衝突しょうとつと運動量保存うんどうりょうほぞん

date2026-07-14document_iddoc_6b332e12a40640d2776e9d3618d1ebd2description衝突を外力の力積が小さい短時間相互作用として扱い、運動量保存、反発係数、弾性・非弾性の違いを証明付きで整理する講義である。prerequisites運動量と力積 / 仕事と力学的エネルギー / 一次方程式type講義statusactive

physicsmechanicscollisionmomentum-conservationlecture

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、衝突中しょうとつちゅうの大おおきな接触力せっしょくりょくを直接ちょくせつ追おわず、衝突前しょうとつまえと衝突後しょうとつごを運動量うんどうりょうで結むすぶ方法ほうほうを説明せつめいする。

衝突しょうとつでは接触時間せっしょくじかんが短みじかい。外力がいりょくの力積りきせきが 0 なら、系けい全体ぜんたいの運動量うんどうりょうは厳密げんみつに保存ほぞんする。外力がいりょくの力積りきせきが接触力せっしょくりょくの力積りきせきに比くらべて十分じゅうぶん小ちいさいなら、運動量保存うんどうりょうほぞんは近似式きんじしきとして使つかえる。未知みちの速度そくどが二ふたつある場合ばあいは、反発係数はんぱつけいすうまたはエネルギー保存ほぞんを追加条件ついかじょうけんとして使つかう。

2用語ようごと定義ていぎ

衝突しょうとつcollisionとは、短時間たんじかんに大おおきな相互作用そうごさようが働はたらき、速度そくどが急きゅうに変化へんかする過程かていである。

反発係数はんぱつけいすうcoefficient of restitution $e$ は、接触法線方向せっしょくほうせんほうこうについて、離はなれる相対速度そうたいそくどの大おおきさを近ちかづく相対速度そうたいそくどの大おおきさで割わった量りょうである。

1 次元じげんで、正方向せいほうこうを物体ぶったい 1 から物体ぶったい 2 へ向むかう向むきに取とり、衝突前しょうとつまえに $u_{1} > u_{2}$ とする。衝突後しょうとつごに離はなれる向むきで速度そくどを $v_{1}, v_{2}$ と書かけば、近ちかづく相対速度そうたいそくどは $u_{1} - u_{2}$ 、離はなれる相対速度そうたいそくどは $v_{2} - v_{1}$ なので、

v_{2} - v_{1} = e (u_{1} - u_{2})

と書かける。

完全非弾性衝突かんぜんひだんせいしょうとつperfectly inelastic collisionとは、衝突後しょうとつごに一体いったいとなり、 $v_{1} = v_{2}$ となる衝突しょうとつである。

弾性衝突だんせいしょうとつelastic collisionとは、運動量うんどうりょうだけでなく運動うんどうエネルギーも保存ほぞんする衝突しょうとつである。

3方針ほうしん

1 次元じげんの 2 物体ぶったい衝突しょうとつでは、次つぎの順序じゅんじょで進すすめる。

系けいを決きめる。
正方向せいほうこうを決きめ、速度そくどを符号ふごうつきで置おく。
外力がいりょくの力積りきせきが 0 か、または近似的きんじてきに無視むしできるか確認かくにんする。
厳密げんみつな保存式ほぞんしきか近似式きんじしきかを区別くべつして運動量うんどうりょうの式しきを立たてる。
反発係数はんぱつけいすう、完全非弾性かんぜんひだんせい、または弾性だんせいの条件じょうけんを追加ついかする。

4保存則ほぞんそく 1：衝突中しょうとつちゅうの運動量うんどうりょうの保存ほぞんと近似きんじ

衝突中しょうとつちゅうの外力がいりょくの力積りきせきを $\vec{I_{e x t}}$ とする。

$\vec{I_{e x t}} = \vec{0}$ なら、系けい全体ぜんたいの運動量うんどうりょうは厳密げんみつに保存ほぞんする。
$\vec{I_{e x t}} \approx \vec{0}$ とみなせるなら、系けい全体ぜんたいの運動量うんどうりょうは近似的きんじてきに保存ほぞんする。

4.1証明しょうめい

運動量うんどうりょうと力積りきせきの定理ていりより、系けい全体ぜんたいについて

Δ \vec{P} = \vec{I_{e x t}}

である。もし

\vec{I_{e x t}} = \vec{0}

なら、

Δ \vec{P} = \vec{0}

である。したがって衝突前しょうとつまえと衝突後しょうとつごで全運動量ぜんうんどうりょうは厳密げんみつに等ひとしい。

1 次元じげんの 2 物体ぶったいでは

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] m_{1} u_{1} + m_{2} u_{2} = m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2}

である。

衝突時間しょうとつじかんが短みじかく、外力がいりょくの力積りきせきが

\vec{I_{e x t}} \approx \vec{0}

とみなせるなら、

Δ \vec{P} \approx \vec{0}

となる。この場合ばあいの運動量保存式うんどうりょうほぞんしきは近似式きんじしきである。

5関係式かんけいしき 2：反発係数はんぱつけいすうと速度そくどの決定けってい

1 次元じげんの 2 物体ぶったい衝突しょうとつで、外力がいりょくの力積りきせきが 0 であり、さらに上うえで定さだめた向むきの約束やくそくのもとで反発係数はんぱつけいすう $e$ が与あたえられると、衝突後しょうとつごの速度そくどは

v_{1} = \frac{(m_{1} - e m_{2}) u_{1} + (1 + e) m_{2} u_{2}}{m_{1} + m_{2}}

v_{2} = \frac{(m_{2} - e m_{1}) u_{2} + (1 + e) m_{1} u_{1}}{m_{1} + m_{2}}

で与あたえられる。

5.1証明しょうめい

運動量保存うんどうりょうほぞんは

m_{1} u_{1} + m_{2} u_{2} = m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"tag\")")] 1

である。反発係数はんぱつけいすうの式しきは

v_{2} - v_{1} = e (u_{1} - u_{2}) [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"tag\")")] 2

である。(2) より

v_{2} = v_{1} + e (u_{1} - u_{2})

である。これを (1) に代入だいにゅうすると

m_{1} u_{1} + m_{2} u_{2} = (m_{1} + m_{2}) v_{1} + m_{2} e (u_{1} - u_{2})

である。したがって

v_{1} = \frac{m_{1} u_{1} + m_{2} u_{2} - m_{2} e (u_{1} - u_{2})}{m_{1} + m_{2}}

となり、整理せいりして

v_{1} = \frac{(m_{1} - e m_{2}) u_{1} + (1 + e) m_{2} u_{2}}{m_{1} + m_{2}}

を得える。さらに (2) へ戻もどすと

v_{2} = \frac{(m_{2} - e m_{1}) u_{2} + (1 + e) m_{1} u_{1}}{m_{1} + m_{2}}

を得える。

6整理せいり 3：完全非弾性衝突かんぜんひだんせいしょうとつ

完全非弾性衝突かんぜんひだんせいしょうとつでは、衝突後しょうとつごの共通速度きょうつうそくど $v$ は

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] v = \frac{m_{1} u_{1} + m_{2} u_{2}}{m_{1} + m_{2}}

である。

6.1証明しょうめい

完全非弾性衝突かんぜんひだんせいしょうとつでは、衝突後しょうとつごに 2 物体ぶったいが一体いったいとなるので $v_{1} = v_{2} = v$ である。運動量保存うんどうりょうほぞんに代入だいにゅうすると

m_{1} u_{1} + m_{2} u_{2} = (m_{1} + m_{2}) v

である。 $m_{1} + m_{2} > 0$ なので両辺りょうへんを割わり、

v = \frac{m_{1} u_{1} + m_{2} u_{2}}{m_{1} + m_{2}}

を得える。

7単位たんいと条件じょうけん

運動量保存うんどうりょうほぞんの各項かくこう $m v$ は

m [k g; M] \times v [m / s; L T^{- 1}] \Rightarrow m v [k g m / s; M L T^{- 1}]

である。反発係数はんぱつけいすう $e$ は相対速度そうたいそくどの比ひなので無次元むじげんである。

8具体例ぐたいれい 1：同質量どうしつりょうの弾性衝突だんせいしょうとつ

同おなじ質量しつりょう $m$ の 2 物体ぶったいで、 $u_{1} = u, u_{2} = 0$ 、 $e = 1$ とする。運動量保存うんどうりょうほぞんは

u = v_{1} + v_{2}

であり、反発係数はんぱつけいすうは

v_{2} - v_{1} = u

である。二式にしきを解とくと

v_{1} = 0, v_{2} = u

となる。同質量どうしつりょうの弾性衝突だんせいしょうとつでは速度そくどが交換こうかんされる。

9見分みわけ方かた

衝突しょうとつの瞬間しゅんかんでは、まず運動量保存うんどうりょうほぞんを確認かくにんする。
完全非弾性かんぜんひだんせいなら、衝突後しょうとつごに $v_{1} = v_{2}$ と置おく。
弾性衝突だんせいしょうとつなら、 $e = 1$ または運動うんどうエネルギー保存ほぞんを追加ついかする。
非弾性衝突ひだんせいしょうとつでは、運動うんどうエネルギーは一般いっぱんに保存ほぞんしない。
2 次元じげんでは、反発係数はんぱつけいすうを接触法線方向せっしょくほうせんほうこうだけに使つかう。

10どこまで成立せいりつするか

運動量保存うんどうりょうほぞんは外力がいりょくの力積りきせきが無視むしできる範囲はんいで使つかう。反発係数はんぱつけいすうは材質ざいしつ、形かたち、衝突速度しょうとつそくどに依存いぞんする実験的じっけんてきな量りょうである。

11最終形さいしゅうけい

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] m_{1} u_{1} + m_{2} u_{2} = m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] v_{2} - v_{1} = e (u_{1} - u_{2})

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] v_{i n e l a s t i c} = \frac{m_{1} u_{1} + m_{2} u_{2}}{m_{1} + m_{2}}

12一言ひとことでいうと

衝突しょうとつでは、短時間たんじかんの内力ないりょくの細部さいぶを追おう代かわりに、外力がいりょくの力積りきせきが小ちいさいことを根拠こんきょに運動量保存うんどうりょうほぞんを使つかう。