直線運動ちょくせんうんどうと落下運動らっかうんどう

date2026-07-14document_iddoc_d136c09475f955ca2e09d75c1530935ddescription位置・速度・加速度を微分積分と微分方程式の三段構造で結び、等加速度直線運動と落下運動の公式を導出して使い分ける講義である。prerequisites運動方程式 / 単位・次元 / 微分と積分の基本 / 微分方程式とは何かtype講義statusactive

physicsmechanicskinematicsfree-falllecture

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、位置いちposition、速度そくどvelocity、加速度かそくどaccelerationを別々べつべつの公式こうしきとして覚おぼえるのではなく、微分びぶんと積分せきぶんで結むすばれた三段構造さんだんこうぞうとして読よむことについて説明せつめいする。

等加速度直線運動とうかそくどちょくせんうんどうの公式こうしき

v = v_{0} + a t, x = x_{0} + v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}, v^{2} - v_{0^{2}} = 2 a (x - x_{0})

は暗記あんきする対象たいしょうではなく、 $a = const$ という仮定かていから導出どうしゅつされる結果けっかである。落下運動らっかうんどうでは、重力加速度じゅうりょくかそくど $g [m / s^{2}; L T^{- 2}]$ の符号ふごうを暗記あんきするのではなく、正方向せいほうこうを先さきに決きめ、その軸じくに従したがって $a = \pm g$ と置おく。

2用語ようごと定義ていぎ

位置いちposition $x (t) [m; L]$ は、時刻じこく $t [s; T]$ に物体ぶったいがどこにあるかを表あらわす。

速度そくどvelocity $v (t) [m / s; L T^{- 1}]$ は、位置いちの時間変化率じかんへんかりつである。

v (t) = \frac{d x}{d t}

加速度かそくどacceleration $a (t) [m / s^{2}; L T^{- 2}]$ は、速度そくどの時間変化率じかんへんかりつである。

a (t) = \frac{d v}{d t}

速はやさspeedは速度そくどの大おおきさ $| v |$ である。速度そくどは向むきを含ふくむが、速はやさは大おおきさだけを表あらわす。

3方針ほうしん

直線運動ちょくせんうんどうでは、次つぎの順序じゅんじょで考かんがえる。

正方向せいほうこうと原点げんてんを設定せっていする。
加速度かそくど $a$ を符号ふごうつきで決きめる。
$a = [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dfrac\")")] d v d t$ から速度そくどを求もとめる。
$v = [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dfrac\")")] d x d t$ から位置いちを求もとめる。
時間じかんが不要ふようなら、 $t$ を消去しょうきょする。

この順序じゅんじょにする理由りゆうは、落下らっかの符号ふごうや初期条件しょきじょうけんの扱あつかいが、すべて軸じくの設定せっていに依存いぞんするからである。

ここで $a = d v / d t$ 、 $v = d x / d t$ は、未知関数みちかんすう $x (t)$ を決きめる微分方程式びぶんほうていしきである。 $a = const$ の場合ばあいは直接積分ちょくせつせきぶんで公式こうしきに落おちるが、抵抗力ていこうりょくが $v$ に依存いぞんする場合ばあいは変数分離へんすうぶんりなどの微分方程式びぶんほうていしきの道具どうぐが必要ひつようになる。

data/lecture/math/differential-equations/introduction-to-differential-equations.lecture.n.md

4直感的ちょっかんてきな説明せつめい

位置いち、速度そくど、加速度かそくどは、運動うんどうを三みっつの解像度かいぞうどで見みたものである。位置いちは「どこにいるか」、速度そくどは「どちらへどれだけ速はやく移動いどうしているか」、加速度かそくどは「速度そくどがどのように変かわるか」である。

落下らっかでは、物体ぶったいが上うえへ進すすんでいる最中さいちゅうでも、加速度かそくどは下向したむきである。速度そくどの向むきと加速度かそくどの向むきは一致いっちしなくてよい。最高点さいこうてんでは速度そくどが $0$ になるが、重力じゅうりょくが作用さようしているため加速度かそくどは $0$ ではない。

5厳密げんみつな説明せつめい

5.1等加速度運動とうかそくどうんどうの導出どうしゅつ

加速度かそくどが一定いっていであると仮定かていする。

a (t) = a = const

$a = [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dfrac\")")] d v d t$ なので、両辺りょうへんを時刻じこく $0$ から $t$ まで積分せきぶんする。

\int_{0}^{t} \frac{d v}{d t} d t = \int_{0}^{t} a d t

左辺さへんは $v (t) - v_{0}$ 、右辺うへんは $a t$ である。したがって

v (t) = v_{0} + a t

を得える。

次つぎに $v = [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dfrac\")")] d x d t$ であるから、

\int_{0}^{t} \frac{d x}{d t} d t = \int_{0}^{t} (v_{0} + a τ) d τ

である。積分変数せきぶんへんすうを $τ$ と書かいたのは、上限じょうげんの $t$ と区別くべつするためである。よって

x (t) - x_{0} = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

であり、

x (t) = x_{0} + v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

を得える。

5.2時間じかんを消去しょうきょした式しき

速度そくどの式しきから

t = \frac{v - v_{0}}{a}

と書かける。ただし、この変形へんけいでは $a \neq 0$ を仮定かていしている。これを位置いちの式しきへ代入だいにゅうして整理せいりすると、

x - x_{0} = v_{0} \frac{v - v_{0}}{a} + \frac{1}{2} a {(\frac{v - v_{0}}{a})}^{2}

である。両辺りょうへんに $2 a$ を掛かけると

2 a (x - x_{0}) = 2 v_{0} (v - v_{0}) + (v - v_{0})^{2}

右辺うへんを展開てんかいして整理せいりすると

2 a (x - x_{0}) = v^{2} - v_{0^{2}}

を得える。したがって

v^{2} - v_{0^{2}} = 2 a (x - x_{0})

である。 $a = 0$ の場合ばあいは、速度そくどの式しき $v = v_{0} + a t$ から $v = v_{0}$ である。したがって左辺さへんは $v^{2} - v_{0^{2}} = 0$ であり、一方いっぽうで右辺うへんも $2 a (x - x_{0}) = 0$ である。よって $a = 0$ の場合ばあいにも同おなじ式しきが成立せいりつする。

6単位たんいの確認かくにん

位置いちの式しき

x = x_{0} + v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

では、各項かくこうが長ながさの単位たんいをもつ。

v_{0} [m / s; L T^{- 1}] \times t [s; T] \Rightarrow v_{0} t [m; L]

a [m / s^{2}; L T^{- 2}] \times t^{2} [s^{2}; T^{2}] \Rightarrow a t^{2} [m; L]

速度そくどの式しきでも、 $v_{0}$ と $a t$ はどちらも $m / s$ の単位たんいである。

7具体例ぐたいれい 1：自由落下じゆうらっか

上向うわむきを正せいとし、高たかさ $y_{0}$ から初速度しょそくど $0$ で落下らっかする物体ぶったいを考かんがえる。空気抵抗くうきていこうを無視むしし、地表付近ちひょうふきんで $g$ を一定いっていとする。

上向うわむきが正せいなので

a = - g

である。したがって

v = - g t

y = y_{0} - \frac{1}{2} g t^{2}

を得える。

8具体例ぐたいれい 2：鉛直投えんちょくなげ上あげ

上向うわむきを正せい、初速度しょそくどを $v_{0} > 0$ とする。加速度かそくどは常つねに $a = - g$ であるから

v = v_{0} - g t

y = y_{0} + v_{0} t - \frac{1}{2} g t^{2}

である。最高点さいこうてんでは速度そくどが $0$ なので、

0 = v_{0} - g t

から

t = \frac{v_{0}}{g}

を得える。最高点さいこうてんで加速度かそくどが $0$ になるわけではない。速度そくどが一瞬いっしゅん $0$ になっても、重力じゅうりょくは下向したむきに作用さようしている。

9式しきの選択せんたく

分わかっているもの	求もとめたいもの	使つかいやすい式しき
時間じかん $t$	速度そくど $v$	$v = v_{0} + a t$
時間じかん $t$	位置いち $x$	$x = x_{0} + v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$
変位へんい $x - x_{0}$	速度そくど $v$	$v^{2} - v_{0^{2}} = 2 a (x - x_{0})$
最高点さいこうてん	時刻じこく・高たかさ	まず $v = 0$
2 物体ぶったいの追おいつき	時刻じこく	$x_{A} = x_{B}$

10見分みわけ方かた

落下らっかの問題もんだいでは、最初さいしょに上向うわむき正せいか下向したむき正せいかを決きめる。
速度そくどを問とわれたら符号ふごうを含ふくめ、速はやさを問とわれたら大おおきさを答こたえる。
時間じかんが不要ふようなら、 $v^{2} - v_{0^{2}} = 2 a (x - x_{0})$ を優先ゆうせんする。
最高点さいこうてん・折返おりかえし点てんでは $v = 0$ を使つかう。ただし $a = 0$ とは限かぎらない。

11どこまで成立せいりつするか

三公式さんこうしきは $a = const$ の場合ばあいに成立せいりつする。空気抵抗くうきていこうが無視むしできない落下らっかでは、速度そくどに依存いぞんする抵抗力ていこうりょくが作用さようし、加速度かそくどは一定いっていでなくなる。その場合ばあいは運動方程式うんどうほうていしきを立たて直なおして微分方程式びぶんほうていしきとして扱あつかう。

12最終形さいしゅうけい

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] v = \frac{d x}{d t}, a = \frac{d v}{d t}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] a = const \Rightarrow v = v_{0} + a t

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] x = x_{0} + v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] v^{2} - v_{0^{2}} = 2 a (x - x_{0})

13一言ひとことでいうと

等加速度運動とうかそくどうんどうの公式こうしきは、加速度かそくどから速度そくど、速度そくどから位置いちへ積分せきぶんすることで得えられる。

14演習えんしゅうリンク

data/exercise/physics/mechanics/linear-motion-and-free-fall.exercise.n.md

直線運動ちょくせんうんどうと落下運動らっかうんどう

1導入どうにゅう

2用語ようごと定義ていぎ

3方針ほうしん

4直感的ちょっかんてきな説明せつめい

5厳密げんみつな説明せつめい

5.1等加速度運動とうかそくどうんどうの導出どうしゅつ

5.2時間じかんを消去しょうきょした式しき

6単位たんいの確認かくにん

7具体例ぐたいれい 1：自由落下じゆうらっか

8具体例ぐたいれい 2：鉛直投えんちょくなげ上あげ

9式しきの選択せんたく

10見分みわけ方かた

11どこまで成立せいりつするか

12最終形さいしゅうけい

13一言ひとことでいうと

14演習えんしゅうリンク

15関連かんれんリンク