力ちからの釣つり合あいと運動うんどうの法則ほうそく

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、力ちからの釣つり合あいを独立どくりつした公式こうしきとして覚おぼえるのではなく、運動方程式うんどうほうていしきで加速度かそくどが 0 になった場合ばあいとして解説かいせつする。

静止せいししている物体ぶったいだけでなく、等速直線運動とうそくちょくせんうんどうしている物体ぶったいも加速度かそくどは 0 である。したがって最初さいしょに見分みわけるべきことは、「動うごいているか」ではなく、「速度そくどが変化へんかしているか」である。

2用語ようごと定義ていぎ

合力ごうりょくnet forceとは、選えらんだ物体ぶったいに作用さようする外力がいりょくのベクトル和わvector sumである。

釣つり合あいequilibriumとは、合力ごうりょくが零ぜろである状態じょうたいである。

運動方程式うんどうほうていしきequation of motionは、慣性系かんせいけいで質量しつりょうが一定いっていの物体ぶったいに対たいして

と書かく。力ちからは $F[\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$F\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}]、質量しつりょうは $m[\mathrm{k}\mathrm{g};\mathsf{M}]$m\ [\mathrm{kg};\ \mathsf{M}]、加速度かそくどは $a[\mathrm{m}/s^2;\mathsf{L}{T}^{-2}]$a\ [\mathrm{m/s^2};\ \mathsf{LT^{-2}}] である。

3方針ほうしん

力ちからの問題もんだいでは、次つぎの順序じゅんじょで判断はんだんする。

1. 対象たいしょうを固定こていし、自由体図じゆうたいずを作成さくせいする。
2. 正方向せいほうこうを設定せっていする。
3. 各方向かくほうこうで加速度かそくどが 0 かどうかを確認かくにんする。
4. $a=0$a=0 なら $\sum F=0$\sum F=0、$a\ne 0$a\ne0 なら $\sum F=ma$\sum F=ma を使つかう。

この順序じゅんじょを守まもる理由りゆうは、力ちからの候補こうほと加速度かそくどの向むきを別々べつべつに決きめるためである。速度そくどの向むきだけでは、加速度かそくどの向むきは決きまらない。

4直感的ちょっかんてきな説明せつめい

合力ごうりょくは、速度そくどそのものではなく速度そくどの変化へんかを決きめる。物体ぶったいが右みぎへ進すすんでいても、右向みぎむきの合力ごうりょくがあるとは限かぎらない。右みぎへ等速とうそくで進すすんでいるなら、合力ごうりょくは 0 である。

釣つり合あいは「止とまっていること」ではなく、「速度そくどが変かわらないこと」である。この見方みかたを採とると、静止せいしと等速直線運動とうそくちょくせんうんどうを同おなじ式しきで扱あつかえる。

5厳密げんみつな説明せつめい

6具体例ぐたいれい 1：水平面上すいへいめんじょうで静止せいしする物体ぶったい

質量しつりょう $m[\mathrm{k}\mathrm{g};\mathsf{M}]$m\ [\mathrm{kg};\ \mathsf{M}] の物体ぶったいが水平面すいへいめんで静止せいししている。鉛直上向えんちょくうわむきを正せいとする。

自由体図じゆうたいずには、上向うわむきの垂直抗力すいちょくこうりょく $N[\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$N\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}] と、下向したむきの重力じゅうりょく $mg[\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$mg\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}] を入いれる。鉛直方向えんちょくほうこうの加速度かそくどは 0 なので

である。よって

を得える。

ここで $N=mg$N=mg は、垂直抗力すいちょくこうりょくと重力じゅうりょくが作用反作用さようはんさようだからではない。同おなじ物体ぶったいに作用さようする 2 つの力ちからが、加速度かそくど 0 の条件じょうけんで釣つり合あっているからである。

7具体例ぐたいれい 2：エレベーター内ないの見みかけの重おもさ

質量しつりょう $m$m の物体ぶったいが、上向うわむき加速度かそくど $a$a のエレベーター内ないで床ゆかから垂直抗力すいちょくこうりょく $N$N を受うける。上向うわむきを正せいとすると

である。したがって

を得える。体重計たいじゅうけいが示しめすのは重力じゅうりょく $mg$mg ではなく、床ゆかからの垂直抗力すいちょくこうりょく $N$N である。上向うわむきに加速かそくすると $N$N が大おおきくなるため、重おもく感かんじる。

8作用反作用さようはんさようと釣つり合あいの区別くべつ

重力じゅうりょくと垂直抗力すいちょくこうりょくは同おなじ物体ぶったいに作用さようするため、作用反作用さようはんさようの対ついではない。

9見分みわけ方かた

• 静止せいし、等速とうそく、支ささえる、吊つり下さげる、という語ごがあれば、まず $a=0$a=0 を疑うたがう。
• 加速かそく、減速げんそく、動うごき出だす、という語ごがあれば、$\sum F=ma$\sum F=ma を立式りっしきする。
• 速度そくどが一定いっていなら、物体ぶったいが動うごいていても釣つり合あいである。
• 作用反作用さようはんさようか釣つり合あいかで迷まよったら、「2 つの力ちからが同おなじ物体ぶったいに作用さようしているか」を確認かくにんする。

10どこまで成立せいりつするか

この講義こうぎの式しきは慣性系かんせいけいで成立せいりつする。加速かそくする乗のり物ものや回転かいてんする座標系ざひょうけいでは、慣性力かんせいりょくを導入どうにゅうしないと同おなじ形かたちで扱あつかえない。また、質量しつりょうが変化へんかする系けいでは、$\sum \overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}$\sum\vec F=m\vec a ではなく運動量うんどうりょうの時間変化じかんへんかから考かんがえる。

11最終形さいしゅうけい

12一言ひとことでいうと

釣つり合あいは、運動方程式うんどうほうていしきで加速度かそくどが 0 になった場合ばあいであり、静止せいしだけでなく等速直線運動とうそくちょくせんうんどうにも現あらわれる。

13演習えんしゅうリンク

14関連かんれんリンク