力ちからの図ずと運動方程式うんどうほうていしき

date2026-07-14document_iddoc_46cd19ffc39c0b71b21dae0c8d4a1a65description自由体図を、対象を固定して外力だけを列挙し、運動方程式へ移すための手順として整理する講義である。prerequisites単位・次元 / ベクトルの基本 / 一次方程式type講義statusactive

physicsfoundationfree-body-diagramequation-of-motionlecture

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、運動方程式うんどうほうていしきを立式りっしきする前まえに、対象たいしょうを 1 つに固定こていし、その対象たいしょうに作用さようする外力がいりょくだけを自由体図じゆうたいずfree-body diagramに記入きにゅうすることについて説明せつめいする。

力学りきがくの誤答ごとうの多おおくは、公式こうしきを知しらないことではなく、式しきに入いれる力ちからを誤あやまることから生しょうじる。速度そくどの矢印やじるしを力ちからとして描えがく、作用反作用さようはんさようの相手側あいてがわの力ちからを同おなじ図ずに入いれる、軸じくを決きめずに符号ふごうを書かく、という失敗しっぱいを避さけるために、自由体図じゆうたいずを手順てじゅんとして扱あつかう。

2用語ようごと定義ていぎ

自由体図じゆうたいずfree-body diagramとは、選えらんだ 1 つの物体ぶったいまたは系けいに作用さようする外力がいりょくexternal forceだけを矢印やじるしで表あらわした図ずである。

内力ないりょくinternal forceとは、選えらんだ系けいの内部ないぶの物体ぶったいどうしが及およぼし合あう力ちからである。系全体けいぜんたいの運動量うんどうりょうを考かんがえるとき、内力ないりょくは互たがいに打うち消けし合あう構造こうぞうをもつ。

運動方程式うんどうほうていしきequation of motionとは、慣性系かんせいけいで質量しつりょうが一定いっていの物体ぶったいに対たいして

\sum \vec{F} = m \vec{a}

と書かける関係式かんけいしきである。ここで $\sum \vec{F}$ は自由体図じゆうたいずに入いれた外力がいりょくのベクトル和わである。

3方針ほうしん

自由体図じゆうたいずから運動方程式うんどうほうていしきへ進すすむ手順てじゅんは次つぎである。

対象たいしょうを決定けっていする。
対象たいしょうに直接ちょくせつ作用さようする力ちからだけを列挙れっきょする。
軸じくと正方向せいほうこうを設定せっていする。
力ちからを軸方向じくほうこうへ分解ぶんかいする。
成分せいぶんごとに $\sum F = m a$ を立式りっしきする。

この順序じゅんじょにする理由りゆうは、対象たいしょうを決きめる前まえには外力がいりょくと内力ないりょくが決きまらず、軸じくを決きめる前まえには符号ふごうが決きまらないからである。

4直感的ちょっかんてきな説明せつめい

自由体図じゆうたいずは、運動方程式うんどうほうていしきの合力ごうりょくを作つくるための一覧表いちらんひょうである。図ずに入いっていない力ちからは式しきに入いらない。図ずに余計よけいな力ちからを入いれれば、式しきにも余計よけいな項こうが入はいる。

重要じゅうようなのは、運動うんどうの向むきと力ちからの向むきを違ちがいを説明せつめいする。物体ぶったいが右みぎへ動うごいていても、右向みぎむきの力ちからが作用さようしているとは限かぎらない。等速直線運動とうそくちょくせんうんどうなら合力ごうりょくは $0 [N; M L T^{- 2}]$ である。

5厳密げんみつな説明せつめい

5.1対象たいしょうを固定こていする

運動方程式うんどうほうていしきは、対象たいしょうを決きめてはじめて意味いみをもつ。物体ぶったい A について立式りっしきするなら、A に作用さようする力ちからだけを足たす。

A が B を押おす力ちからと、B が A を押おす力ちからは、作用反作用さようはんさようaction and reactionの対ついである。しかし、前者ぜんしゃは B に、後者こうしゃは A に作用さようする。したがって、A の自由体図じゆうたいずに入いれるのは B が A を押おす力ちからだけである。

5.2代表的だいひょうてきな力ちから

力ちから	記号きごう	向むき	単位たんい
重力じゅうりょくgravity	$m g$	鉛直下向えんちょくしたむき	$N$
垂直抗力すいちょくこうりょくnormal force	$N$	接触面せっしょくめんに垂直すいちょく	$N$
張力ちょうりょくtension	$T$	糸いとに沿そって引ひく向むき	$N$
摩擦力まさつりょくfriction	$f$	相対運動そうたいうんどうまたはその傾向けいこうに逆さからう	$N$
弾性力だんせいりょくelastic force	$k x$	自然長しぜんちょうへ戻もどす向むき	$N$

すべて力ちからなので、単位たんいは $F [N; M L T^{- 2}]$ である。速度そくど $v [m / s; L T^{- 1}]$ や加速度かそくど $a [m / s^{2}; L T^{- 2}]$ は力ちからではないため、自由体図じゆうたいずの力ちからの一覧いちらんには入いれない。

5.3成分せいぶんへ分解ぶんかいする

軸じくを設定せっていしたら、

\sum F_{x} = m a_{x}, \sum F_{y} = m a_{y}

と成分せいぶんごとに立式りっしきする。運動うんどうしない方向ほうこうでは $a = 0$ と置おくため、

\sum F = 0

という釣つり合あいの式しきになる。したがって、釣つり合あいは別公式べつこうしきではなく、運動方程式うんどうほうていしきで加速度かそくどが 0 の場合ばあいである。

6具体例ぐたいれい：斜面上しゃめんじょうの物体ぶったい

傾斜角けいしゃかく $θ$ の斜面しゃめんに質量しつりょう $m [k g; M]$ の物体ぶったいを置おく。摩擦まさつは無視むしする。

対象たいしょうは物体ぶったい 1 つである。作用さようする力ちからは、重力じゅうりょく $m g [N; M L T^{- 2}]$ と垂直抗力すいちょくこうりょく $N [N; M L T^{- 2}]$ である。軸じくは斜面しゃめんに平行へいこうな下向したむきと、斜面しゃめんに垂直すいちょくな外向そとむきに設定せっていする。

斜面しゃめんに平行へいこうな方向ほうこうでは

m a = m g \sin θ

であり、斜面しゃめんに垂直すいちょくな方向ほうこうでは物体ぶったいが面めんから離はなれないので

N - m g \cos θ = 0

である。したがって

a = g \sin θ, N = m g \cos θ

を得える。

この例れいで斜面しゃめんに沿そった軸じくを選えらぶ理由りゆうは、加速度かそくどが一方向いちほうこうに集中しゅうちゅうし、垂直抗力すいちょくこうりょくが垂直方向すいちょくほうこうの式しきだけに現あらわれるからである。

7見分みわけ方かた

力ちから・張力ちょうりょく・垂直抗力すいちょくこうりょく・摩擦まさつが登場とうじょうしたら、まず自由体図じゆうたいずを作成さくせいする。
複数ふくすう物体ぶったいがあるなら、物体ぶったいごとに自由体図じゆうたいずを分わける。
斜面しゃめんでは、水平すいへい・鉛直えんちょくよりも斜面しゃめんに平行へいこう・垂直すいちょくな軸じくを先さきに試ためす。
接触せっしょくや糸いとがある問題もんだいでは、 $N [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"ge\")")] 0$ 、 $T [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"ge\")")] 0$ という物理的制約ぶつりてきせいやくを確認かくにんする。

8どこまで成立せいりつするか

$\sum \vec{F} = m \vec{a}$ は慣性系かんせいけいで使つかう。加速かそくする座標系ざひょうけいや回転座標系かいてんざひょうけいでは、慣性力かんせいりょくを追加ついかする必要ひつようがある。また、質量しつりょうが変化へんかする系けいでは、運動量うんどうりょうの変化へんか $[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dfrac\")")] d \vec{p} d t$ へ戻もどる必要ひつようがある。

9最終形さいしゅうけい

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] 対象を固定する \to 外力だけを描く \to 軸を決める \to \sum F = m a

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] \sum F_{x} = m a_{x}, \sum F_{y} = m a_{y}

10一言ひとことでいうと

自由体図じゆうたいずは、運動方程式うんどうほうていしきに入いれる外力がいりょくを過不足かふそくなく決きめるための図ずである。

11演習えんしゅうリンク

data/exercise/physics/foundation/units-and-free-body-diagrams.exercise.n.md