重心系じゅうしんけいでの衝突しょうとつ

date2026-07-14document_iddoc_bd3927bf6c7e54988b8c9c17aa2a5992description二体衝突を重心系で見る理由を示し、重心速度、相対速度、換算質量、運動エネルギー分解を証明する講義である。prerequisites衝突と運動量保存 / 重心の基本 / 運動量と力積 / 仕事と力学的エネルギーtype講義statusactive

physicsmechanicscenter-of-masscollisionlecture

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、2 物体ぶったいの衝突しょうとつでは、全体ぜんたいとして動うごく運動うんどうと、互たがいに近ちかづいたり離はなれたりする相対運動そうたいうんどうを分わけると構造こうぞうが見みえるという性質せいしつを説明せつめいする。

実験室系じっけんしつけいでは、2 物体ぶったいがどちらも動うごいて見みえる。重心系じゅうしんけいへ移うつると、全運動量ぜんうんどうりょうが 0 になり、衝突しょうとつで本当ほんとうに変かわるのは相対速度そうたいそくどだけだと分わかる。

2用語ようごと定義ていぎ

重心速度じゅうしんそくどcenter-of-mass velocity $V$ は、1 次元じげんの 2 物体ぶったいについて

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] V = \frac{m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2}}{m_{1} + m_{2}}

で定義ていぎする。

重心系じゅうしんけいcenter-of-mass frameとは、重心じゅうしんが静止せいしして見みえる座標系ざひょうけいである。実験室系じっけんしつけいの速度そくどを $v_{i}$ とすると、重心系じゅうしんけいでの速度そくどは

v_{i^{'}} = v_{i} - V

である。

相対速度そうたいそくどrelative velocityは

u = v_{1} - v_{2}

である。

換算質量かんさんしつりょうreduced mass $μ$ は

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] μ = \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1} + m_{2}}

で定義ていぎする。

3方針ほうしん

重心系じゅうしんけいを使つかう理由りゆうは、衝突しょうとつを「全体ぜんたいの並進へいしん」と「内部ないぶの相対運動そうたいうんどう」に分解ぶんかいできるからである。

$V$ を求もとめる。
$v_{1^{'}} = v_{1} - V, v_{2^{'}} = v_{2} - V$ に直なおす。
重心系じゅうしんけいで反発係数はんぱつけいすうや弾性だんせいを読よむ。
必要ひつようなら最後さいごに $V$ を足たして実験室系じっけんしつけいへ戻もどす。

4帰結きけつ 1：重心系じゅうしんけいでは全運動量ぜんうんどうりょうが 0

$V = (m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2}) / (m_{1} + m_{2})$ と定義ていぎし、 $v_{i^{'}} = v_{i} - V$ と置おくと、

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] m_{1} v_{1^{'}} + m_{2} v_{2^{'}} = 0

である。

4.1証明しょうめい

定義ていぎに代入だいにゅうすると、

m_{1} (v_{1} - V) + m_{2} (v_{2} - V) = m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} - (m_{1} + m_{2}) V

である。 $V$ の定義ていぎより

(m_{1} + m_{2}) V = m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2}

なので、

m_{1} v_{1^{'}} + m_{2} v_{2^{'}} = 0

を得える。

5関係式かんけいしき 2：相対速度そうたいそくどは座標系ざひょうけいの一様移動いちよういどうで変かわらない

$v_{1^{'}} = v_{1} - V, v_{2^{'}} = v_{2} - V$ なら、

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] v_{1^{'}} - v_{2^{'}} = v_{1} - v_{2}

である。

5.1証明しょうめい

左辺さへんを計算けいさんすると、

v_{1^{'}} - v_{2^{'}} = (v_{1} - V) - (v_{2} - V) = v_{1} - v_{2}

である。したがって反発係数はんぱつけいすうのように相対速度そうたいそくどだけで定義ていぎされる量りょうは、実験室系じっけんしつけいでも重心系じゅうしんけいでも同おなじである。

6関係式かんけいしき 3：運動うんどうエネルギーの分解ぶんかい

2 物体ぶったいの全運動ぜんうんどうエネルギーは

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] \frac{1}{2} m_{1} v_{1^{2}} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2^{2}} = \frac{1}{2} (m_{1} + m_{2}) V^{2} + \frac{1}{2} μ (v_{1} - v_{2})^{2}

と分解ぶんかいできる。

6.1証明しょうめい

$v_{1} = V + v_{1^{'}}$ 、 $v_{2} = V + v_{2^{'}}$ と書かく。全運動ぜんうんどうエネルギーは

K = \frac{1}{2} m_{1} (V + v_{1^{'}})^{2} + \frac{1}{2} m_{2} (V + v_{2^{'}})^{2}

である。展開てんかいすると

K = \frac{1}{2} (m_{1} + m_{2}) V^{2} + V (m_{1} v_{1^{'}} + m_{2} v_{2^{'}}) + \frac{1}{2} m_{1} {v_{1^{'}}}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} {v_{2^{'}}}^{2}

である。帰結きけつ 1 より中央ちゅうおうの項こうは 0 である。

重心系じゅうしんけいでは $m_{1} v_{1^{'}} + m_{2} v_{2^{'}} = 0$ なので、

v_{1^{'}} = \frac{m_{2}}{m_{1} + m_{2}} (v_{1} - v_{2}), v_{2^{'}} = - \frac{m_{1}}{m_{1} + m_{2}} (v_{1} - v_{2})

である。これを代入だいにゅうすると、

\frac{1}{2} m_{1} {v_{1^{'}}}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} {v_{2^{'}}}^{2} = \frac{1}{2} \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1} + m_{2}} (v_{1} - v_{2})^{2} = \frac{1}{2} μ (v_{1} - v_{2})^{2}

を得える。

7関係式かんけいしき 4：弾性衝突だんせいしょうとつは重心系じゅうしんけいで速度そくどが反転はんてんする

1 次元じげんの弾性衝突だんせいしょうとつでは、重心系じゅうしんけいで

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] v_{1^{'}}_{a f t e r} = - v_{1^{'}}_{b e f o r e}, v_{2^{'}}_{a f t e r} = - v_{2^{'}}_{b e f o r e}

である。

7.1証明しょうめい

重心系じゅうしんけいでは全運動量ぜんうんどうりょうが 0 である。したがって衝突前しょうとつまえも衝突後しょうとつごも

m_{1} v_{1^{'}} + m_{2} v_{2^{'}} = 0

を満みたす。弾性衝突だんせいしょうとつでは運動うんどうエネルギーも保存ほぞんするので、関係式かんけいしき 3 の内部ないぶエネルギー

\frac{1}{2} μ (v_{1} - v_{2})^{2}

が保存ほぞんする。つまり相対速度そうたいそくどの大おおきさは変かわらない。衝突後しょうとつごは近ちかづく向むきから離はなれる向むきへ変かわるため、相対速度そうたいそくどは符号ふごうだけ反転はんてんする。重心系じゅうしんけいでは 2 速度そくどが運動量うんどうりょう 0 の関係かんけいで結むすばれているため、各速度かくそくども符号ふごうだけ反転はんてんする。

8単位たんいの確認かくにん

$V$ と $v_{i}$ はどちらも

[m / s; L T^{- 1}]

である。換算質量かんさんしつりょう $μ$ は

\frac{m_{1} m_{2}}{m_{1} + m_{2}} : \frac{M^{2}}{M} = M

なので質量しつりょうの単位たんいをもつ。したがって $\frac{1}{2} μ (v_{1} - v_{2})^{2}$ は $[J; M L^{2} T^{- 2}]$ である。

9具体例ぐたいれい：同質量どうしつりょうの弾性衝突だんせいしょうとつ

$m_{1} = m_{2} = m$ とする。衝突前しょうとつまえに $v_{1} = u$ 、 $v_{2} = 0$ なら、

V = \frac{m u + m \cdot 0}{2 m} = \frac{u}{2}

である。重心系じゅうしんけいでは

v_{1^{'}} = \frac{u}{2}, v_{2^{'}} = - \frac{u}{2}

である。弾性衝突だんせいしょうとつでは反転はんてんするので、

v_{1^{'}}_{a f t e r} = - \frac{u}{2}, v_{2^{'}}_{a f t e r} = \frac{u}{2}

である。実験室系じっけんしつけいへ戻もどすために $V = u / 2$ を足たすと、

v_{1}_{a f t e r} = 0, v_{2}_{a f t e r} = u

となる。同質量どうしつりょうの弾性衝突だんせいしょうとつで速度そくどが交換こうかんされる理由りゆうである。

10見分みわけ方かた

2 物体ぶったいの衝突しょうとつで式しきが複雑ふくざつなら、重心系じゅうしんけいへ移うつる。
相対速度そうたいそくどだけが問とわれるなら、座標系ざひょうけいを変かえても値あたいは変かわらない。
運動うんどうエネルギーの損失そんしつは、全体ぜんたいの並進へいしんではなく内部ないぶの相対運動そうたいうんどうから出でる。

11どこまで成立せいりつするか

ここでは 1 次元じげんの 2 物体ぶったい衝突しょうとつを扱あつかった。2 次元じげんでは、接触法線方向せっしょくほうせんほうこうと接線方向せっせんほうこうに分わける。反発係数はんぱつけいすうは通常つうじょう、接触法線方向せっしょくほうせんほうこうの相対速度そうたいそくどに対たいして定義ていぎする。

12最終形さいしゅうけい

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] V = \frac{m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2}}{m_{1} + m_{2}}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] v_{i^{'}} = v_{i} - V, m_{1} v_{1^{'}} + m_{2} v_{2^{'}} = 0

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] K = \frac{1}{2} (m_{1} + m_{2}) V^{2} + \frac{1}{2} μ (v_{1} - v_{2})^{2}

13一言ひとこと

重心系じゅうしんけいでは、衝突しょうとつは全体ぜんたいの移動いどうではなく相対運動そうたいうんどうの変化へんかとして見みえる。