特性曲線法とくせいきょくせんほう

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、一階いっかい PDE を特性曲線とくせいきょくせんに沿そって ODE へ還元かんげんし、その ODE から局所的きょくしょてきな古典解こてんかいを再構成さいこうせいする方法ほうほうを説明せつめいする。ただし、データを置おく曲線きょくせんが特性方向とくせいほうこうと平行へいこうな場合ばあいや、異ことなる特性とくせいが交差こうさする場合ばあいには、存在そんざい・一意性いちいせい・滑なめらかさが失うしなわれうる。

2用語ようごと定義ていぎ

特性曲線とくせいきょくせんCharacteristic curve は、PDE の微分方向びぶんほうこうに沿そって進すすむ曲線きょくせんであり、その上うえで偏微分方程式へんびぶんほうていしきが ODE に還元かんげんされる。

3一般形いっぱんけいと特性とくせい ODE

$$(x,t,z)$$(x,t,z) の開集合かいしゅうごう $$D\subset R^3$$D\subset\mathbb R^3 で $$a,b,F\in C^1\left(D\right)$$a,b,F\in C^1(D) とする。準線形じゅんせんけいQuasilinearとは、最高階さいこうかいの微分びぶんが線形せんけいに現あらわれ、その係数けいすうが独立変数どくりつへんすうと未知関数みちかんすうに依存いぞんしてよい形かたちである。このページでは準線形じゅんせんけいの一階いっかい PDE

に対たいし、$$z\left(s\right)=u\left(x\right(s),t(s\left)\right)$$z(s)=u(x(s),t(s)) と置おく。連鎖律れんさりつから

なので、特性方程式とくせいほうていしき

を得える。$$C^1$$C^1 係数けいすうなら、この ODE は各初期点かくしょきてんの近ちかくで局所的きょくしょてきに一意いちいな解かいを持もつ。$$F\equiv 0$$F\equiv0 ならすべての特性上とくせいじょうで $$z$$z、すなわち $$u$$u が保存ほぞんされる。一般いっぱんには $$z$$z も ODE に従したがって変化へんかする。

4データを置おく曲線きょくせん

区間くかん $$I$$I 上じょうで $$x_0,t_0,h\in C^1\left(I\right)$$x_0,t_0,h\in C^1(I) とし、$$\left(x_0\right(r),t_0(r),h(r\left)\right)\in D$$(x_0(r),t_0(r),h(r))\in D を満みたす初期曲線しょききょくせんとデータを

とする。曲線上きょくせんじょうの特性方向とくせいほうこうは $$(a,b)$$(a,b) である。初期曲線しょききょくせんと特性方向とくせいほうこうが横断おうだんする、すなわち

であるとき、この初期曲線しょききょくせんを非特性的ひとくせいてきNon-characteristicという。この行列式ぎょうれつしきは、$$(r,s)$$(r,s) から $$(x,t)$$(x,t) への特性座標写像とくせいざひょうしゃぞうが初期曲線しょききょくせんの近ちかくで局所的きょくしょてきに逆写像ぎゃくしゃぞうを持もつための条件じょうけんである。したがって特性とくせい ODE で得えた $$z(r,s)$$z(r,s) を $$u(x,t)$$u(x,t) として戻もどせる。

実際じっさい、逆写像ぎゃくしゃぞうを $$(r,s)=\left(r\right(x,t),s(x,t\left)\right)$$(r,s)=(r(x,t),s(x,t)) とし、$$u(x,t)=z\left(r\right(x,t),s(x,t\left)\right)$$u(x,t)=z(r(x,t),s(x,t)) と定義ていぎする。特性とくせい ODE と連鎖律れんさりつから

が成立せいりつする。また $$s=0$$s=0 では $$(x,t,z)=\left(x_0\right(r),t_0(r),h(r\left)\right)$$(x,t,z)=(x_0(r),t_0(r),h(r)) なので、$$u\left(x_0\right(r),t_0(r\left)\right)=h\left(r\right)$$u(x_0(r),t_0(r))=h(r) も成立せいりつする。したがって、ODE から再構成さいこうせいした $$u$$u は PDE と初期条件しょきじょうけんの双方そうほうを満みたす。

正規形せいきけい

で $$x_0\left(r\right)=r,t_0\left(r\right)=0$$x_0(r)=r, t_0(r)=0 とすれば、上うえの行列式ぎょうれつしきは 1 である。したがって、$$h\in C^1\left(I\right)$$h\in C^1(I) で持もち上あげた曲線きょくせんが $$D$$D 内ないにある限かぎり、標準的ひょうじゅんてきな $$t=0$$t=0 の初期線しょきせんは非特性的ひとくせいてきであり、局所古典解きょくしょこてんかいを構成こうせいするためのデータを置おける。

この構成こうせいが有効ゆうこうなのは、持もち上あげた特性とくせい $$(x,t,z)$$(x,t,z) が $$D$$D の中なかにあり、ODE 解かいが存在そんざいし、特性座標写像とくせいざひょうしゃぞうの Jacobian が 0 でない範囲はんいである。解かいの定義域ていぎいきはこの写像しゃぞうの像ぞうであり、自動的じどうてきに全空間ぜんくうかん・全時刻ぜんじこくへ広ひろがるわけではない。大域解たいいきかいには、ODE の大域存在たいいきそんざいと写像しゃぞうの大域的たいいきてきな一対一性いったいいちせい・到達性とうたつせいを別べつに示しめす必要ひつようがある。

行列式ぎょうれつしきが 0 の特性的とくせいてきな曲線きょくせんに任意にんいのデータを置おくと、同おなじ特性上とくせいじょうでデータが矛盾むじゅんして解かいが存在そんざいしない場合ばあいや、特性とくせいの外側そとがわへ値あたいを決きめられず一意性いちいせいを失うしなう場合ばあいがある。条件じょうけんは曲線きょくせんの本数ほんすうだけでなく、PDE の微分方向びぶんほうこうとの位置関係いちかんけいで判断はんだんする。

5定係数ていけいすう transport の具体例ぐたいれい

$$g\in C^1\left(\mathbb{R}\right)$$g\in C^1(\mathbb R) とし、全空間ぜんくうかんの Cauchy 問題もんだい

を考かんがえる。特性曲線とくせいきょくせんは $$x-2t=\xi$$x-2t=\xi であり、その上うえでは $$du/dt=u_t+2u_x=0$$du/dt=u_t+2u_x=0 である。したがって

となる。初期形状しょきけいじょうが速度そくど 2 で右方向みぎほうこうへ移動いどうする。

6生成せいせい・消滅項しょうめつこうがある場合ばあい

$$c,\lambda \in \mathbb{R}$$c,\lambda\in\mathbb R を定数ていすう、$$g\in C^1\left(\mathbb{R}\right)$$g\in C^1(\mathbb R) とし、

を考かんがえる。特性とくせいは $$x=\xi +ct$$x=\xi+ct であり、その上うえでは

となる。したがって

である。形かたちは速度そくど $$c$$c で移動いどうするが、値あたいは $$\lambda$$\lambda に応おうじて増幅ぞうふくまたは減衰げんすいする。「特性とくせいに沿そって一定いってい」は右辺うへんが 0 の場合ばあいだけであり、特性曲線法とくせいきょくせんほうそのものは値あたいが変かわる ODE にも適用てきようできる。

7変係数へんけいすうの例れい

$$g\in C^1\left(\mathbb{R}\right)$$g\in C^1(\mathbb R) とし、$$u_t+x{u}_x=0$$u_t+xu_x=0 を考かんがえる。特性曲線とくせいきょくせんは $$x^{\prime }=x,t^{\prime }=1$$x'=x,\ t'=1 を満みたす。したがって $$x\left(t\right)=C{e}^t$$x(t)=Ce^t であり、$$x{e}^{-t}$$xe^{-t} が保存ほぞんされる。初期条件しょきじょうけん $$u(x,0)=g\left(x\right)$$u(x,0)=g(x) なら、$$u(x,t)=g\left(x{e}^{-t}\right)$$u(x,t)=g(xe^{-t}) となる。

ここでは初期点しょきてん $$\xi$$\xi と時刻じこく $$t$$t から $$x=\xi e^t$$x=\xi e^t を得える。逆写像ぎゃくしゃぞう $$\xi =x{e}^{-t}$$\xi=xe^{-t} が存在そんざいするため、特性上とくせいじょうの値あたいを $$u(x,t)$$u(x,t) として戻もどせる。一般いっぱんの問題もんだいでも、特性とくせい ODE を解とくだけでなく、特性とくせいのラベルと時刻じこくから空間点くうかんてんへの写像しゃぞうが一対一いったいいちである範囲はんいを確認かくにんする必要ひつようがある。その範囲はんいが古典解こてんかいの定義域ていぎいきになる。

8Burgers 方程式ほうていしきと特性交差とくせいこうさ

非線形ひせんけいの例れいとして $$g\in C^1\left(\mathbb{R}\right)$$g\in C^1(\mathbb R) を仮定かていし、

を考かんがえる。初期点しょきてん $$\xi$$\xi から出でる特性上とくせいじょうでは $$u=g\left(\xi \right)$$u=g(\xi) が一定いっていなので、

である。$$\xi$$\xi から $$x$$x への写像しゃぞうの微分びぶんは

となる。この量りょうが 0 でない間あいだは、$$\xi$$\xi を $$(x,t)$$(x,t) から局所的きょくしょてきに復元ふくげんでき、古典解こてんかいを構成こうせいできる。ある $$\xi$$\xi で $$1+t{g}^{\prime }\left(\xi \right)=0$$1+t g'(\xi)=0 になると特性座標写像とくせいざひょうしゃぞうが局所可逆性きょくしょかぎゃくせいを失うしない、一価いっかで滑なめらかな古典解こてんかいをこの構成こうせいのまま続つづけられない。圧縮あっしゅくが進すすむ場合ばあいは、その後ごに異ことなる特性とくせいが同おなじ点てんへ到達とうたつして交差こうさする。

さらに陰関数いんかんすうを微分びぶんすると、古典解こてんかいの範囲はんいで

となる。したがって座標写像ざひょうしゃぞうの退化たいかと同時どうじに、分母ぶんぼが 0 へ近ちかづいて勾配こうばいが発散はっさんしうる。

特とくに

が $$-\mathrm{\infty }<m<0$$-\infty<m<0 なら、最初さいしょの座標退化ざひょうたいか・勾配破綻時刻こうばいはたんじこくの候補こうほは

である。ただしこの式しきを厳密げんみつな破綻時刻はたんじこくとして使つかうには、$$g$$g の正則性せいそくせいや下限かげんの達成たっせいなどを確認かくにんする必要ひつようがある。$$g^{\prime }\left(\xi \right)\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}0$$g'(\xi)\ge0 が全すべての $$\xi$$\xi で成立せいりつするなら、正せいの時刻じこくにはこの機構きこうによる特性交差とくせいこうさは起おこらない。交差後こうさごは保存則ほぞんそくの積分形せきぶんけいに基もとづく弱解じゃくかいと、解かいを選えらぶ entropy 条件じょうけんが必要ひつようになる。これらは後のちの transport と保存則ほぞんそくの講義こうぎで定義ていぎする。

9不適用ふてきようの例れい

二階にかい PDE では、一階いっかいの方向微分ほうこうびぶんを ODE へ変換へんかんする構造こうぞうが直接ちょくせつには成立せいりつしない。たとえば熱方程式ねつほうていしき $$u_t=\kappa u_{xx}$$u_t=\kappa u_{xx} は拡散かくさんを含ふくむため、単一たんいつの曲線きょくせんに沿そって値あたいが保存ほぞんされる問題もんだいではない。

二階にかい PDE にも特性方向とくせいほうこうという概念がいねんはあるが、ここで扱あつかった三本さんぼんの特性とくせい ODE による直接ちょくせつの再構成さいこうせいとは別べつの理論りろんである。二階主部にかいしゅぶの特性とくせいと型かたは次つぎの分類講義ぶんるいこうぎで扱あつかう。

10どこまで成立せいりつするか

特性曲線法とくせいきょくせんほうで古典解こてんかいを構成こうせいするには、特性とくせい ODE の局所存在きょくしょそんざいと一意性いちいせい、初期曲線しょききょくせんの非特性条件ひとくせいじょうけん、座標写像ざひょうしゃぞうの局所可逆性きょくしょかぎゃくせいを確認かくにんする必要ひつようがある。係数けいすうが滑なめらかでない場合ばあい、ODE 自体じたいの一意性いちいせいが失うしなわれる場合ばあい、特性とくせいが交差こうさする場合ばあいには、この手順てじゅんをそのまま続つづけられない。

11関連かんれんリンク

Method of Characteristics

1Introduction

This lecture explains how a first-order PDE can be reduced to ODEs along characteristic curves and how a local classical solution can be reconstructed from those ODEs. Existence, uniqueness, or regularity may fail when the data curve is tangent to the characteristic direction or when distinct characteristics intersect.

2Terminology and definition

A {characteristic curve} follows the differential direction specified by a PDE. Along such a curve, the PDE reduces to an ODE.

3General form and characteristic ODEs

Let $$D\subset R^3$$D\subset\mathbb R^3 be open in the variables $$(x,t,z)$$(x,t,z), and suppose that $$a,b,F\in C^1\left(D\right)$$a,b,F\in C^1(D). A first-order PDE is {quasilinear} if its highest-order derivatives occur linearly, while their coefficients may depend on the independent variables and on the unknown function. Consider

Set $$z\left(s\right)=u\left(x\right(s),t(s\left)\right)$$z(s)=u(x(s),t(s)). The chain rule gives

so the characteristic equations are

Because the coefficients are $$C^1$$C^1, this ODE system has a unique local solution near each initial point. If $$F\equiv 0$$F\equiv0, then $$z$$z, and hence $$u$$u, is constant along every characteristic. In general, $$z$$z evolves according to its own ODE.

4The curve carrying the data

Let $$x_0,t_0,h\in C^1\left(I\right)$$x_0,t_0,h\in C^1(I) on an interval $$I$$I, with $$\left(x_0\right(r),t_0(r),h(r\left)\right)\in D$$(x_0(r),t_0(r),h(r))\in D, and prescribe

The characteristic direction on this curve is $$(a,b)$$(a,b). The initial curve is {non-characteristic} when it is transverse to this direction, namely when

This determinant is precisely the condition that the characteristic coordinate map from $$(r,s)$$(r,s) to $$(x,t)$$(x,t) have a local inverse near the initial curve. The function $$z(r,s)$$z(r,s) obtained from the characteristic ODEs can therefore be reconstructed as $$u(x,t)$$u(x,t).

Indeed, write the local inverse as $$(r,s)=\left(r\right(x,t),s(x,t\left)\right)$$(r,s)=(r(x,t),s(x,t)) and define $$u(x,t)=z\left(r\right(x,t),s(x,t\left)\right)$$u(x,t)=z(r(x,t),s(x,t)). The characteristic ODEs and the chain rule give

At $$s=0$$s=0, one has $$(x,t,z)=\left(x_0\right(r),t_0(r),h(r\left)\right)$$(x,t,z)=(x_0(r),t_0(r),h(r)), so $$u\left(x_0\right(r),t_0(r\left)\right)=h\left(r\right)$$u(x_0(r),t_0(r))=h(r). Thus the reconstructed function satisfies both the PDE and the initial condition.

For the normal form

take $$x_0\left(r\right)=r$$x_0(r)=r and $$t_0\left(r\right)=0$$t_0(r)=0. The determinant above is then 1. Thus, provided $$h\in C^1\left(I\right)$$h\in C^1(I) and the lifted curve remains in $$D$$D, the standard initial line $$t=0$$t=0 is non-characteristic and supports data for constructing a local classical solution.

The construction remains valid only while the lifted characteristic $$(x,t,z)$$(x,t,z) stays in $$D$$D, the ODE solution exists, and the Jacobian of the characteristic coordinate map is nonzero. The domain of the PDE solution is the image of this map; it does not automatically extend to all space and all time. A global solution additionally requires global existence of the ODEs and global injectivity and coverage of the coordinate map.

If the determinant vanishes, arbitrary data on the characteristic curve may be inconsistent along a single characteristic, so no solution exists, or may fail to determine values away from that characteristic, so uniqueness is lost. The suitability of the data is determined not merely by the number of curves but by their position relative to the differential direction of the PDE.

5Constant-coefficient transport

Let $$g\in C^1\left(\mathbb{R}\right)$$g\in C^1(\mathbb R) and consider the whole-space Cauchy problem

The characteristics are $$x-2t=\xi$$x-2t=\xi, and $$du/dt=u_t+2u_x=0$$du/dt=u_t+2u_x=0 along them. Hence

so the initial profile travels to the right with speed 2.

6A source or decay term

Let $$c,\lambda \in \mathbb{R}$$c,\lambda\in\mathbb R and $$g\in C^1\left(\mathbb{R}\right)$$g\in C^1(\mathbb R). For

the characteristic is $$x=\xi +ct$$x=\xi+ct, and

Therefore

The profile travels with speed $$c$$c while its amplitude grows or decays according to $$\lambda$$\lambda. Constancy along characteristics applies only when the right-hand side vanishes; the method itself also applies when the value evolves by an ODE.

7A variable-coefficient example

Let $$g\in C^1\left(\mathbb{R}\right)$$g\in C^1(\mathbb R) and consider $$u_t+x{u}_x=0$$u_t+xu_x=0. The characteristic equations are $$x^{\prime }=x$$x'=x and $$t^{\prime }=1$$t'=1, hence $$x\left(t\right)=C{e}^t$$x(t)=Ce^t and $$x{e}^{-t}$$xe^{-t} is constant. With $$u(x,0)=g\left(x\right)$$u(x,0)=g(x),

Writing the initial point as $$\xi$$\xi gives $$x=\xi e^t$$x=\xi e^t. Since the inverse $$\xi =x{e}^{-t}$$\xi=xe^{-t} exists, values on characteristics define $$u(x,t)$$u(x,t). In general, solving the characteristic ODEs is insufficient by itself: one must also identify the region on which the map from the characteristic label and time to the spatial point is injective. That image is the domain of the classical solution.

8Burgers' equation and crossing characteristics

Assume $$g\in C^1\left(\mathbb{R}\right)$$g\in C^1(\mathbb R) and consider

Along the characteristic issued from $$\xi$$\xi, the value $$u=g\left(\xi \right)$$u=g(\xi) is constant, so

The derivative of the map from $$\xi$$\xi to $$x$$x is

While this quantity is nonzero, $$\xi$$\xi can be recovered locally from $$(x,t)$$(x,t) and a classical solution can be constructed. If it vanishes, the characteristic coordinate map loses local invertibility, and this construction cannot continue as a single-valued smooth solution. In a compressive region, distinct characteristics subsequently reach the same point and cross.

Implicit differentiation gives, within the classical regime,

Thus, as the coordinate map degenerates, the denominator can approach zero and the gradient can diverge. In particular, if

satisfies $$-\mathrm{\infty }<m<0$$-\infty<m<0, then the candidate time of the first coordinate degeneration and gradient breakdown is

To identify this expression with the exact breakdown time, one must additionally verify the regularity of $$g$$g and whether the infimum is attained. If $$g^{\prime }\left(\xi \right)\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}0$$g'(\xi)\ge0 for every $$\xi$$\xi, this mechanism produces no characteristic crossing at positive times. After crossing, one needs weak solutions based on the integral form of the conservation law and an entropy condition that selects the admissible solution. These notions are defined in the subsequent lecture on transport and conservation laws.

9An example outside the method's scope

For second-order PDEs, the reduction of a first directional derivative to an ODE does not apply directly. For example, the heat equation $$u_t=\kappa u_{xx}$$u_t=\kappa u_{xx} contains diffusion and is not a problem in which values are transported unchanged along a single curve.

Second-order PDEs also have characteristic directions, but their theory differs from reconstruction by the three characteristic ODEs used here. The next classification lecture treats the characteristics and types determined by the second-order principal part.

10Scope of validity

Constructing a classical solution by characteristics requires local existence and uniqueness for the characteristic ODEs, a non-characteristic initial curve, and local invertibility of the coordinate map. The procedure can fail if the coefficients lack sufficient regularity, if the ODE itself is nonunique, or if characteristics cross.

11Related links