単位たんいと自由体図じゆうたいず-基本演習きほんえんしゅう

date2026-06-30document_iddoc_5c4feccedd43e4b8ea69d8d53b6d3e94description単位・次元の確認、自由体図、つり合いと運動方程式の立式を診断する基礎演習である。prerequisites単位・次元 / 自由体図 / 運動方程式type問題演習content_typeexercisestatusactive

physicsfoundationexercise

data/lecture/physics/foundation/units-dimensions-and-significant-figures.lecture.n.md data/lecture/physics/foundation/force-diagrams-and-equations-of-motion.lecture.n.md

1問題もんだい 1：単位たんいで式しきを検査けんさする

式しき $x = x_{0} + v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$ の各項かくこうが長ながさの単位たんいをもつことを示しめせ。

1.1解答かいとう

$x$ と $x_{0}$ は位置いちなので

x [m; L], x_{0} [m; L]

である。次つぎに、

v_{0} [m / s; L T^{- 1}] \times t [s; T] \Rightarrow v_{0} t [m; L]

である。また、

a [m / s^{2}; L T^{- 2}] \times t^{2} [s^{2}; T^{2}] \Rightarrow a t^{2} [m; L]

である。 $\frac{1}{2}$ は無次元むじげんなので、 $\frac{1}{2} a t^{2}$ も長ながさである。したがって右辺うへんの各項かくこうはすべて長ながさであり、足たし合あわせられる。

1.2解説かいせつ

この問題もんだいは、式しきを覚おぼえるのではなく、足たし算ざんの各項かくこうが同おなじ次元じげんかを検査けんさする練習れんしゅうである。

1.3よくある誤あやまり

$a$ と $t$ の単位たんいだけを見みて、 $t^{2}$ になっていることを忘わすれる誤あやまりが多おおい。

2問題もんだい 2：自由体図じゆうたいずに入いれる力ちから

水平面すいへいめんの上うえで右向みぎむきに等速直線運動とうそくちょくせんうんどうする箱はこを考かんがえる。摩擦まさつはない。この箱はこの自由体図じゆうたいずに入いれる力ちからを列挙れっきょせよ。

2.1解答かいとう

対象たいしょうは箱はこである。箱はこに作用さようする力ちからは、下向したむきの重力じゅうりょく $m g [N; M L T^{- 2}]$ と、上向うわむきの垂直抗力すいちょくこうりょく $N [N; M L T^{- 2}]$ である。

右向みぎむきに動うごいていることは速度そくどの情報じょうほうであり、右向みぎむきの力ちからを意味いみしない。摩擦まさつがないので水平方向すいへいほうこうの力ちからは存在そんざいしない。

2.2解説かいせつ

等速直線運動とうそくちょくせんうんどうでは加速度かそくどが 0 であるため、合力ごうりょくは 0 である。運動うんどうの向むきに力ちからを勝手かってに追加ついかしてはならない。

2.3よくある誤あやまり

速度そくどの矢印やじるしを力ちからとして自由体図じゆうたいずに入いれる誤あやまりがある。自由体図じゆうたいずに入いれるのは力ちからだけである。

3問題もんだい 3：釣つり合あいの立式りっしき

質量しつりょう $m [k g; M]$ の物体ぶったいが糸いとで静止せいしして吊つられている。糸いとの張力ちょうりょく $T$ を求もとめよ。

3.1解答かいとう

対象たいしょうは物体ぶったいである。上向うわむきを正せいにする。作用さようする力ちからは、上向うわむきの張力ちょうりょく $T$ と、下向したむきの重力じゅうりょく $m g$ である。

静止せいししているので加速度かそくどは 0 である。したがって

T - m g = 0

であり、

T = m g

を得える。

3.2解説かいせつ

公式こうしきとして $T = m g$ を置おいたのではなく、自由体図じゆうたいずと釣つり合あいから導みちびいた。別べつの加速度かそくどをもつ状況じょうきょうでは $T = m g$ とは限かぎらない。

3.3よくある誤あやまり

張力ちょうりょくと重力じゅうりょくを作用反作用さようはんさようと説明せつめいする誤あやまりがある。どちらも同おなじ物体ぶったいに作用さようするため、これは釣つり合あいである。

4問題もんだい 4：斜面しゃめんの軸じく

摩擦まさつのない傾斜角けいしゃかく $θ$ の斜面しゃめんに質量しつりょう $m$ の物体ぶったいを置おく。斜面しゃめんに沿そう加速度かそくどと垂直抗力すいちょくこうりょくを求もとめよ。

4.1解答かいとう

斜面しゃめんに平行へいこうな下向したむきを正せい、斜面しゃめんに垂直すいちょくな外向そとむきを正せいにする。

斜面しゃめん方向ほうこうでは

m a = m g \sin θ

である。よって

a = g \sin θ

である。

斜面しゃめんに垂直すいちょくな方向ほうこうでは加速度かそくどが 0 なので

N - m g \cos θ = 0

であり、

N = m g \cos θ

である。

4.2解説かいせつ

軸じくを斜面しゃめんに合あわせると、加速度かそくどが斜面しゃめん方向ほうこうだけに現あらわれ、垂直抗力すいちょくこうりょくを垂直方向すいちょくほうこうの釣つり合あいから求もとめられる。

4.3よくある誤あやまり

$m g \sin θ$ と $m g \cos θ$ を入いれ替かえる誤あやまりがある。斜面角しゃめんかくを図ずに戻もどし、斜面しゃめんが水平すいへいに近ちかい $θ = 0$ で斜面方向しゃめんほうこうの成分せいぶんが 0 になるかを確認かくにんするとよい。

5問題もんだい 5：エレベーターの見みかけの重おもさ

質量しつりょう $m$ の人ひとが、上向うわむき加速度かそくど $a$ のエレベーターに乗のっている。床ゆかから受うける垂直抗力すいちょくこうりょく $N$ を求もとめよ。

5.1解答かいとう

人ひとを対象たいしょうにする。上向うわむきを正せいにすると、上向うわむきの力ちからは $N$ 、下向したむきの力ちからは $m g$ である。加速度かそくどは上向うわむきに $a$ なので

N - m g = m a

である。したがって

N = m (g + a)