力学りきがくポータル

date2026-07-14document_iddoc_eebf6894125584af2be053de682728b1description力学を、自由体図・運動方程式・仕事とエネルギー・運動量・回転のどの見方で読むかを選ぶための入口である。prerequisites単位・次元 / 自由体図 / ベクトルの基本type講義statusactive

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1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、力学りきがくmechanicsを公式こうしきの集合しゅうごうとしてではなく、目的もくてきに応おうじて記述量きじゅつりょうを選えらぶ体系たいけいとして解説かいせつする。

途中とちゅうの加速度かそくどや張力ちょうりょくを知しりたいなら、自由体図じゆうたいずfree-body diagramと運動方程式うんどうほうていしきを使つかう。始点してんと終点しゅうてんの速はやさだけを結むすびたいなら、仕事しごととエネルギーenergyを使つかう。衝突しょうとつの前後ぜんごなら運動量うんどうりょうmomentumを見みる。回転かいてんを含ふくむならトルクtorqueと角運動量かくうんどうりょうangular momentumへ視点してんを移うつす。

2用語ようごと定義ていぎ

質点しつてんparticleとは、大おおきさを無視むしし、質量しつりょうが 1 点てんに集中しゅうちゅうしていると見みなしたモデルmodelである。直線運動ちょくせんうんどうや衝突しょうとつの入口いりぐちでは、まず質点しつてんとして扱あつかう。

剛体ごうたいrigid bodyとは、変形へんけいを無視むしし、物体ぶったいの各点かくてんの距離きょりが変かわらないと見みなした物体ぶったいである。回転かいてんや釣つり合あいを扱あつかうときに使つかう。

系けいsystemとは、考察こうさつの対象たいしょうとして選えらぶ物体ぶったいの集あつまりである。系けいを変かえると、内力ないりょくと外力がいりょくの区別くべつが変かわる。

3方針ほうしん

力学りきがくの問題もんだいでは、最初さいしょに次つぎの表ひょうで方針ほうしんを選えらぶ。

求もとめたいもの	見みる量りょう	進すすむページ
加速度かそくど・張力ちょうりょく・垂直抗力すいちょくこうりょく	力ちからと運動方程式うんどうほうていしき	力ちからの釣つり合あいと運動うんどうの法則ほうそく
時刻じこくごとの位置いち・速度そくど	運動学うんどうがくの三段構造さんだんこうぞう	直線運動ちょくせんうんどうと落下運動らっかうんどう
始点してん・終点しゅうてんの速はやさ	仕事しごととエネルギー	仕事しごとと力学的りきがくてきエネルギー
衝突前後しょうとつぜんごの速度そくど	運動量うんどうりょうと力積りきせき	運動量うんどうりょうと力積りきせき
棒ぼう・回転かいてん・転ころがり	トルクtorqueと角運動量かくうんどうりょう	回転運動かいてんうんどうの基本きほん

この選択せんたくは固定こていではない。複合問題ふくごうもんだいでは、場面ばめんごとに方針ほうしんを切きり替かえる。

4直感的ちょっかんてきな説明せつめい

力学りきがくでは、同おなじ現象げんしょうを複数ふくすうの見方みかたで読よめる。斜面しゃめんを滑すべる物体ぶったいの加速度かそくどを知しりたいなら力ちからを分解ぶんかいする。斜面しゃめんの下したでの速はやさだけが必要ひつようなら、重力じゅうりょくの仕事しごとと運動うんどうエネルギーを比較ひかくするほうが短みじかい。

つまり重要じゅうようなのは、どの法則ほうそくを知しっているかではなく、どの量りょうを保存ほぞんまたは変化へんかとして追跡ついせきすると問題もんだいが短みじかくなるかについて説明せつめいする。

5読書どくしょルート

6厳密げんみつな説明せつめい：法則ほうそくの関係かんけい

ここでは保存則ほぞんそくを未定義みていぎの公式こうしきとして使つかわないため、仮定かていと量りょうを先さきに置おく。慣性系かんせいけいで質量しつりょう $m$ が一定いっていの質点しつてんを考かんがえ、 $\sum \vec{F}$ は自由体図じゆうたいずで列挙れっきょした外力がいりょくの合力ごうりょくとする。力学りきがくの中心ちゅうしんにある式しきは

\sum \vec{F} = m \vec{a}

である。

運動量うんどうりょうmomentumを

\vec{p} = m \vec{v}

で定義ていぎし、力積りきせきimpulseを

\vec{J} = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \sum \vec{F} d t

で定義ていぎする。 $\vec{a} = d \vec{v} / d t$ だから

\sum \vec{F} = m \frac{d \vec{v}}{d t} = \frac{d \vec{p}}{d t}

である。したがって時間じかんで積分せきぶんすると

\vec{J} = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \sum \vec{F} d t = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \frac{d \vec{p}}{d t} d t = \vec{p_{2}} - \vec{p_{1}}

を得える。これが力積りきせきと運動量うんどうりょうの関係かんけいである。

また、運動うんどうエネルギーkinetic energyを

K = \frac{1}{2} m | \vec{v} |^{2}

で定義ていぎし、仕事しごとworkを

W = \int_{\vec{r_{1}}}^{\vec{r_{2}}} \sum \vec{F} \cdot d \vec{r}

で定義ていぎする。両辺りょうへんに速度そくど $\vec{v} = d \vec{r} / d t$ を内積ないせきすると、

\sum \vec{F} \cdot \vec{v} = m \frac{d \vec{v}}{d t} \cdot \vec{v} = \frac{d}{d t} (\frac{1}{2} m | \vec{v} |^{2}) = \frac{d K}{d t}

である。よって時間じかんで積分せきぶんすれば

W = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \sum \vec{F} \cdot \vec{v} d t = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \frac{d K}{d t} d t = K_{2} - K_{1}

を得える。これが仕事しごとと運動うんどうエネルギーの関係かんけいである。

したがって、仕事しごと・エネルギー・運動量うんどうりょうは、運動方程式うんどうほうていしきと無関係むかんけいな別公式べつこうしきではない。同おなじ合力ごうりょくの式しきを、変位へんいで積分せきぶんするか、時間じかんで積分せきぶんするかの違ちがいである。

7見分みわけ方かた

途中とちゅうの力ちからや加速度かそくどを問とわれたら、運動方程式うんどうほうていしきを選えらぶ。
始点してんと終点しゅうてんの高たかさ・速はやさが中心ちゅうしんなら、エネルギーを選えらぶ。
短時間たんじかんの衝突しょうとつなら、力ちからそのものより力積りきせきを選えらぶ。
回転軸かいてんじくや支点してんが重要じゅうようなら、トルクtorqueと角運動量かくうんどうりょうを選えらぶ。

8どこまで成立せいりつするか

このポータルは質点力学しつてんりきがくから剛体ごうたいの入口いりぐちまでを扱あつかう。連続体れんぞくたい、相対論そうたいろん、量子力学りょうしりきがくでは、質点しつてん・剛体ごうたい・同時刻どうじこくなどの仮定かていが変かわるため、同おなじ式しきをそのまま拡張かくちょうしてはならない。

9最終形さいしゅうけい

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] 力を局所的に追うなら \sum \vec{F} = m \vec{a}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] 変位で積分すれば仕事とエネルギー、時間で積分すれば力積と運動量

10一言ひとことでいうと

力学りきがくでは、知しりたい量りょうに応おうじて、力ちから・エネルギー・運動量うんどうりょう・回転かいてんの見方みかたを選択せんたくする。

11演習えんしゅうリンク

data/exercise/physics/mechanics/linear-motion-and-free-fall.exercise.n.md