transport 方程式ほうていしきと保存則ほぞんそく

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、transport 方程式ほうていしきを量りょうが流ながれに沿そって移動いどうする式しきとして確認かくにんし、保存則ほぞんそくとの関係かんけいを説明せつめいする。前まえの Green 関数かんすうまでで二階線形にかいせんけい PDE の構成法こうせいほうを確認かくにんしたので、ここでは特性曲線法とくせいきょくせんほうで扱あつかった一階いっかい PDE へ戻もどり、不連続ふれんぞくを含ふくむ非線形問題ひせんけいもんだいまで進すすむ。

2基本形きほんけい

は一定速度いっていそくど $$c$$c で形状けいじょうが移動いどうする transport 方程式ほうていしきである。これは流束りゅうそくを $$f\left(u\right)=cu$$f(u)=cu とした保存則ほぞんそくでもある。特性曲線とくせいきょくせん $$x-ct=\text{constant}$$x-ct=\text{constant} に沿そって $$u$$u は保存ほぞんされる。

初期条件しょきじょうけんを $$u(x,0)=g\left(x\right)$$u(x,0)=g(x) とすると、解かいは

である。正せいの $$c$$c なら波形はけいは右みぎへ速度そくど $$c$$c で移動いどうする。熱方程式ねつほうていしきのように形かたちが滑なめらかに崩くずれるのではなく、初期形状しょきけいじょうが平行移動へいこういどうすることが特徴とくちょうである。

3保存則ほぞんそく

保存則ほぞんそくConservation law は、密度みつど $$u$$u と流束りゅうそく $$f\left(u\right)$$f(u) の間あいだに

の関係かんけいがあることをいう。$$u(x,t)$$u(x,t) は単位長たんいちょうあたりの保存量ほぞんりょう、$$f\left(u\right(x,t\left)\right)$$f(u(x,t)) は単位時間たんいじかんに点てん $$x$$x を右向みぎむきに通過つうかする量りょうを表あらわす。

4積分形せきぶんけいから PDE へ

区間くかん $$[a,b]$$[a,b] に含ふくまれる量りょうを $${\int }_a^{b}u(x,t)dx$$\int_a^b u(x,t)\,dx とする。保存ほぞんされる量りょうの変化へんかは、端点たんてんから出入でいりする流束りゅうそくで決定けっていされるため、

となる。$$u$$u が十分じゅうぶんに滑なめらかなら、積分せきぶんの時間微分じかんびぶんと微積分学びせきぶんがくの基本定理きほんていりにより

である。これがすべての $$[a,b]$$[a,b] で成立せいりつするため、$$u_t+f(u{)}_x=0$$u_t+f(u)_x=0 を得える。これが積分形せきぶんけいを局所化きょくしょかする、という意味いみである。逆ぎゃくに PDE を $$[a,b]$$[a,b] で積分せきぶんすれば積分形せきぶんけいへ戻もどる。

全実数直線ぜんじっすうちょくせんで $$u(·,t)\in L^1\left(\mathbb{R}\right)$$u(\cdot,t)\in L^1(\mathbb R)、すなわち $${\int }_{\mathbb{R}}\left|u\right(x,t\left)\right|dx<\mathrm{\infty }$$\int_{\mathbb R}|u(x,t)|\,dx<\infty とし、$$f\left(u\right(x,t\left)\right)\to 0$$f(u(x,t))\to0 が $$x\to \pm \mathrm{\infty }$$x\to\pm\infty のとき成立せいりつするとする。さらに積分せきぶんの時間微分じかんびぶんと極限きょくげんを交換こうかんできるだけ十分じゅうぶんな正則性せいそくせいを仮定かていすれば、$$a\to -\mathrm{\infty }$$a\to-\infty、$$b\to \mathrm{\infty }$$b\to\infty として

を得える。つまり、局所的きょくしょてきな流出入りゅうしゅつにゅうがあっても、無限遠むげんえんから流入りゅうにゅう・流出りゅうしゅつしなければ総量そうりょうは保存ほぞんされる。

5弱解じゃくかいは積分形せきぶんけいを満みたす

後あとで見みるように、非線形保存則ひせんけいほぞんそくでは滑なめらかな初期値しょきちからも衝撃波しょうげきはが生しょうじうる。衝撃波しょうげきはでは $$u_x$$u_x が通常つうじょうの関数かんすうとして存在そんざいしないため、PDE を各点かくてんで満みたす古典解こてんかいではなく、積分せきぶんを通とおして保存則ほぞんそくを満みたす弱解じゃくかいを使つかう。まず $$u$$u と $$f\left(u\right)$$f(u) は局所可積分きょくしょかせきぶん、すなわち任意にんいの有界ゆうかいな時空領域じくうりょういきで絶対値ぜったいちの積分せきぶんが有限ゆうげんであるとする。これは $$u,f\left(u\right)\in L^{1_{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}}}(\mathbb{R}\times [0,\mathrm{\infty }\left)\right)$$u,f(u)\in L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb R\times[0,\infty)) と書かく。

局所可積分きょくしょかせきぶんな初期値しょきち $$g\in L^{1_{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}}}\left(\mathbb{R}\right)$$g\in L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb R) による $$u(x,0)=g\left(x\right)$$u(x,0)=g(x) に対たいし、$$t=0$$t=0 まで滑なめらかで、$$x$$x 方向ほうこうと $$t$$t 方向ほうこうの十分遠じゅうぶんとおくでは 0 になる試験関数しけんかんすう $$\phi \in C_{c^{\mathrm{\infty }}}(\mathbb{R}\times [0,\mathrm{\infty }\left)\right)$$\varphi\in C_c^\infty(\mathbb R\times[0,\infty)) を任意にんいに取とる。このとき

を満みたす $$u$$u を弱解じゃくかいという。滑なめらかな解かいなら、部分積分ぶぶんせきぶんによりこの式しきは元もとの PDE と初期条件しょきじょうけんに戻もどる。この定義ていぎは $$u$$u 自身じしんの微分びぶんを要求ようきゅうしないため、不連続ふれんぞくを許ゆるす。

6有限伝播速度ゆうげんでんぱそくど

transport 方程式ほうていしきでは、初期分布しょきぶんぷの情報じょうほうが特性曲線とくせいきょくせんに沿そって移動いどうする。この性質せいしつは熱方程式ねつほうていしきの拡散かくさんと対照的たいしょうてきである。不連続初期値ふれんぞくしょきちがある場合ばあいは、不連続ふれんぞくも特性とくせいに沿そって伝播でんぱする。非線形保存則ひせんけいほぞんそくで不連続ふれんぞくを許ゆるした後あとの有限伝播ゆうげんでんぱには、後あとで述のべる entropy 条件じょうけんによる解かいの選択せんたくも必要ひつようである。

7非線形保存則ひせんけいほぞんそくと特性とくせいの交差こうさ

$$u_t+f(u{)}_x=0$$u_t+f(u)_x=0 は $$u_t+f^{\prime }\left(u\right)u_x=0$$u_t+f'(u)u_x=0 と書かける。値あたい $$u$$u により特性速度とくせいそくど $$f^{\prime }\left(u\right)$$f'(u) が変化へんかするため、大おおきい値あたいと小ちいさい値あたいが異ことなる速度そくどで進すすむ。特性とくせいが交差こうさすると古典解こてんかいは破綻はたんし、衝撃波しょうげきはを含ふくむ弱解じゃくかいが必要ひつようになる。

不連続ふれんぞくが速度そくど $$s$$s で移動いどうし、左状態ひだりじょうたいを $$u_L$$u_L、右状態みぎじょうたいを $$u_R$$u_R とすると、Rankine--Hugoniot 条件じょうけんは

である。実際じっさい、不連続ふれんぞくをまたぐ細ほそい時空領域じくうりょういきに積分保存則せきぶんほぞんそくを適用てきようすると

という収支しゅうしを得える。これを $$u_L\ne u_R$$u_L\ne u_R のもとで $$s$$s について解といたものが Rankine--Hugoniot 条件じょうけんである。ただし、この条件じょうけんだけでは弱解じゃくかいは一意いちいに決きまらない。

8entropy 条件じょうけんと Burgers 方程式ほうていしき

このページで扱あつかう空間一次元くうかんいちじげんのスカラー保存則ほぞんそくでは、entropy 条件じょうけんEntropy condition は、複数ふくすうの弱解じゃくかいから物理的ぶつりてきに適切てきせつな解かいを選択せんたくする許容条件きょようじょうけんである。標準的ひょうじゅんてきな仮定かていのもとでは、微小びしょうな粘性ねんせいを加くわえた

の $$\epsilon \downarrow 0$$\varepsilon\downarrow0 で得えられる極限きょくげんが Kruzhkov entropy 解かいと一致いっちする。この講義こうぎでは vanishing viscosity を選択原理せんたくげんりとして使用しようし、その極限きょくげんの存在そんざい・収束しゅうそく・一意性いちいせいの証明しょうめいは射程外しゃていがいとする。$$f^{\prime }\text{'}\left(u\right)>0$$f''(u)>0 の凸流束とつりゅうそくで $$u_L>u_R$$u_L>u_R の shock なら、Lax entropy 条件じょうけん

は左右さゆうの特性曲線とくせいきょくせんが shock へ流入りゅうにゅうすることを要求ようきゅうする。

二ふたつの初期値しょきち $$g_1,g_2$$g_1,g_2 と、それらに対応たいおうする entropy 解かい $$u_1,u_2$$u_1,u_2 が共通きょうつうの区間くかん $$I$$I に値あたいを取とり、$$\underset{v\in I}{\sup }\left|f^{\prime }\right(v\left)\right|\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}M<\mathrm{\infty }$$\sup_{v\in I}|f'(v)|\le M<\infty とする。標準的ひょうじゅんてきな局所きょくしょ $$L^1$$L^1 収縮評価しゅうしゅくひょうかは、任意にんいの $$a<b$$a<b に対たいして

を与あたえる。したがって $$g_1=g_2$$g_1=g_2 が $$[a-Mt,b+Mt]$$[a-Mt,b+Mt] で成立せいりつすれば、$$u_1=u_2$$u_1=u_2 は時刻じこく $$t$$t の $$[a,b]$$[a,b] でほとんどいたるところ成立せいりつする。この不等式ふとうしきが entropy 解かいの有限伝播速度ゆうげんでんぱそくどを厳密げんみつに表あらわす。局所収縮定理きょくしょしゅうしゅくていりの証明しょうめいはこの講義こうぎの射程外しゃていがいである。

代表例だいひょうれいは $$f\left(u\right)=u^2/2$$f(u)=u^2/2 とした Burgers 方程式ほうていしき

である。初期値しょきちが $$x<0$$x<0 で $$u_L$$u_L、$$x>0$$x>0 で $$u_R$$u_R となる Riemann 問題もんだいを考かんがえる。$$u_L=1$$u_L=1、$$u_R=0$$u_R=0 なら Rankine--Hugoniot 条件じょうけんから $$s=1/2$$s=1/2 であり、$$1>s>0$$1>s>0 なので entropy 条件じょうけんを満みたす shock になる。反対はんたいに $$u_L=0$$u_L=0、$$u_R=1$$u_R=1 では特性とくせいが扇状おうぎじょうに開ひらき、$$t>0$$t>0 で

という希薄波きはくは (rarefaction wave) が entropy 解かいになる。

9図式ずしきによる確認かくにん

定係数ていけいすう transport では、特性曲線とくせいきょくせんは $$x-ct=\text{constant}$$x-ct=\text{constant} の平行線へいこうせんである。非線形保存則ひせんけいほぞんそくでは、特性とくせいの傾かたむきが $$u$$u に依存いぞんする。扇状おうぎじょうに広ひろがれば rarefaction、交差こうさすれば shock が発生はっせいする。この図式ずしきは特性曲線法とくせいきょくせんほうと保存則ほぞんそくを接続せつぞくする。

10どこまで成立せいりつするか

非線形保存則ひせんけいほぞんそくでは、弱解じゃくかいの存在そんざいだけでなく、entropy 条件じょうけんによる一意性いちいせい、初期値しょきちへの安定性あんていせい、shock 同士どうしの相互作用そうごさようを調しらべる理論りろんが必要ひつようになる。このページでは空間一次元くうかんいちじげんの凸流束とつりゅうそくへの入口いりぐちだけを扱あつかった。

11関連かんれんリンク

Transport Equations and Conservation Laws

1Introduction

This lecture explains how a transport equation describes a quantity carried by a flow and how this description leads to a conservation law. Having completed the construction of solutions for second-order linear PDEs, we return to first-order PDEs and extend the method of characteristics to nonlinear problems with discontinuities.

2Constant-Coefficient Transport

The equation

transports a profile at constant velocity $c$c. It is also a conservation law with flux $f\left(u\right)=cu$f(u)=cu. The value of $u$u remains constant along characteristics $x-ct=\text{constant}$x-ct=\text{constant}. For initial data $u(x,0)=g\left(x\right)$u(x,0)=g(x), the solution is

If $c>0$c>0, the profile moves to the right with velocity $c$c. Unlike heat diffusion, this motion translates the initial profile without smoothing it.

3Conservation Laws

A conservation lawConservation law relates a density $u$u and flux $f\left(u\right)$f(u) by

Here $u(x,t)$u(x,t) is the conserved quantity per unit length, while $f\left(u\right(x,t\left)\right)$f(u(x,t)) is the amount crossing $x$x to the right per unit time.

4From the Integral Balance to the PDE

The amount in an interval $[a,b]$[a,b] is ${\int }_a^{b}u(x,t)dx$\int_a^b u(x,t)\,dx. Its rate of change is determined by flux entering at $a$a and leaving at $b$b:

For sufficiently smooth $u$u, differentiation under the integral and the fundamental theorem of calculus give

Since this holds for every interval, localization yields $u_t+f(u{)}_x=0$u_t+f(u)_x=0. Conversely, integrating the PDE over $[a,b]$[a,b] recovers the integral balance.

On the real line, suppose $u(·,t)\in L^1\left(\mathbb{R}\right)$u(\cdot,t)\in L^1(\mathbb R), $f\left(u\right(x,t\left)\right)\to 0$f(u(x,t))\to0 as $x\to \pm \mathrm{\infty }$x\to\pm\infty, and the solution has enough regularity to interchange differentiation and the relevant limits. Letting $a\to -\mathrm{\infty }$a\to-\infty and $b\to \mathrm{\infty }$b\to\infty gives

Thus local flux can redistribute the quantity, but the total amount remains constant when there is no flux at infinity.

5Weak Solutions

Nonlinear conservation laws can produce shocks even from smooth initial data. At a shock, $u_x$u_x need not exist as an ordinary function, so one replaces pointwise classical solutions with weak solutions defined by integration. Assume

meaning that their absolute values are integrable on every bounded spacetime region. Let the initial data be $g\in L^{1_{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}}}\left(\mathbb{R}\right)$g\in L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb R). A function $u$u is a weak solution with $u(x,0)=g\left(x\right)$u(x,0)=g(x) if, for every test function $\phi \in C_{c^{\mathrm{\infty }}}(\mathbb{R}\times [0,\mathrm{\infty }\left)\right)$\varphi\in C_c^\infty(\mathbb R\times[0,\infty)) that is smooth up to $t=0$t=0,

For a smooth solution, integration by parts recovers the PDE and initial condition. The definition differentiates the test function rather than $u$u, and therefore permits discontinuities.

6Finite Propagation Speed

For a transport equation, information in the initial profile moves along characteristics. A discontinuity in the initial data propagates along them as well. This finite-speed behavior contrasts with heat diffusion. For nonlinear conservation laws, selecting the physically relevant discontinuous solution additionally requires an entropy condition.

7Nonlinear Conservation Laws and Intersecting Characteristics

For a smooth solution,

can be written as $u_t+f^{\prime }\left(u\right)u_x=0$u_t+f'(u)u_x=0. The characteristic velocity $f^{\prime }\left(u\right)$f'(u) depends on the value of $u$u, so different states travel at different speeds. When characteristics intersect, a classical solution breaks down and a weak solution containing a shock becomes necessary.

Suppose a discontinuity moves with speed $s$s, with left and right states $u_L$u_L and $u_R$u_R. The Rankine--Hugoniot condition is

Applying the integral balance to a thin spacetime region crossing the discontinuity gives

This condition enforces conservation across the shock, but by itself does not make a weak solution unique.

8Entropy Conditions and the Burgers Equation

For the one-dimensional scalar conservation laws considered here, an entropy conditionEntropy condition is an admissibility criterion that selects a physically relevant weak solution. Under standard hypotheses, the vanishing-viscosity limit of

as $\epsilon \downarrow 0$\varepsilon\downarrow0 agrees with the Kruzhkov entropy solution. This lecture uses vanishing viscosity as a selection principle; proofs of existence, convergence, and uniqueness lie outside its scope. For a convex flux with $f^{\prime }\text{'}\left(u\right)>0$f''(u)>0 and a shock satisfying $u_L>u_R$u_L>u_R, the Lax entropy condition

requires characteristics from both sides to enter the shock.

Let initial data $g_1,g_2$g_1,g_2 and their corresponding entropy solutions $u_1,u_2$u_1,u_2 take values in a common interval $I$I, and assume

The standard local $L^1$L^1 contraction estimate states that, for every $a<b$a<b,

Consequently, if $g_1=g_2$g_1=g_2 on $[a-Mt,b+Mt]$[a-Mt,b+Mt], then $u_1=u_2$u_1=u_2 almost everywhere on $[a,b]$[a,b] at time $t$t. This estimate is the precise finite-propagation statement for entropy solutions. Its proof is part of the standard local contraction theory and lies outside the scope of this lecture.

The standard example is the Burgers equation with $f\left(u\right)=u^2/2$f(u)=u^2/2:

Consider Riemann data equal to $u_L$u_L for $x<0$x<0 and $u_R$u_R for $x>0$x>0. If $u_L=1$u_L=1 and $u_R=0$u_R=0, the Rankine--Hugoniot speed is $s=1/2$s=1/2, and $1>s>0$1>s>0 verifies the entropy condition. If instead $u_L=0$u_L=0 and $u_R=1$u_R=1, the characteristics spread into a rarefaction fan, and for $t>0$t>0 the entropy solution is

9Characteristic Geometry

For constant-coefficient transport, the characteristics $x-ct=\text{constant}$x-ct=\text{constant} are parallel lines. For a nonlinear conservation law, their slopes depend on $u$u. Diverging characteristics create a rarefaction, whereas intersecting characteristics require a shock. This geometric picture connects the method of characteristics with conservation laws.

10Scope of Validity

The theory of nonlinear conservation laws must address not only existence of weak solutions but also entropy-based uniqueness, stability with respect to initial data, and interactions among shocks. This lecture has introduced only one-dimensional scalar laws with convex flux.

11Related Lectures