ で割わる。
対称性たいしょうせいがあれば、計算けいさんの前まえに使つかう。
運動うんどうを調しらべる場合ばあいは、 $M \ddot{\vec{R}} = \vec{F_{e x t}}$ を使つかう。

4整理せいり 1：二ふたつの質点しつてんの重心じゅうしん

1 次元じげんで、質量しつりょう $m_{1}, m_{2}$ の質点しつてんが位置いち $x_{1}, x_{2}$ にあるとき、

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] x_{G} = \frac{m_{1} x_{1} + m_{2} x_{2}}{m_{1} + m_{2}}

である。重心じゅうしんは重おもい質点しつてんの側がわへ寄よる。

4.1証明しょうめい

重心じゅうしんの定義ていぎに $n = 2$ を代入だいにゅうするだけで

x_{G} = \frac{m_{1} x_{1} + m_{2} x_{2}}{m_{1} + m_{2}}

を得える。距離きょりの比ひを見みるため、 $x_{1} < x_{G} < x_{2}$ とする。このとき

x_{G} - x_{1} = \frac{m_{2} (x_{2} - x_{1})}{m_{1} + m_{2}}

x_{2} - x_{G} = \frac{m_{1} (x_{2} - x_{1})}{m_{1} + m_{2}}

である。したがって

\frac{x_{G} - x_{1}}{x_{2} - x_{G}} = \frac{m_{2}}{m_{1}}

であり、重おもい側がわほど距離きょりが短みじかい。

5方程式ほうていしき 2：重心じゅうしんの運動方程式うんどうほうていしき

多粒子系たりゅうしけいについて

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] M \ddot{\vec{R}} = \vec{F_{{e x t}^{t o t}}}

が成立せいりつする。重心じゅうしんを加速かそくするのは外力がいりょくの合力ごうりょくだけである。

5.1証明しょうめい

定義ていぎより

M \vec{R} = \sum_{i} m_{i} \vec{r_{i}}

である。両辺りょうへんを時間じかんで 2 回かい微分びぶんすると

M \ddot{\vec{R}} = \sum_{i} m_{i} \ddot{{\vec{r}}_{i}}

となる。 $i$ 番目ばんめの質点しつてんに Newton の第だい 2 法則ほうそくを使つかうと

m_{i} \ddot{{\vec{r}}_{i}} = \vec{F_{i^{e x t}}} + \vec{F_{i^{i n t}}}

である。よって

M \ddot{\vec{R}} = \sum_{i} \vec{F_{i^{e x t}}} + \sum_{i} \vec{F_{i^{i n t}}}

となる。内力ないりょくは作用反作用さようはんさようの対ついとして同おなじ大おおきさで逆向ぎゃくむきに現あらわれるため、全すべて足たすと

\sum_{i} \vec{F_{i^{i n t}}} = \vec{0}

である。したがって

M \ddot{\vec{R}} = \sum_{i} \vec{F_{i^{e x t}}} = \vec{F_{{e x t}^{t o t}}}

を得える。

6関係式かんけいしき 3：重心速度じゅうしんそくどと全運動量ぜんうんどうりょう

重心速度じゅうしんそくどを $\dot{\vec{R}}$ とすると、

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] \vec{P} = M \dot{\vec{R}}

である。

6.1証明しょうめい

重心じゅうしんの定義ていぎ

M \vec{R} = \sum_{i} m_{i} \vec{r_{i}}

を時間じかんで微分びぶんする。

M \dot{\vec{R}} = \sum_{i} m_{i} \dot{{\vec{r}}_{i}}

$\dot{{\vec{r}}_{i}} = \vec{v_{i}}$ なので

M \dot{\vec{R}} = \sum_{i} m_{i} \vec{v_{i}} = \sum_{i} \vec{p_{i}} = \vec{P}

である。

7単位たんいの確認かくにん

重心じゅうしんの位置いちは

\frac{m_{i} \vec{r_{i}}}{M}

の和わである。 $m_{i} \vec{r_{i}}$ は $[k g m; M L]$ 、 $M$ は $[k g; M]$ なので、結果けっかは $[m; L]$ になる。

重心じゅうしんの運動方程式うんどうほうていしきでは

M [k g; M] \times \ddot{R} [m / s^{2}; L T^{- 2}] \Rightarrow M \ddot{R} [N; M L T^{- 2}]

であり、外力がいりょくの合力ごうりょくと同おなじ単位たんいである。

8具体例ぐたいれい 1：二ふたつの質点しつてん

$x = 0$ に質量しつりょう $m$ 、 $x = 3 a$ に質量しつりょう $2 m$ がある。このとき

x_{G} = \frac{m \cdot 0 + 2 m \cdot 3 a}{3 m} = 2 a

である。重心じゅうしんは重おもい質点しつてんの側がわへ寄よる。

9具体例ぐたいれい 2：穴あなあき板いた

一様いちような板いたから一部いちぶを切きり抜ぬいた形かたちでは、切きり抜ぬいた部分ぶぶんを負ふの質量しつりょうとして扱あつかう。元もとの板いたの質量しつりょうを $M_{0}$ 、重心じゅうしんを $\vec{R_{0}}$ 、穴あなに相当そうとうする部分ぶぶんの質量しつりょうを $m$ 、重心じゅうしんを $\vec{R_{1}}$ とすると、

\vec{R} = \frac{M_{0} \vec{R_{0}} - m \vec{R_{1}}}{M_{0} - m}

である。重心じゅうしんの式しきが質量しつりょうについて線形せんけいなので、この引ひき算ざんが使つかえる。

10見分みわけ方かた

質量分布しつりょうぶんぷを 1 点てんへ代表だいひょうさせたいなら、重心じゅうしんを使つかう。
対称性たいしょうせいがあるなら、重心じゅうしんは対称軸たいしょうじくや対称面たいしょうめんの上うえにある。
衝突しょうとつや分裂ぶんれつで外力がいりょくの力積りきせきが無視むしできるなら、重心速度じゅうしんそくどは一定いっていである。
重心じゅうしんが分わかっても、回転かいてんや内部変形ないぶへんけいまで決きまるわけではない。

11どこまで成立せいりつするか

重心じゅうしんの運動方程式うんどうほうていしきは、内力ないりょくが作用反作用さようはんさようの対ついとして相殺そうさいする範囲はんいで使つかう。この式しきが記述きじゅつするのは並進運動へいしんうんどうであり、回転運動かいてんうんどうは角運動量かくうんどうりょうやトルクtorqueで別べつに扱あつかう。

12最終形さいしゅうけい

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] \vec{R} = \frac{\sum_{i} m_{i} \vec{r_{i}}}{\sum_{i} m_{i}}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] M \ddot{\vec{R}} = \vec{F_{{e x t}^{t o t}}}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] \vec{P} = M \dot{\vec{R}}

13一言ひとことでいうと

重心じゅうしんは質量しつりょうで重おもみづけした代表点だいひょうてんであり、系けい全体ぜんたいの並進運動へいしんうんどうだけを外力がいりょくで読よむための点てんである。