maximum principle の基本きほん

date2026-07-15document_iddoc_a6ae306a2d3de8676e327ceb40cc1381descriptionmaximum principle を、楕円型・放物型 PDE で内部最大値が境界条件に支配される原理として導入する。prerequisites二階線形 PDE の分類 / heat・wave・Laplace 方程式type講義content_typelecturestatusactive

mathpartial-differential-equationsmaximum-principlelecture

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、Laplace 方程式ほうていしきや熱方程式ねつほうていしきにおいて、内部ないぶの最大値さいだいちが境界きょうかいや初期条件しょきじょうけんに支配しはいされることを説明せつめいする。

2用語ようごと定義ていぎ

maximum principleMaximum principle は、この講義こうぎで扱あつかう Laplace 方程式ほうていしきと斉次熱方程式せいじねつほうていしきにおいて、解かいの最大値さいだいちや最小値さいしょうちが内部ないぶで自由じゆうには発生はっせいしないことを述のべる原理げんりである。一般いっぱんの楕円型だえんがた・放物型作用素ほうぶつがたさようそでは、一様楕円性いちようだえんせい、作用素さようその符号規約ふごうきやく、低階項ていかいこうの符号ふごうなどの追加条件ついかじょうけんが必要ひつようである。

3方針ほうしん

直観的ちょっかんてきには、Laplace 方程式ほうていしき $Δ u = 0$ の解かいは、内部ないぶに源みなもとを持もたない平衡状態へいこうじょうたいを表あらわす。そのため、境界値きょうかいちの範囲はんいを逸脱いつだつする極値きょくちは内部ないぶに発生はっせいしない。

4弱最大値原理じゃくさいだいちげんり

空くうでない有界開集合ゆうかいかいしゅうごう $Ω \subset R^{n}$ で $u \in C (\overline{Ω}) \cap C^{2} (Ω)$ 、 $Δ u = 0$ とする。このとき $u$ の最大値さいだいちと最小値さいしょうちは境界きょうかい $\partial Ω$ で達成たっせいされ、

\max_{\overline{Ω}} u = \max_{\partial Ω} u, \min_{\overline{Ω}} u = \min_{\partial Ω} u

である。さらに $Ω$ が連結れんけつなら、強最大値原理きょうさいだいちげんりは、 $u$ が内部ないぶで最大値さいだいちまたは最小値さいしょうちを取とれば $u$ は $Ω$ 全体ぜんたいで定数ていすうである、と述のべる。以下いかの摂動証明せつどうしょうめいが対象たいしょうとするのは弱最大値原理じゃくさいだいちげんりである。強最大値原理きょうさいだいちげんりの証明しょうめいはこの講義こうぎの射程外しゃていがいであり、ここでは補足命題ほそくめいだいとして位置付いちづける。

5弱最大値原理じゃくさいだいちげんりの証明しょうめいの核かく

証明しょうめいの発想はっそうは、内部最大ないぶさいだいでは二階微分にかいびぶんの和わが正せいになれない、という事実じじつである。まず滑なめらかな関数かんすう $v$ が内部点ないぶてんで最大値さいだいちを取とるなら、その点てんで二階偏導関数行列にかいへんびぶんかんすうぎょうれつ Hessian は負半定値ふはんていちである。したがって

Δ v [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] 0

である。

一方いっぽう、 $u$ が調和関数ちょうわかんすうなら $Δ u = 0$ であり、この条件じょうけんだけでは直ただちに矛盾むじゅんを導みちびけない。そこで

v_{ε} (x) = u (x) + ε | x |^{2}

を導入どうにゅうする。 $n$ 次元じげんでは

Δ v_{ε} = 2 n ε > 0

である。もし $v_{ε}$ が内部ないぶで最大値さいだいちを取とれば、内部最大ないぶさいだいの必要条件ひつようじょうけんから $Δ v_{ε} [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] 0$ となり矛盾むじゅんする。したがって $v_{ε}$ の最大値さいだいちは境界きょうかいで達成たっせいされる。 $R = \max_{x \in \overline{Ω}} | x |$ とすれば

\max_{\overline{Ω}} u [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] \max_{\partial Ω} u + ε R^{2}

となる。最後さいごに $ε ↓ 0$ として最大値さいだいちの主張しゅちょうを得える。 $- u$ に同おなじ議論ぎろんを適用てきようすれば最小値さいしょうちの主張しゅちょうも従したがう。

この議論ぎろんは厳密げんみつには有界開集合ゆうかいかいしゅうごう、閉包上へいほうじょうの連続性れんぞくせい、内部ないぶでの $C^{2}$ 正則性せいそくせいを仮定かていする。定理ていりの強化版きょうかばんでは、楕円型作用素だえんがたさようその係数条件けいすうじょうけんも確認かくにんする。

6重要性じゅうようせい

maximum principle は、解かいの一意性いちいせいや安定性あんていせいの証明しょうめいに使用しようされる。明示解めいじかいが得えられない場合ばあいであっても、解かいの範囲はんいを制御せいぎょできる。

7一意性いちいせいへの応用おうよう

同おなじ境界値きょうかいちを持もつ二ふたつの調和関数ちょうわかんすう $u, v$ があるとする。 $w = u - v$ とおくと、 $Δ w = 0$ であり、境界きょうかいでは $w = 0$ である。maximum principle により $w$ の最大値さいだいちも最小値さいしょうちも 0 であるため、 $w = 0$ 、すなわち $u = v$ である。

8境界値きょうかいちに対たいする安定性あんていせい

調和関数ちょうわかんすう $u_{1}, u_{2}$ の境界値きょうかいちをそれぞれ $g_{1}, g_{2}$ とする。 $w = u_{1} - u_{2}$ とおけば $w$ と $- w$ に maximum principle を適用てきようできるため、

\sup_{x \in Ω} | u_{1} (x) - u_{2} (x) | [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] \sup_{x \in \partial Ω} | g_{1} (x) - g_{2} (x) |

を得える。したがって、境界値きょうかいちの一様いちような微小変化びしょうへんかは内部ないぶで増幅ぞうふくされない。これが maximum principle による安定性あんていせいである。

9heat 方程式ほうていしきの場合ばあい

$Ω$ を空くうでない有界開集合ゆうかいかいしゅうごう、 $T > 0$ とし、 $Q_{T} = Ω \times (0, T]$ と置おく。放物型境界ほうぶつがたきょうかいを

\partial_{p} Q_{T} = (\overline{Ω} \times {0}) \cup (\partial Ω \times [0, T])

と定義ていぎする。終時刻しゅうじこくの上面じょうめん $Ω \times {T}$ は放物型境界ほうぶつがたきょうかいに含ふくめない。 $κ > 0$ 、 $u \in C (\overline{Q_{T}}) \cap C^{2, 1} (Q_{T})$ が $u_{t} - κ Δ u = 0$ を満みたすなら、

\max_{\overline{Q_{T}}} u = \max_{\partial_{p} Q_{T}} u, \min_{\overline{Q_{T}}} u = \min_{\partial_{p} Q_{T}} u

である。ここで $C^{2, 1}$ は空間くうかんについて二回にかい、時間じかんについて一回いっかい連続微分可能れんぞくびぶんかのうであることを表あらわす。

証明しょうめいでは $v_{ε} = u - ε t$ とおく。すると

(v_{ε})_{t} - κ Δ v_{ε} = - ε < 0

である。 $v_{ε}$ が $\overline{Q_{T}} ∖ \partial_{p} Q_{T}$ で最大値さいだいちを取とるなら、その点てんで $(v_{ε})_{t} [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"ge\")")] 0$ かつ $Δ v_{ε} [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] 0$ となり、上式じょうしきに矛盾むじゅんする。したがって

\max_{\overline{Q_{T}}} u [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] \max_{\partial_{p} Q_{T}} u + ε T

であり、 $ε ↓ 0$ とすれば最大値さいだいちの主張しゅちょうを得える。 $- u$ に適用てきようすれば最小値さいしょうちの主張しゅちょうも従したがう。同おなじ議論ぎろんを二ふたつの解かいの差さに適用てきようすれば、放物型境界ほうぶつがたきょうかいのデータに対たいする $L^{\infty}$ 安定性あんていせいも得えられる。

たとえば $0 < x < L$ 、 $0 < t [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] T$ で $u_{t} - κ u_{x x} = 0$ とし、 $0 [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] t [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] T$ における $u (0, t), u (L, t)$ と $0 [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] x [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] L$ における $u (x, 0)$ がすべて $0$ から $100$ の範囲はんいに入はいるなら、内部ないぶの温度おんどもその範囲はんいを逸脱いつだつしない。物理的ぶつりてきには、新あたらしい熱源ねつげんが内部ないぶにないため、境界きょうかいと初期状態しょきじょうたいが範囲はんいを制御せいぎょすると解釈かいしゃくできる。

10比較例ひかくれい: 波動方程式はどうほうていしき

波動方程式はどうほうていしきでは、初期速度しょきそくどにより内部ないぶの値あたいが後あとから大おおきくなることがある。双曲型そうきょくがたでは最大値さいだいちの支配しはいより、有限伝播速度ゆうげんでんぱそくどとエネルギー保存ほぞんが中心ちゅうしんになる。したがって maximum principle は PDE 全般ぜんぱんの性質せいしつではなく、楕円型だえんがた・放物型ほうぶつがたに特徴的とくちょうてきな原理げんりである。

11直感図ちょっかんずとしての説明せつめい

Laplace 方程式ほうていしきの解かいを薄膜はくまくの高たかさとして解釈かいしゃくする。境界きょうかいを固定こていし、内部ないぶに支柱しちゅうや力ちからを置おかない場合ばあい、膜まくの内部ないぶに境界きょうかいより高たかい山やまは形成けいせいされない。この図式ずしきは厳密証明げんみつしょうめいの代替だいたいではないが、境界支配きょうかいしはいの直感ちょっかんを与あたえる。

12どこまで成立せいりつするか

maximum principle は方程式ほうていしきの型かたと係数けいすうの条件じょうけんに依存いぞんする。双曲型そうきょくがたの波動方程式はどうほうていしきでは、同おなじ形式けいしきでは成立せいりつしない。

点てんごとの最大値制御さいだいちせいぎょを確認かくにんしたので、次つぎは領域全体りょういきぜんたいの積分量せきぶんりょうを使つかう energy method へ進すすむ。

data/lecture/math/partial-differential-equations/introduction-to-energy-methods.lecture.n.md

Fundamentals of the Maximum Principle

1Introduction

This lecture explains how boundary and initial data control the extrema of solutions to the Laplace and heat equations.

2Terminology and Definition

For the Laplace equation and the homogeneous heat equation considered here, a maximum principle states that extrema cannot arise freely in the interior. General elliptic and parabolic operators require additional hypotheses, including uniform ellipticity and suitable sign conditions determined by the operator convention and lower-order terms.

3Strategy

As physical intuition, a solution of $Δ u = 0$ describes an equilibrium without an interior source. Mathematically, the principle asserts that no interior value can lie outside the range prescribed by the boundary values.

4Weak Maximum Principle

Let $Ω \subset R^{n}$ be a nonempty bounded open set, and suppose

u \in C (\overline{Ω}) \cap C^{2} (Ω), Δ u = 0.

Then the maximum and minimum are attained on $\partial Ω$ :

\max_{\overline{Ω}} u = \max_{\partial Ω} u, \min_{\overline{Ω}} u = \min_{\partial Ω} u .

If $Ω$ is also connected, the strong maximum principle states that an interior maximum or minimum forces $u$ to be constant throughout $Ω$ . The perturbation argument below proves only the weak principle. The strong principle is included as a supplementary result whose proof lies outside the scope of this lecture.

5Core Proof of the Weak Principle

If a smooth function $v$ attains a maximum at an interior point, its Hessian there is negative semidefinite. Therefore

Δ v [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] 0.

For harmonic $u$ , introduce

v_{ε} (x) = u (x) + ε | x |^{2.}

In $n$ dimensions,

Δ v_{ε} = 2 n ε > 0.

Thus $v_{ε}$ cannot attain its maximum in the interior, because the necessary condition there would give $Δ v_{ε} [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] 0$ . Its maximum is therefore attained on the boundary. Setting

R = \max_{x \in \overline{Ω}} | x |

gives

\max_{\overline{Ω}} u [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] \max_{\partial Ω} u + ε R^{2.}

Letting $ε ↓ 0$ proves the maximum assertion. Applying the same argument to $- u$ proves the minimum assertion. This proof uses boundedness of the domain, continuity on its closure, and $C^{2}$ regularity in the interior. Extensions to general elliptic operators require additional coefficient assumptions.

6Importance

Maximum principles establish uniqueness and stability and control the range of a solution even when no explicit formula is available.

7Application to Uniqueness

Let $u$ and $v$ be harmonic functions with identical boundary values. Then $w = u - v$ satisfies $Δ w = 0$ and $w = 0$ on the boundary. The maximum principle makes both the maximum and minimum of $w$ equal to zero, so $w = 0$ and hence $u = v$ .

8Stability with Respect to Boundary Data

Let harmonic functions $u_{1}$ and $u_{2}$ have boundary values $g_{1}$ and $g_{2}$ , respectively. Applying the maximum principle to $w = u_{1} - u_{2}$ and $- w$ gives

\sup_{x \in Ω} | u_{1} (x) - u_{2} (x) | [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] \sup_{x \in \partial Ω} | g_{1} (x) - g_{2} (x) | .

Thus a uniformly small perturbation of the boundary data is not amplified in the interior. This estimate is the stability consequence of the maximum principle.

9The Heat Equation

Let $Ω$ be a nonempty bounded open set, $T > 0$ , and

Q_{T} = Ω \times (0, T] .

Define the parabolic boundary by

\partial_{p} Q_{T} = (\overline{Ω} \times {0}) \cup (\partial Ω \times [0, T]) .

The upper surface $Ω \times {T}$ is not part of the parabolic boundary. If $κ > 0$ and

u \in C (\overline{Q_{T}}) \cap C^{2, 1} (Q_{T}), u_{t} - κ Δ u = 0,

then

\max_{\overline{Q_{T}}} u = \max_{\partial_{p} Q_{T}} u, \min_{\overline{Q_{T}}} u = \min_{\partial_{p} Q_{T}} u .

Here $C^{2, 1}$ means twice continuously differentiable in space and once continuously differentiable in time. To prove the assertion, set $v_{ε} = u - ε t$ . Then

(v_{ε})_{t} - κ Δ v_{ε} = - ε < 0.

If $v_{ε}$ attained a maximum away from the parabolic boundary, then $(v_{ε})_{t} [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"ge\")")] 0$ and $Δ v_{ε} [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] 0$ there, contradicting the displayed inequality. Hence

\max_{\overline{Q_{T}}} u [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] \max_{\partial_{p} Q_{T}} u + ε T .

Letting $ε ↓ 0$ proves the maximum assertion, and applying it to $- u$ proves the minimum assertion. Applying the same argument to the difference of two solutions also gives $L^{\infty}$ stability with respect to their parabolic-boundary data.

For example, suppose $u_{t} - κ u_{x x} = 0$ for $0 < x < L$ and $0 < t [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] T$ . If $u (0, t)$ and $u (L, t)$ lie between $0$ and $100$ for $0 [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] t [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] T$ , and $u (x, 0)$ lies in the same interval for $0 [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] x [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] L$ , then every interior temperature remains in that interval. Physically, the absence of a new interior heat source explains why the boundary and initial state control the range.

10Comparison with the Wave Equation

For the wave equation, initial velocity can make later interior values larger than all initial displacements. Hyperbolic equations are governed instead by finite propagation and energy conservation. A maximum principle of the form above is therefore characteristic of elliptic and parabolic equations, not of all PDEs.

11Membrane Interpretation

Interpret a harmonic function as the height of a membrane. If the boundary is fixed and there is no interior support or force, the membrane cannot form an interior peak higher than its boundary. This interpretation provides intuition for boundary control but does not replace the proof.

12Scope of Validity

A maximum principle depends on the equation type and coefficient assumptions. It does not hold in the same form for the hyperbolic wave equation.

13Related Lectures

The next lecture replaces pointwise maximum control with integral estimates over the domain.