運動量うんどうりょうと力積りきせき

date2026-07-14document_iddoc_da08e5e5f8ca0a203e6329e06ca5164edescription運動方程式を時間で積分し、力積と運動量変化、系全体の運動量保存条件、F-t グラフの読み方を証明付きで整理する講義である。prerequisites運動方程式 / 速度と加速度 / 単位・次元type講義statusactive

physicsmechanicsmomentumimpulselecture

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、短時間たんじかんの相互作用そうごさようでは、力ちからの瞬間値しゅんかんちよりも時間じかんで積分せきぶんした効果こうかを力積りきせきとして評価ひょうかする方法ほうほうを説明せつめいする。

衝突しょうとつや打撃だげきでは、力ちからが大おおきく変化へんかし、最大値さいだいちを知しっても運動うんどうの変化へんかは決きまらない。決きめるのは

\int \vec{F} d t

であり、これが力積りきせきimpulseである。

2用語ようごと定義ていぎ

運動量うんどうりょうmomentumは

\vec{p} = m \vec{v}

で定義ていぎする。速度そくどがベクトルなので、運動量うんどうりょうもベクトルである。

力積りきせきimpulseは

\vec{I} = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \vec{F} d t

で定義ていぎする。力ちからが一定いっていなら

\vec{I} = \vec{F} Δ t

である。

平均力へいきんりょくaverage forceは、同おなじ力積りきせきを同おなじ時間じかんで与あたえる一定いっていの力ちからである。

\vec{F_{a v g}} Δ t = \vec{I}

3方針ほうしん

力積りきせきを使つかう理由りゆうは、運動方程式うんどうほうていしきを時間じかんで積分せきぶんすると、運動量うんどうりょうの変化へんかが直接ちょくせつ得えられるからである。

1 物体ぶったいだけを見みるなら、合力ごうりょくの力積りきせきがその物体ぶったいの運動量うんどうりょうを変かえる。複数ふくすう物体ぶったいを一ひとつの系けいとして見みるなら、内力ないりょくは打うち消けし合あい、外力がいりょくの力積りきせきだけが全運動量ぜんうんどうりょうを変かえる。

4整理せいり 1：力積りきせきと運動量うんどうりょう

慣性系かんせいけいで質量しつりょうが一定いっていの物体ぶったいについて、

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] \vec{I_{n e t}} = Δ \vec{p}

が成立せいりつする。

4.1証明しょうめい

運動方程式うんどうほうていしきは

\vec{F_{n e t}} = m \frac{d \vec{v}}{d t}

である。質量しつりょうが一定いっていなので

m \frac{d \vec{v}}{d t} = \frac{d (m \vec{v})}{d t} = \frac{d \vec{p}}{d t}

と書かける。したがって

\vec{F_{n e t}} = \frac{d \vec{p}}{d t}

である。 $t_{1}$ から $t_{2}$ まで積分せきぶんすると

\int_{t_{1}}^{t_{2}} \vec{F_{n e t}} d t = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \frac{d \vec{p}}{d t} d t = \vec{p} (t_{2}) - \vec{p} (t_{1})

である。左辺さへんは合力ごうりょくの力積りきせきなので、 $\vec{I_{n e t}} = Δ \vec{p}$ を得える。

5整理せいり 2：系けい全体ぜんたいの運動量うんどうりょう

複数ふくすう物体ぶったいからなる系けいの全運動量ぜんうんどうりょうを

\vec{P} = \sum_{i} \vec{p_{i}}

とする。このとき

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] Δ \vec{P} = \vec{I_{e x t}}

が成立せいりつする。外力がいりょくの力積りきせきが $0$ なら、 $\vec{P}$ は保存ほぞんする。

5.1証明しょうめい

$i$ 番目ばんめの物体ぶったいについて

\frac{d \vec{p_{i}}}{d t} = \vec{F_{i^{e x t}}} + \vec{F_{i^{i n t}}}

と書かく。全すべての $i$ で足たすと

\frac{d}{d t} \sum_{i} \vec{p_{i}} = \sum_{i} \vec{F_{i^{e x t}}} + \sum_{i} \vec{F_{i^{i n t}}}

である。内力ないりょくは作用反作用さようはんさようの対ついとして同おなじ大おおきさで逆向ぎゃくむきに現あらわれるため、

\sum_{i} \vec{F_{i^{i n t}}} = \vec{0}

となる。したがって

\frac{d \vec{P}}{d t} = \vec{F_{{e x t}^{t o t}}}

であり、時間じかんで積分せきぶんして

Δ \vec{P} = \int \vec{F_{{e x t}^{t o t}}} d t = \vec{I_{e x t}}

を得える。

6単位たんいの確認かくにん

運動量うんどうりょうは

m [k g; M] \times v [m / s; L T^{- 1}] \Rightarrow p [k g m / s; M L T^{- 1}]

である。力積りきせきは

F [N; M L T^{- 2}] \times Δ t [s; T] \Rightarrow I [N s; M L T^{- 1}]

である。 $[N s] = [k g m / s]$ なので、 $\vec{I} = Δ \vec{p}$ は単位たんいでも整合せいごうする。

7 $F - t$ グラフの読よみ方かた

$F - t$ グラフでは、面積めんせきが力積りきせきである。

I = \int F d t

三角形さんかくけいのグラフで最大値さいだいちが $F_{\max}$ 、時間幅じかんはばが $Δ t$ なら

I = \frac{1}{2} F_{\max} Δ t

である。平均力へいきんりょくは

F_{a v g} = \frac{I}{Δ t}

で決きまる。最大力さいだいりょくと平均力へいきんりょくを混同こんどうしてはならない。

8具体例ぐたいれい：壁かべで跳はね返かえるボール

右向みぎむきを正せいとする。質量しつりょう $0.20 [k g; M]$ のボールが $5.0 [m / s; L T^{- 1}]$ で壁かべへ向むかい、衝突後しょうとつごに $- 3.0 [m / s; L T^{- 1}]$ で戻もどる。

p_{i} = 0.20 \times 5.0 = 1.0 [k g m / s; M L T^{- 1}]

p_{f} = 0.20 \times (- 3.0) = - 0.60 [k g m / s; M L T^{- 1}]

したがって

I = Δ p = - 1.6 [N s; M L T^{- 1}]

である。負ふの符号ふごうは、ボールが左向ひだりむきの力積りきせきを受うけたことを表あらわす。

9見分みわけ方かた

1 物体ぶったいの運動量変化うんどうりょうへんかを問とうなら、 $\vec{I} = Δ \vec{p}$ を使つかう。
衝突しょうとつや分裂ぶんれつで系けい全体ぜんたいを扱あつかうなら、外力がいりょくの力積りきせきを確認かくにんする。
外力がいりょくの力積りきせきが無視むしできる短時間たんじかんなら、全運動量ぜんうんどうりょうを保存ほぞんさせる。
力ちからのグラフが与あたえられたら、 $F - t$ では面積めんせき、 $p - t$ では傾かたむきを読よむ。

10どこまで成立せいりつするか

$\vec{I} = Δ \vec{p}$ は慣性系かんせいけいで成立せいりつする。系けい全体ぜんたいの運動量保存うんどうりょうほぞんは、外力がいりょくそのものが 0 でなくても、外力がいりょくの力積りきせきが無視むしできれば近似的きんじてきに使つかえる。長時間ちょうじかんの接触せっしょくや摩擦まさつを受うける運動うんどうでは、この確認かくにんを省はぶけない。

11最終形さいしゅうけい

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] \vec{p} = m \vec{v}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] \vec{I} = \int \vec{F} d t = Δ \vec{p}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] Δ \vec{P} = \vec{I_{e x t}}

12一言ひとことでいうと

力積りきせきは力ちからを時間じかんで足たし合あわせた量りょうであり、運動量うんどうりょうをどれだけ変かえたかを表あらわす。