heat・wave・Laplace 方程式ほうていしき

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、PDE の代表例だいひょうれいを、必要ひつようなデータ、情報じょうほうの依存範囲いぞんはんい、保存ほぞん・散逸さんいつ、境界きょうかいの役割やくわりという共通軸きょうつうじくで比較ひかくする。直前ちょくぜんの分類ぶんるいでは、heat は放物型ほうぶつがた、wave は双曲型そうきょくがた、Laplace は楕円型だえんがたであることを確認かくにんした。この講義こうぎでは、その型かたの差異さいが標準的ひょうじゅんてきな定係数ていけいすうモデルに与あたえる影響えいきょうを解説かいせつする。

2比較ひかくする標準設定ひょうじゅんせってい

このページでは $$\kappa >0$$\kappa>0、$$c>0$$c>0 とし、外力がいりょく・熱源ねつげん・減衰項げんすいこうを持もたない定係数ていけいすうの方程式ほうていしきと、十分滑じゅうぶんなめらかな古典解こてんかいを考かんがえる。heat と wave は 1 空間次元くうかんじげんの $$(x,t)$$(x,t)、Laplace は $$\mathrm{\Omega }\subset R^n$$\Omega\subset\mathbb R^n の空間変数くうかんへんすうで書かく。

3方程式ほうていしきだけでは問題もんだいが定さだまらない

PDE の問題もんだいは、方程式ほうていしき、領域りょういき、データを組くみ合あわせて初はじめて定さだまる。全空間ぜんくうかん $$x\in \mathbb{R}$$x\in\mathbb R の heat と wave には空間境界くうかんきょうかいがない。有界区間ゆうかいくかん $$0<x<L$$0<x<L では、heat と wave の両方りょうほうに端点たんてんでの Dirichlet・Neumann・Robin などの境界条件きょうかいじょうけんが必要ひつようである。

• heat は時間じかんについて一階いっかいなので、初期温度しょきおんど $$u(x,0)=f\left(x\right)$$u(x,0)=f(x) を 1 個こ与あたえる。
• wave は時間じかんについて二階にかいなので、初期変位しょきへんい $$u(x,0)=f\left(x\right)$$u(x,0)=f(x) と初期速度しょきそくど $$u_t(x,0)=g\left(x\right)$$u_t(x,0)=g(x) を与あたえる。
• Laplace は時間発展じかんはってんを持もたず、Dirichlet データ $$u{|}_{\mathit{\partial }\mathrm{\Omega }}=h$$u|_{\partial\Omega}=h などを課かす境界値問題きょうかいちもんだいとして扱あつかう。

有界領域ゆうかいりょういきの古典解こてんかいでは、初期時刻しょきじこくと空間境界くうかんきょうかいが接せっする角かどでデータが一致いっちする適合条件てきごうじょうけんも必要ひつようになる。純じゅん Neumann の Laplace 問題もんだいには適合条件てきごうじょうけんと、定数分ていすうぶんだけの不定性ふていせいがある。問題設定もんだいせっていの詳細しょうさいは先さきの初期値しょきち・境界値問題きょうかいちもんだいの講義こうぎに委ゆだねる。

4heat: 無限伝播むげんでんぱと平滑化へいかつか

全空間ぜんくうかん $$\mathbb{R}$$\mathbb R で $$f\in C_c\left(\mathbb{R}\right)$$f\in C_c(\mathbb R) とする。ここで $$C_c\left(\mathbb{R}\right)$$C_c(\mathbb R) は連続れんぞくで有界ゆうかいな区間くかんの外そとでは 0 になる関数かんすう、すなわち連続れんぞくなコンパクト台だいの関数かんすうを表あらわす。heat の解かいは熱核ねつかく

を使つかって

と書かける。これは $$t>0$$t>0 で滑なめらかな古典解こてんかいになり、$$t\downarrow 0$$t\downarrow0 で $$f$$f に一様いちように収束しゅうそくする。$$G_t(x-y)>0$$G_t(x-y)>0 なので、$$f\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}0$$f\ge0 かつ $$f\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("not")")]}\equiv 0$$f\not\equiv0 なら、どれほど離はなれた $$x$$x でも $$t>0$$t>0 には $$u(x,t)>0$$u(x,t)>0 となる。これは擾乱じょうらんの影響えいきょうが正せいの時刻じこくに全空間ぜんくうかんへ及およぶ無限伝播速度むげんでんぱそくどInfinite propagation speedを表あらわす。熱核ねつかくの導出どうしゅつは Fourier 変換へんかんの講義こうぎで扱あつかう。

有界区間ゆうかいくかん $$0<x<L$$0<x<L、斉次せいじ Dirichlet 条件じょうけん $$u(0,t)=u(L,t)=0$$u(0,t)=u(L,t)=0 では、$$L^2$$L^2 ノルムの二乗にじょうは

と散逸さんいつする。一方いっぽう、斉次せいじ Neumann 条件じょうけん $$u_x(0,t)=u_x(L,t)=0$$u_x(0,t)=u_x(L,t)=0 では

なので、平均温度へいきんおんどが保存ほぞんされる。Neumann 条件じょうけんでも、$$L^2$$L^2 ノルムの二乗にじょうに対たいする同おなじ部分積分ぶぶんせきぶんでは境界項きょうかいこうが消滅しょうめつするため、この量りょうは非増加ひぞうかである。境界条件きょうかいじょうけんが異ことなれば、保存量ほぞんりょうと長時間挙動ちょうじかんきょどうも変かわる。

境界条件きょうかいじょうけんを満みたす空間固有関数くうかんこゆうかんすうで、線形せんけい PDE の時間発展じかんはってんを独立どくりつに追おえる空間形状くうかんけいじょうをモードModeと呼よぶ。斉次せいじ Dirichlet 条件じょうけんでは $$\sin (n\pi x/L)$$\sin(n\pi x/L) が空間くうかんモードであり、その時間振幅じかんしんぷくを組くみ合あわせた

を代入だいにゅうすれば方程式ほうていしきと境界条件きょうかいじょうけんを満みたす。$$n$$n が大おおきい高周波こうしゅうはほど速はやく減衰げんすいすることが、平滑化へいかつかの仕組しくみを示唆しさする。なぜ正弦せいげんが選えらばれるか、一般初期値いっぱんしょきちをどう重かさね合あわせるかは次つぎの変数分離へんすうぶんりの講義こうぎに委ゆだねる。

5wave: 有限伝播ゆうげんでんぱと energy

全空間ぜんくうかん $$x\in \mathbb{R}$$x\in\mathbb R、$$t\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}0$$t\ge0 で $$f\in C^2\left(\mathbb{R}\right)$$f\in C^2(\mathbb R)、$$g\in C^1\left(\mathbb{R}\right)$$g\in C^1(\mathbb R) とすると、Cauchy 問題もんだいの d'Alembert 公式こうしきは

である。点てん $$(x,t)$$(x,t) の値あたいは、初期線しょきせんの区間くかん $$[x-ct,x+ct]$$[x-ct,x+ct] のデータだけに依存いぞんする。この依存領域いぞんりょういきDomain of dependenceが、波なみの影響えいきょうが速度そくど $$c$$c を超こえて伝つたわらないことを表あらわす。波動演算子はどうえんざんし

の因数分解いんすうぶんかいと特性座標とくせいざひょう $$x-ct,x+ct$$x-ct,x+ct が、この公式こうしきの背景はいけいにある。有界区間ゆうかいくかんでは境界きょうかいに到達とうたつした波なみの反射はんしゃを境界条件きょうかいじょうけんに従したがって扱あつかう必要ひつようがあり、全空間ぜんくうかんの公式こうしきをそのまま使つかえない。

有界区間ゆうかいくかんで

と置おくと、無外力むがいりょくでは

である。固定端こていたん $$u=0$$u=0 なら端点たんてんで $$u_t=0$$u_t=0、自由端じゆうたん $$u_x=0$$u_x=0 なら端点たんてんで $$u_x=0$$u_x=0 なので、どちらも境界流束きょうかいりゅうそくが消きえて $$E\left(t\right)=E\left(0\right)$$E(t)=E(0) となる。境界入力きょうかいにゅうりょく・外力がいりょく・減衰げんすいがあれば、energy は一般いっぱんに変化へんかする。

6Laplace: 時間発展じかんはってんのない大域的境界依存たいいきてききょうかいいぞん

Laplacian の講義こうぎで、$$\mathrm{\Delta }u=0$$\Delta u=0 の $$C^2$$C^2 解かいを調和関数ちょうわかんすうと呼よび、平均値性質へいきんちせいしつを持もつことを確認かくにんした。ここでは時間じかんに沿そう伝播でんぱではなく、境界きょうかいと内部ないぶの大域的たいいきてきな結合けつごうに注目ちゅうもくする。

たとえば単位円板たんいえんばんで、$$h:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$$h:\mathbb R\to\mathbb R を連続れんぞくな $$2\pi$$2\pi 周期関数しゅうきかんすうとし、$$e^{i\alpha }=(\cos \alpha ,\sin \alpha )$$e^{i\alpha}=(\cos\alpha,\sin\alpha) と表記ひょうきする。Dirichlet データを $$u\left(e^{i\phi }\right)=h\left(\phi \right)$$u(e^{i\varphi})=h(\varphi) とすると、Laplace 方程式ほうていしきの境界表現きょうかいひょうげんである Poisson 積分公式せきぶんこうしき

は、1 個この内部点ないぶてんの値あたいが境界全体きょうかいぜんたいのデータから決きまることを示しめす。Laplace 方程式ほうていしきには時間変数じかんへんすうがないため、これを有限ゆうげんまたは無限伝播むげんでんぱと呼よぶのではなく、静的せいてきな大域依存たいいきいぞんと区別くべつする。

$$\mathrm{\Omega }$$\Omega を有界連結領域ゆうかいれんけつりょういきとし、$$u\in C^2\left(\mathrm{\Omega }\right)\cap C\left(\stackrel{\_}{\mathrm{\Omega }}\right)$$u\in C^2(\Omega)\cap C(\overline\Omega) が $$\mathrm{\Delta }u=0$$\Delta u=0 を満みたすとする。maximum principle により、$$u$$u の最大値さいだいちと最小値さいしょうちは $$\mathit{\partial }\mathrm{\Omega }$$\partial\Omega で達成たっせいされる。この原理げんりから同おなじ Dirichlet データを持もつ調和関数ちょうわかんすうの一意性いちいせいが従したがう。ただし解かいの存在そんざいは別べつに示しめる必要ひつようがあり、純じゅん Neumann 問題もんだいは定数ていすうだけの不定性ふていせいを持もつ。

7同おなじ軸じくでの比較ひかく

熱方程式ねつほうていしきの maximum principle で値あたいを制御せいぎょする境界きょうかいは、初期面しょきめんと空間境界くうかんきょうかいからなる放物型境界ほうぶつがたきょうかいであり、終時刻しゅうじこくの上面じょうめんは含ふくめない。この詳細しょうさいと Laplace 方程式ほうていしきの maximum principle の証明しょうめいは、後のちの専用講義せんようこうぎで扱あつかう。

長時間挙動ちょうじかんきょどうの行ぎょうは、この講義こうぎの 1 次元じげん・定係数ていけいすう・外力がいりょくおよび熱源ねつげんなしという設定せっていにおいて、時間じかんに依存いぞんしない斉次せいじまたは固定境界条件こていきょうかいじょうけんを課かした十分正則じゅうぶんせいそくな解かいの典型像てんけいぞうを示しめす。

8単位たんいからの確認かくにん

熱方程式ねつほうていしきで $$u$$u を温度おんど、$$t$$t を時間じかん、$$x$$x を長ながさとすると、$$\kappa$$\kappa は「長ながさの 2 乗じょう／時間じかん」の次元じげんを持もつ。波動方程式はどうほうていしきの $$c$$c は「長ながさ／時間じかん」であり、実際じっさいの伝播速度でんぱそくどになる。この次元じげんの差さも、拡散長かくさんちょうが $$\sqrt{\kappa t}$$\sqrt{\kappa t}、波なみの到達距離とうたつきょりが $$ct$$ct と異ことなることに対応たいおうする。

9どこまで成立せいりつするか

ここで示しめした公式こうしきと恒等式こうとうしきは、定係数ていけいすう・外力がいりょくおよび熱源ねつげんなし・十分じゅうぶんな正則性せいそくせいという仮定かていに依存いぞんする。非線形拡散ひせんけいかくさん、減衰げんすい、外力がいりょく、不均一媒質ふきんいつばいしつ、低正則性ていせいそくせいのデータでは、保存則ほぞんそく・伝播速度でんぱそくど・maximum principle の形かたちを改あらためて確認かくにんする必要ひつようがある。この講義こうぎは解法かいほうを完結かんけつさせず、次つぎの変数分離法へんすうぶんりほう、Fourier 解析かいせき、maximum principle、energy method が担になう役割やくわりを明示めいじする。

10関連かんれんリンク

The Heat, Wave, and Laplace Equations

1Introduction

This lecture compares three representative partial differential equations according to the data they require, the regions on which information depends, conservation and dissipation, and the role of boundaries. The preceding classification identified the heat equation as parabolic, the wave equation as hyperbolic, and the Laplace equation as elliptic. We now explain how these distinctions affect standard constant-coefficient models.

2Standard Setting

Let $\kappa >0$\kappa>0 and $c>0$c>0. We consider sufficiently regular classical solutions of constant-coefficient equations without forcing, heat sources, or damping. The heat and wave equations are written in one spatial dimension $(x,t)$(x,t), whereas the Laplace equation is posed on $\mathrm{\Omega }\subset R^n$\Omega\subset\mathbb R^n.

3An Equation Alone Does Not Define a Problem

A PDE problem combines an equation, a domain, and data. On the whole line, the heat and wave equations have no spatial boundary. On a bounded interval $0<x<L$0<x<L, both require endpoint conditions such as Dirichlet, Neumann, or Robin conditions.

• Because the heat equation is first order in time, one prescribes one initial temperature, $u(x,0)=f\left(x\right)$u(x,0)=f(x).
• Because the wave equation is second order in time, one prescribes both displacement $u(x,0)=f\left(x\right)$u(x,0)=f(x) and velocity $u_t(x,0)=g\left(x\right)$u_t(x,0)=g(x).
• The Laplace equation has no time evolution and is posed as a boundary-value problem, for example with $u{|}_{\mathit{\partial }\mathrm{\Omega }}=h$u|_{\partial\Omega}=h.

Classical solutions of bounded-domain evolution problems also require compatibility where the initial surface meets the spatial boundary. A pure Neumann problem for the Laplace equation has a compatibility condition and is unique only up to an additive constant.

The preceding lecture on initial- and boundary-value problems develops these aspects of the problem specification.

4Heat: Infinite Propagation and Smoothing

On $\mathbb{R}$\mathbb R, let $f\in C_c\left(\mathbb{R}\right)$f\in C_c(\mathbb R), where $C_c\left(\mathbb{R}\right)$C_c(\mathbb R) denotes the continuous functions that vanish outside a bounded interval. The solution is expressed using the heat kernel

as

For $t>0$t>0 this is smooth, and it converges uniformly to $f$f as $t\downarrow 0$t\downarrow0. Since $G_t(x-y)>0$G_t(x-y)>0, if $f\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}0$f\ge0 and $f\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("not")")]}\equiv 0$f\not\equiv0, then $u(x,t)>0$u(x,t)>0 at every $x$x for every $t>0$t>0. Thus a disturbance influences the entire space immediately in this model; this property is called infinite propagation speed.

The lecture on Fourier transforms and PDEs derives the heat kernel.

On $0<x<L$0<x<L with homogeneous Dirichlet conditions,

so the squared $L^2$L^2 norm is nonincreasing. Under homogeneous Neumann conditions,

so the mean temperature is conserved. The same integration by parts shows that the squared $L^2$L^2 norm is nonincreasing under homogeneous Neumann conditions because its boundary term also vanishes. Boundary conditions therefore affect both conserved quantities and long-time behavior.

A mode is a spatial eigenfunction compatible with the boundary conditions whose time amplitude evolves independently under the linear PDE. For homogeneous Dirichlet conditions, $\sin (n\pi x/L)$\sin(n\pi x/L) is such a spatial mode, and

Direct substitution verifies both the equation and the boundary conditions. Higher-frequency modes decay faster, which explains the smoothing mechanism. The next lecture develops the selection and superposition of these modes by separation of variables.

5Wave: Finite Propagation and Energy

For $x\in \mathbb{R}$x\in\mathbb R, $t\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}0$t\ge0, $f\in C^2\left(\mathbb{R}\right)$f\in C^2(\mathbb R), and $g\in C^1\left(\mathbb{R}\right)$g\in C^1(\mathbb R), d'Alembert's formula is

The value at $(x,t)$(x,t) depends only on initial data in $[x-ct,x+ct]$[x-ct,x+ct]. This domain of dependence expresses finite propagation with speed $c$c. The factorization

and the characteristic coordinates $x-ct$x-ct and $x+ct$x+ct underlie the formula. On a bounded interval, reflected waves must instead be treated according to the boundary conditions.

Define

Without forcing,

For fixed endpoints $u=0$u=0, one has $u_t=0$u_t=0 at the endpoints; for free endpoints $u_x=0$u_x=0. In either case the boundary flux vanishes and $E\left(t\right)=E\left(0\right)$E(t)=E(0). Boundary input, forcing, or damping generally changes the energy.

6Laplace: Global Boundary Dependence without Time Evolution

A $C^2$C^2 solution of $\mathrm{\Delta }u=0$\Delta u=0 is harmonic and satisfies the mean-value property. Unlike the preceding evolution equations, the Laplace equation describes a static global relation between boundary and interior values.

For the unit disk, let $h$h be continuous and $2\pi$2\pi-periodic, and write $e^{i\alpha }=(\cos \alpha ,\sin \alpha )$e^{i\alpha}=(\cos\alpha,\sin\alpha). With boundary data $u\left(e^{i\phi }\right)=h\left(\phi \right)$u(e^{i\varphi})=h(\varphi), the Poisson integral formula is

It shows that one interior value depends on data from the entire boundary. This is static global dependence, not finite or infinite propagation in time.

If $\mathrm{\Omega }$\Omega is bounded and connected and $u\in C^2\left(\mathrm{\Omega }\right)\cap C\left(\stackrel{\_}{\mathrm{\Omega }}\right)$u\in C^2(\Omega)\cap C(\overline\Omega) is harmonic, the maximum principle places the maximum and minimum on $\mathit{\partial }\mathrm{\Omega }$\partial\Omega. It implies uniqueness for harmonic functions with the same Dirichlet data. Existence requires a separate argument, and a pure Neumann problem remains indeterminate up to an additive constant.

7Comparison on Common Axes

For the heat equation, the parabolic boundary consists of the initial surface and the spatial boundary, not the upper surface at the final time. A later lecture proves the maximum principles for the heat and Laplace equations.

The long-time row describes typical behavior for sufficiently regular solutions in the one-dimensional, constant-coefficient, source-free setting of this lecture, with homogeneous or fixed boundary data that are independent of time.

8Dimensional Check

If $u$u is temperature, $t$t is time, and $x$x is length, then $\kappa$\kappa has dimensions length squared per time. In the wave equation, $c$c has dimensions length per time and is the propagation speed. Accordingly, the diffusion length is $\sqrt{\kappa t}$\sqrt{\kappa t}, whereas the wave travel distance is $ct$ct.

9Scope of Validity

The formulas and identities above depend on constant coefficients, absence of sources, and sufficient regularity. For nonlinear diffusion, damping, forcing, inhomogeneous media, or weak data, conservation laws, propagation speeds, and maximum principles require separate analysis. This lecture does not complete the solution methods; it identifies the roles developed by separation of variables, Fourier analysis, maximum principles, and energy methods.

10Related Lectures