PDE とは何なにか

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、PDE を複数ふくすうの独立変数どくりつへんすうに依存いぞんする未知関数みちかんすうと、その偏導関数へんどうかんすうの関係かんけいとして解釈かいしゃくする方法ほうほうを説明せつめいする。独立変数どくりつへんすうは空間くうかんと時間じかんとは限かぎらず、Laplace 方程式ほうていしきのように複数ふくすうの空間変数くうかんへんすうだけを持もつ静的せいてきな PDE もある。

偏微分方程式へんびぶんほうていしきPartial differential equation は、複数ふくすうの独立変数どくりつへんすうを持もつ一ひとつ以上いじょうの未知関数みちかんすうと、その偏導関数へんどうかんすうを含ふくむ方程式ほうていしきまたは方程式系ほうていしきけいである。この講義こうぎではスカラー値ちの未知関数みちかんすうを持もつ単一たんいつの PDE を扱あつかう。たとえば $$u(x,t)$$u(x,t) では $$u$$u が未知関数みちかんすう、$$x,t$$x,t が独立変数どくりつへんすうである。

2階数かいすうと線形性せんけいせい

PDE の階数かいすうOrderは、方程式ほうていしきに現あらわれる偏導関数へんどうかんすうのうち最もっとも高たかい階数かいすうである。たとえば

は $$u_{xx}$$u_{xx} を含ふくむので PDE 全体ぜんたいとしては二階にかいである。ただし時間じかんについては一階いっかいであり、この二ふたつを混同こんどうしない。

線形せんけい PDELinear PDEでは、未知関数みちかんすうとその各導関数かくどうかんすうが一乗いちじょうで現あらわれ、それらの積せきを含ふくまず、係数けいすうは独立変数どくりつへんすうだけに依存いぞんする。既知きちの係数けいすうからなる作用素さようそを $$L$$L と書かけば、$$L[\alpha u+\beta v]=\alpha L\left[u\right]+\beta L\left[v\right]$$L[\alpha u+\beta v]=\alpha L[u]+\beta L[v] が成立せいりつする。$$L\left[u\right]=0$$L[u]=0 と $$L\left[u\right]=f$$L[u]=f はそれぞれ斉次せいじ・非斉次ひせいじの線形方程式せんけいほうていしきであり、右辺うへんが 0 であることは線形性せんけいせいそのものの条件じょうけんではない。一方いっぽう、$$u_t=u{u}_x$$u_t=u\,u_x のように未知関数みちかんすうとその導関数どうかんすうの積せきを含ふくむ方程式ほうていしきは非線形ひせんけいである。

3PDE の問題もんだいを定さだめる要素ようそ

方程式ほうていしきだけでは、どの問題もんだいを解とくかは定さだまらない。このトラックでは、まず次つぎの要素ようそを分わけて確認かくにんする。

1. 未知関数みちかんすうと独立変数どくりつへんすう
2. 方程式ほうていしきと係数けいすうに置おく仮定かてい
3. 未知関数みちかんすうを考かんがえる定義域ていぎいきDomain
4. 初期時刻しょきじこくや境界きょうかいなどに与あたえるデータ
5. どの正則性せいそくせいを持もつ解かいを求もとめるか

このページでは、指定していした連続性れんぞくせいと微分可能性びぶんかのうせいを持もち、方程式ほうていしきを領域内部りょういきないぶの各点かくてんで、データをそれぞれが置おかれた集合しゅうごうの各点かくてんで満みたす解かいを古典解こてんかいClassical solutionと呼よぶ。係数けいすうの滑なめらかさやデータとの適合てきごうまで含ふくめ、どの正則性せいそくせいを要求ようきゅうするかは問題もんだいごとに明記めいきする。

4ODE との違ちがい

ODE と PDE の本質的ほんしつてきな違ちがいは、データの名前なまえではなく、独立変数どくりつへんすうの個数こすうと微分びぶんの種類しゅるいにある。

ODE にも境界値問題きょうかいちもんだいがあり、PDE にも空間境界くうかんきょうかいを持もたない全空間ぜんくうかんの問題もんだいがある。PDE では定義域ていぎいきの幾何きかが多様たようなので、「どこにどのデータを置おけるか」を方程式ほうていしきの階数かいすうや型かたとともに判断はんだんする必要ひつようがある。

5熱方程式ねつほうていしきを読よむ

$$\kappa >0$$\kappa>0 とし、全空間ぜんくうかん $$x\in \mathbb{R}$$x\in\mathbb R、$$t>0$$t>0 で

を考かんがえる。未知関数みちかんすうは $$u(x,t)$$u(x,t)、PDE を課かす内部領域ないぶりょういきは $$\mathbb{R}\times (0,\mathrm{\infty })$$\mathbb R\times(0,\infty)、初期しょきデータを置おく面めんは $$t=0$$t=0 である。方程式ほうていしきは二階線形にかいせんけい PDE で、時間じかんについては一階いっかいである。全空間ぜんくうかんには空間境界くうかんきょうかいがないので、ここでは空間境界条件くうかんきょうかいじょうけんを課かさない。古典解こてんかいには、たとえば $$u\in C^{2,1}(\mathbb{R}\times (0,\mathrm{\infty }\left)\right)\cap C(\mathbb{R}\times [0,\mathrm{\infty }\left)\right)$$u\in C^{2,1}(\mathbb R\times(0,\infty))\cap C(\mathbb R\times[0,\infty)) を要求ようきゅうする。ここでは $$C^{2,1}$$C^{2,1} を、$$u,u_x,u_{xx},u_t$$u,u_x,u_{xx},u_t が連続れんぞくである関数かんすうのクラスという意味いみで用もちいる。

たとえば $$f\left(x\right)=\sin x$$f(x)=\sin x のとき

は

を満みたすので $$u_t=\kappa u_{xx}$$u_t=\kappa u_{xx} であり、$$u(x,0)=\sin x$$u(x,0)=\sin x でもある。したがって、この問題もんだいの古典解こてんかいである。解かいの候補式こうほしきを得えた場合ばあいは、方程式ほうていしきだけでなく定義域ていぎいきとデータも確認かくにんする。

6領域りょういきが変かわるとデータも変かわる

同おなじ熱方程式ねつほうていしきを有界区間ゆうかいくかん $$0<x<L$$0<x<L で一意いちいに定さだまる標準的ひょうじゅんてきな初期境界値問題しょききょうかいちもんだいとして設定せっていするには、初期しょきデータに加くわえて端点たんてんでのデータが必要ひつようになる。古典解こてんかいを閉領域へいりょういきまで連続れんぞくに求もとめるなら、初期しょきデータと端点たんてんデータが角かどで一致いっちする適合条件てきごうじょうけんも確認かくにんする。具体的ぐたいてきな初期条件しょきじょうけん・境界条件きょうかいじょうけんの種類しゅるいは次つぎの講義こうぎで定義ていぎする。

7代表だいひょうモデルへの地図ちず

外力がいりょく・熱源ねつげんのない定係数ていけいすうモデルを記号きごうだけ並ならべると、$$\kappa >0$$\kappa>0、$$c>0$$c>0 に対たいして次つぎのようになる。

ここで $$x=(x_1,\dots ,x_n)\in R^n$$x=(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb R^n とし、$$\mathrm{\Delta }u=\sum _{j=1}^n{u}_{x_j{x}_j}$$\Delta u=\sum_{j=1}^n u_{x_jx_j} は各空間方向かくくうかんほうこうの二階偏微分にかいへんびぶんの和わである。これらの型かた、必要ひつようなデータ、情報伝播じょうほうでんぱ、保存ほぞん・散逸さんいつの違ちがいは後のちの講義こうぎで仮定かていとともに比較ひかくする。方程式ほうていしきの名前なまえだけで存在そんざい・一意性いちいせい・安定性あんていせいを結論けつろんしてはならない。

8読解どっかいチェックリスト

• 未知関数みちかんすうと独立変数どくりつへんすうは何なにか。
• PDE 全体ぜんたいの階数かいすうと、時間じかんについての階数かいすうはそれぞれ何なにか。
• 線形せんけいか非線形ひせんけいか。係数けいすうにどの仮定かていがあるか。
• 定義域ていぎいきは全空間ぜんくうかんか有界領域ゆうかいりょういきか。
• どこにどのデータを置おき、どの解かいのクラスを求もとめるか。
• 候補こうほは方程式ほうていしきとすべてのデータを満みたすか。

9次つぎの分岐ぶんき

まず初期値問題しょきちもんだい・境界値問題きょうかいちもんだい・初期境界値問題しょききょうかいちもんだいを区別くべつする。その後あと、一階いっかい PDE では特性曲線法とくせいきょくせんほうへ、二階線形にかいせんけい PDE では主部しゅぶによる型分類かたぶんるいへ進すすむ。代表だいひょうモデルの比較ひかくは、その分類ぶんるいを確認かくにんしてから行おこなう。

10どこまで成立せいりつするか

このページでは十分じゅうぶんに滑なめらかな古典解こてんかいを入口いりぐちにした。古典微分こてんびぶんを持もたない関数かんすうも扱あつかえるようにするには、関数空間かんすうくうかんを指定していし、試験関数しけんかんすうに対たいする積分恒等式せきぶんこうとうしきや分布微分ぶんぷびぶんで方程式ほうていしきを満みたす意味いみを定さだめる。このような弱解じゃくかいに許ゆるす正則性せいそくせいや一意性いちいせいの条件じょうけんは、方程式ほうていしきごとに確認かくにんする。

11関連かんれんリンク

What Is a PDE?

1Introduction

This lecture explains how to interpret a PDE as a relation between an unknown function of several independent variables and its partial derivatives. The independent variables need not be space and time: a static PDE such as Laplace's equation may contain several spatial variables and no time variable.

A {partial differential equation} is an equation or system involving one or more unknown functions of several independent variables and their partial derivatives. This lecture treats a single PDE for a scalar-valued unknown. In $$u(x,t)$$u(x,t), for example, $$u$$u is the unknown function and $$x,t$$x,t are the independent variables.

2Order and linearity

The {order} of a PDE is the highest order of the partial derivatives occurring in it. Thus

is a second-order PDE because it contains $$u_{xx}$$u_{xx}, although it is only first order with respect to time.

In a {linear PDE}, the unknown function and its derivatives occur to the first power, no products among them occur, and their coefficients depend only on the independent variables. For the associated operator $$L$$L,

The equations $$L\left[u\right]=0$$L[u]=0 and $$L\left[u\right]=f$$L[u]=f are homogeneous and inhomogeneous linear equations, respectively; a zero right-hand side is not a requirement for linearity. By contrast, $$u_t=u{u}_x$$u_t=u\,u_x is nonlinear because it contains a product of the unknown and its derivative.

3Components of a PDE problem

An equation alone does not determine a problem. The following components must be specified separately:

1. the unknown function and independent variables;
2. the equation and assumptions on its coefficients;
3. the {domain} of the unknown function;
4. data prescribed at an initial time, on a boundary, or on another set;
5. the regularity class in which a solution is sought.

A {classical solution} has the stated continuity and differentiability, satisfies the equation at every interior point, and satisfies each datum at every point where that datum is prescribed. The required regularity, including coefficient smoothness and compatibility with the data, must be stated for each problem.

4Difference from an ODE

The essential distinction between an ODE and a PDE is the number of independent variables and the kind of derivatives, not the names of the data.

ODEs may have boundary-value problems, while PDEs may be posed on all of space and have no spatial boundary. Because PDE domains have diverse geometries, the admissible location of data must be assessed together with the order and type of the equation.

5Reading the heat equation

Let $$\kappa >0$$\kappa>0 and consider, for $$x\in \mathbb{R}$$x\in\mathbb R and $$t>0$$t>0,

The unknown is $$u(x,t)$$u(x,t), the PDE is imposed on $$\mathbb{R}\times (0,\mathrm{\infty })$$\mathbb R\times(0,\infty), and the initial data are prescribed on $$t=0$$t=0. This is a second-order linear PDE that is first order in time. Since the whole space has no spatial boundary, no spatial boundary condition is imposed. One possible classical-solution class is

Here $$C^{2,1}$$C^{2,1} denotes the class in which $$u,u_x,u_{xx},u_t$$u,u_x,u_{xx},u_t are continuous.

If $$f\left(x\right)=\sin x$$f(x)=\sin x, then

satisfies

Hence $$u_t=\kappa u_{xx}$$u_t=\kappa u_{xx} and $$u(x,0)=\sin x$$u(x,0)=\sin x. It is therefore a classical solution of this problem. A candidate formula must be checked against the domain and all data as well as the equation.

6Changing the domain changes the data

To formulate the same heat equation on a bounded interval $$0<x<L$$0<x<L as a standard uniquely determined initial-boundary-value problem, endpoint data are required in addition to initial data. If a classical solution is continuous up to the closed spacetime boundary, the initial and endpoint data must agree at the corners. The next lecture defines the principal types of initial and boundary conditions.

7Map of representative models

For constant-coefficient models without external forcing or heat sources, with $$\kappa >0$$\kappa>0 and $$c>0$$c>0:

For $$x=(x_1,\dots ,x_n)\in R^n$$x=(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb R^n,

is the sum of the second partial derivatives in all spatial directions. Later lectures compare the types, required data, information propagation, conservation, and dissipation of these models under explicit assumptions. Existence, uniqueness, and stability must not be inferred from an equation's name alone.

8Reading checklist

• What are the unknown function and independent variables?
• What are the overall order and the order with respect to time?
• Is the equation linear or nonlinear, and what coefficient assumptions are imposed?
• Is the domain the whole space or a bounded region?
• Where are the data prescribed, and in which solution class?
• Does a candidate satisfy the equation and every datum?

9Subsequent branches

First distinguish initial-value, boundary-value, and initial-boundary-value problems. Then proceed to characteristics for first-order PDEs or principal-part classification for second-order linear PDEs. Compare the representative models only after establishing that classification.

10Scope of validity

This lecture used sufficiently smooth classical solutions as its point of entry. To include functions without classical derivatives, one must specify a function space and define satisfaction of the equation through integral identities against test functions or distributional derivatives. Admissible regularity and uniqueness conditions for such weak solutions must be determined separately for each equation.

11Related links