慣性かんせいモーメントの基本きほん

date2026-07-14document_iddoc_106c66d5b808d6ba19fcbc5983fe6694description慣性モーメントを回転運動における質量の役割として定義し、回転エネルギー、固定軸の運動方程式、平行軸の定理を証明する講義である。prerequisites回転運動の基本 / 仕事と力学的エネルギー / 単位・次元type講義statusactive

physicsmechanicsmoment-of-inertiarigid-bodylecture

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、回転かいてんでは質量しつりょうそのものだけでなく、質量しつりょうが軸じくからどれだけ離はなれているかが効きくという性質せいしつを説明せつめいする。

直線運動ちょくせんうんどうでは、質量しつりょう $m$ が加速かそくしにくさを表あらわす。固定軸こていじくまわりの回転かいてんでは、軸じくから距離きょり $r$ にある質量しつりょうは $v = r ω$ で動うごくため、運動うんどうエネルギーに $r^{2}$ が現あらわれる。これが慣性かんせいモーメントの出発点しゅっぱつてんである。

2用語ようごと定義ていぎ

慣性かんせいモーメントmoment of inertia $I$ とは、固定軸こていじくから距離きょり $r_{i}$ にある質点しつてん $m_{i}$ について

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] I = \sum_{i} m_{i} r_{i^{2}}

で定義ていぎする量りょうである。連続体れんぞくたいでは

I = \int r^{2} d m

と書かく。

回転かいてんエネルギーrotational kinetic energyとは、固定軸こていじくまわりに角速度かくそくど $ω$ で回転かいてんする剛体ごうたいの運動うんどうエネルギーである。

平行軸へいこうじくの定理ていりparallel-axis theoremとは、重心じゅうしんを通とおる軸じくまわりの慣性かんせいモーメントを $I_{G}$ 、それと平行へいこうで距離きょり $d$ だけ離はなれた軸じくまわりの慣性かんせいモーメントを $I$ とすると、

I = I_{G} + M d^{2}

が成立せいりつするという定理ていりである。

3方針ほうしん

慣性かんせいモーメントを覚おぼえるだけではなく、なぜ $r^{2}$ が出でるかを見みる。

各質点かくしつてんの速はやさを $v_{i} = r_{i} ω$ と書かく。
$\sum \frac{1}{2} m_{i} v_{i^{2}}$ に代入だいにゅうする。
$ω^{2}$ の係数けいすうとして $I = \sum m_{i} r_{i^{2}}$ が現あらわれる。
力ちからのモーメントと角加速度かくかそくどの関係かんけいも、同おなじ $I$ で書かける。

4関係式かんけいしき 1：回転かいてんエネルギー

固定軸こていじくまわりに角速度かくそくど $ω$ で回転かいてんする剛体ごうたいの運動うんどうエネルギーは

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] K_{r o t} = \frac{1}{2} I ω^{2}

である。

4.1証明しょうめい

剛体ごうたいを多数たすうの質点しつてん $m_{i}$ に分わける。固定軸こていじくからの距離きょりを $r_{i}$ とすると、回転運動かいてんうんどうの基本きほんより

v_{i} = r_{i} ω

である。全運動ぜんうんどうエネルギーは

K = \sum_{i} \frac{1}{2} m_{i} v_{i^{2}} = \sum_{i} \frac{1}{2} m_{i} (r_{i} ω)^{2} = \frac{1}{2} (\sum_{i} m_{i} r_{i^{2}}) ω^{2}

である。括弧かっこの中なかを $I$ と定義ていぎしたので、

K_{r o t} = \frac{1}{2} I ω^{2}

を得える。

5方程式ほうていしき 2：固定軸こていじくまわりの運動方程式うんどうほうていしき

慣性系かんせいけいに固定こていされた軸じくまわりに剛体ごうたいが回転かいてんし、その軸方向じくほうこうの成分せいぶんだけを考かんがえる。外力がいりょくのモーメントの和わを $\sum τ_{e x t}$ とすると、

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] \sum τ_{e x t} = I α

が成立せいりつする。

5.1証明しょうめい

軸じくから距離きょり $r_{i}$ にある質点しつてん $m_{i}$ を考かんがえる。接線方向せっせんほうこうの加速度かそくどは

a_{t, i} = r_{i} α

である。したがって接線方向せっせんほうこうの力ちからは

F_{t, i} = m_{i} r_{i} α

である。この力ちからが軸じくまわりに作つくるモーメントは

τ_{i} = r_{i} F_{t, i} = m_{i} r_{i^{2}} α

である。全体ぜんたいで足たすと

\sum τ_{i} = (\sum_{i} m_{i} r_{i^{2}}) α = I α

を得える。この和わには、各質点かくしつてんに働はたらく外力がいりょくと内部力ないぶりょくの接線方向成分せっせんほうこうせいぶんが含ふくまれる。剛体ごうたいの内部力ないぶりょくは作用反作用さようはんさようの対ついとして現あらわれ、全体ぜんたいの角運動量かくうんどうりょうを変かえる外力がいりょくのモーメントにはならない。また、固定軸こていじくが与あたえる拘束力こうそくりょくは軸上じくじょうで働はたらくので、その軸じくまわりのモーメントは 0 である。したがって軸方向じくほうこうの外力がいりょくモーメントだけを残のこして

\sum τ_{e x t} = I α

を得える。

6定理ていり 3：平行軸へいこうじくの定理ていり

質量しつりょう $M$ の剛体ごうたいについて、重心じゅうしんを通とおる軸じくまわりの慣性かんせいモーメントを $I_{G}$ とする。同おなじ向むきで距離きょり $d$ だけ離はなれた平行軸へいこうじくまわりの慣性かんせいモーメントは

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] I = I_{G} + M d^{2}

である。

6.1証明しょうめい

重心じゅうしんを原点げんてんとする平面内へいめんないの位置いちを $\vec{ρ_{i}}$ とし、新あたらしい軸じくが重心軸じゅうしんじくから $\vec{d}$ だけ離はなれているとする。新あたらしい軸じくからの垂直距離すいちょくきょりの二乗にじょうは $| \vec{ρ_{i}} - \vec{d} |^{2}$ である。したがって

I = \sum_{i} m_{i} | \vec{ρ_{i}} - \vec{d} |^{2}

である。展開てんかいすると

I = \sum_{i} m_{i} | \vec{ρ_{i}} |^{2} - 2 \vec{d} \cdot \sum_{i} m_{i} \vec{ρ_{i}} + | \vec{d} |^{2} \sum_{i} m_{i}

となる。重心じゅうしんを原点げんてんに取とったので

\sum_{i} m_{i} \vec{ρ_{i}} = \vec{0}

である。また $\sum_{i} m_{i} = M$ である。よって

I = I_{G} + M d^{2}

を得える。

7単位たんいの確認かくにん

$I$ の単位たんいは

m r^{2} : [k g; M] [m^{2}; L^{2}] = [k g m^{2}; M L^{2}]

である。回転かいてんエネルギーでは

I ω^{2} : [k g m^{2}; M L^{2}] [1 / s^{2}; T^{- 2}] = [J; M L^{2} T^{- 2}]

となる。

8具体例ぐたいれい：固定軸こていじくまわりに回転かいてんする円盤えんばん

質量しつりょう $M$ 、半径はんけい $R$ の一様円盤いちようえんばんが中心軸ちゅうしんじくまわりに角速度かくそくど $ω$ で回転かいてんする。中心軸ちゅうしんじくまわりの慣性かんせいモーメントは

I = \frac{1}{2} M R^{2}

である。したがって回転かいてんエネルギーは

K_{r o t} = \frac{1}{2} I ω^{2} = \frac{1}{4} M R^{2} ω^{2}

である。質量しつりょうが同おなじでも、半径はんけいが大おおきいほど軸じくから遠とおい質量しつりょうが増ふえるため、同おなじ $ω$ でも回転かいてんエネルギーは大おおきくなる。

9見分みわけ方かた

物体ぶったいが広ひろがって回転かいてんするなら、 $I$ を確認かくにんする。
軸じくが変かわれば $I$ も変かわる。
重心じゅうしんからずれた軸じくなら、平行軸へいこうじくの定理ていりを使つかう。
固定軸こていじくなら $K_{r o t} = \frac{1}{2} I ω^{2}$ を使つかう。

10どこまで成立せいりつするか

$I = \sum m_{i} r_{i^{2}}$ は軸じくを指定していしてはじめて意味いみをもつ。一般いっぱんの 3 次元じげん回転かいてんでは、慣性かんせいモーメントは 1 個この数かずではなく慣性かんせいテンソルになる。この講義こうぎでは固定軸こていじくまたは対称軸たいしょうじくまわりの回転かいてんを扱あつかう。

11最終形さいしゅうけい

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] I = \sum_{i} m_{i} r_{i^{2}}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] K_{r o t} = \frac{1}{2} I ω^{2}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] \sum τ_{e x t} = I α

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] I = I_{G} + M d^{2}

12一言ひとこと

慣性かんせいモーメントは、回転かいてんにとっての質量しつりょうである。ただし、軸じくから遠とおい質量しつりょうほど $r^{2}$ で強つよく効きく。