Fourier 変換へんかんと PDE

date2026-07-15document_iddoc_02a2536de94f8a3da86698fa38543abedescriptionFourier 変換を、全空間上の PDE を周波数ごとの代数方程式または ODE へ変換する方法として整理する。prerequisites変数分離法と Fourier 級数 / フーリエ変換の基礎type講義content_typelecturestatusactive

mathpartial-differential-equationsfourier-transformlecture

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、Fourier 変換へんかんにより空間微分くうかんびぶんを周波数しゅうはすうの積せきへ変換へんかんし、全空間上ぜんくうかんじょうの定数係数ていすうけいすう PDE を周波数しゅうはすうごとの問題もんだいへ分解ぶんかいする方法ほうほうを説明せつめいする。

2方針ほうしん

全空間ぜんくうかんの非周期問題ひしゅうきもんだいでは、Fourier 級数きゅうすうより Fourier 変換へんかんが自然しぜんである。微分びぶんは周波数変数しゅうはすうへんすうの乗算じょうざんへ移行いこうするため、定数係数ていすうけいすうの熱方程式ねつほうていしきや波動方程式はどうほうていしきを周波数しゅうはすうごとに解析かいせきできる。

3微分びぶんが乗算じょうざんになる理由りゆう

Fourier 変換へんかんを

\hat{f} (ξ) = \int_{R} f (x) e^{- i x ξ} d x

で定義ていぎする。この節せつでは、前提講義ぜんていこうぎで定義ていぎした Schwartz 関数かんすう $f \in [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"mathcal\")")] S (R)$ を仮定かていする。このとき $f$ とすべての導関数どうかんすうが急減少きゅうげんしょうするため、積分せきぶんは絶対収束ぜったいしゅうそくし、部分積分ぶぶんせきぶんの境界項きょうかいこうは 0 になる。

\hat{f^{'}} (ξ) = \int_{R} f^{'} (x) e^{- i x ξ} d x

である。部分積分ぶぶんせきぶんにより

\int_{R} f^{'} (x) e^{- i x ξ} d x = {[f (x) e^{- i x ξ}]}_{{- \infty}^{\infty}} + i ξ \int_{R} f (x) e^{- i x ξ} d x

となる。境界項きょうかいこうが 0 なら

\hat{f^{'}} (ξ) = i ξ \hat{f} (ξ)

である。もう一度いちど適用てきようすると

\hat{f^{'}'} (ξ) = (i ξ)^{2} \hat{f} (ξ) = - ξ^{2} \hat{f} (ξ)

を得える。したがって、空間微分くうかんびぶんを含ふくむ PDE は周波数しゅうはすうごとの代数式だいすうしきまたは ODE へ変換へんかんされる。

4代表例だいひょうれい

熱拡散率ねつかくさんりつ $κ > 0$ とする。熱方程式ねつほうていしき $u_{t} = κ u_{x x}$ を $x$ で Fourier 変換へんかんすると、

\partial_{t} \hat{u} = - κ ξ^{2} \hat{u}

となる。ここでは $t \mapsto u (\cdot, t)$ が Schwartz 関数空間かんすうくうかん $[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"mathcal\")")] S (R)$ に値あたいを取とる $C^{1}$ 写像しゃぞうであると仮定かていする。すなわち $u (\cdot, t)$ と $u_{t} (\cdot, t)$ が空間方向くうかんほうこうに急減少きゅうげんしょうし、 $t$ に関かんして連続的れんぞくてきに変化へんかする。この十分条件じゅうぶんじょうけんのもとで $\partial_{t} \hat{u} = \hat{u_{t}}$ と交換こうかんできる。これは $t$ に関かんする ODE であり、高周波こうしゅうはほど速はやく減衰げんすいすることを示しめす。あとで構成こうせいする $u = G_{t} * f$ は、 $f \in [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"mathcal\")")] S (R)$ なら $t > 0$ でこの条件じょうけんを満みたす。

5Fourier 級数きゅうすうとの相違そうい

Fourier 級数きゅうすうは有界区間ゆうかいくかんや周期関数しゅうきかんすうを離散的りさんてきな周波数しゅうはすうへ分解ぶんかいする。Fourier 変換へんかんは全空間ぜんくうかんの関数かんすうを連続的れんぞくてきな周波数しゅうはすうへ分解ぶんかいする。境界きょうかいがある問題もんだいでは Fourier 級数きゅうすう、全空間ぜんくうかんでは Fourier 変換へんかんが自然しぜんである。

6heat kernel への接続せつぞく

$f \in [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"mathcal\")")] S (R)$ とし、初期条件しょきじょうけん $u (x, 0) = f (x)$ の Fourier 変換へんかんを $\hat{f} (ξ)$ とすると、

\hat{u} (ξ, t) = e^{- κ ξ^{2} t} \hat{f} (ξ)

である。逆変換ぎゃくへんかんすると、解かいは heat kernel と $f$ の畳たたみ込こみで表現ひょうげんされる。これは初期分布しょきぶんぷが Gaussian 核かくで平均化へいきんかされることを意味いみする。

heat kernel の式しきは、Gaussian の Fourier 変換へんかんから導出どうしゅつされる。逆変換ぎゃくへんかんの定数ていすうを

f (x) = \frac{1}{2 π} \int_{R} \hat{f} (ξ) e^{i x ξ} d ξ

とする規約きやくでは、

\frac{1}{2 π} \int_{R} e^{- κ t ξ^{2}} e^{i x ξ} d ξ = \frac{1}{\sqrt{4 π κ t}} e^{- x^{2} / (4 κ t)}

である。具体的ぐたいてきには $η = \sqrt{κ t} ξ$ と置おくと、Jacobian と評価点ひょうかてんの scaling を含ふくめて

\frac{1}{2 π \sqrt{κ t}} \int_{R} e^{- η^{2}} e^{i (x / \sqrt{κ t}) η} d η = \frac{1}{\sqrt{4 π κ t}} e^{- x^{2} / (4 κ t)}

となる。これは前提講義ぜんていこうぎで証明しょうめいした Gaussian の Fourier 変換へんかんを scaling した結果けっかである。したがって $e^{- κ t ξ^{2}}$ の逆変換ぎゃくへんかんが heat kernel になる。

7全空間ぜんくうかんの熱方程式ねつほうていしきを解とく

$κ > 0$ 、 $f \in [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"mathcal\")")] S (R)$ とし、問題もんだいを

u_{t} = κ u_{x x}, x \in R, t > 0, u (x, 0) = f (x)

とする。未知関数みちかんすうは $u (x, t)$ 、独立変数どくりつへんすうは空間くうかん $x$ と時間じかん $t$ 、定義域ていぎいきは全実線ぜんじっせんである。Fourier 変換へんかんを $x$ に関かんして適用てきようすると、空間微分くうかんびぶんは

\hat{u_{x x}} (ξ, t) = - ξ^{2} \hat{u} (ξ, t)

へ移行いこうする。したがって周波数しゅうはすうごとに

\partial_{t} \hat{u} (ξ, t) = - κ ξ^{2} \hat{u} (ξ, t), \hat{u} (ξ, 0) = \hat{f} (ξ)

を解とけばよい。解かいは

\hat{u} (ξ, t) = e^{- κ ξ^{2} t} \hat{f} (ξ)

である。逆変換ぎゃくへんかんにより

u (x, t) = \frac{1}{\sqrt{4 π κ t}} \int_{R} e^{- (x - y)^{2} / (4 κ t)} f (y) d y

となる。核かく

G_{t} (x) = \frac{1}{\sqrt{4 π κ t}} e^{- x^{2} / (4 κ t)}

が heat kernel である。 $t > 0$ では $G_{t}$ のすべての微分びぶんが積分可能せきぶんかのうであり、直接計算ちょくせつけいさんにより

\partial_{t} G_{t} (x) = (- \frac{1}{2 t} + \frac{x^{2}}{4 κ t^{2}}) G_{t} (x) = κ \partial_{x x} G_{t} (x)

を得える。したがって積分下せきぶんかで微分びぶんして

u_{t} = (\partial_{t} G_{t}) * f = κ (\partial_{x x} G_{t}) * f = κ u_{x x}

を確認かくにんできる。また $\int_{R} G_{t} (x) d x = 1$ であり、任意にんいの $δ > 0$ に対たいして $\int_{| x | > δ} G_{t} (x) d x \to 0$ となるので、 $t ↓ 0$ で質量しつりょうは原点付近げんてんふきんへ集中しゅうちゅうする。したがって $G_{t}$ は近似恒等族きんじこうとうぞくをなし、Schwartz 関数かんすう $f$ に対たいして $G_{t} * f \to f$ が各点かくてんかつ $L^{2}$ で成立せいりつする。これにより積分表示せきぶんひょうじが初期条件しょきじょうけんを回復かいふくすることまで確認かくにんできる。

8比較例ひかくれい: 境界きょうかいがある場合ばあい

区間くかん $0 < x < L$ で Dirichlet 条件じょうけんを課かすと、全空間ぜんくうかんの平行移動対称性へいこういどうたいしょうせいは失うしなわれる。この場合ばあい、連続周波数れんぞくしゅうはすう $ξ$ ではなく、境界条件きょうかいじょうけんに適合てきごうする離散りさんモード $\sin (n π x / L)$ を使用しようする。Fourier 変換へんかんと Fourier 級数きゅうすうの選択せんたくは、領域りょういきと境界条件きょうかいじょうけんで決きまる。

9反例はんれいまたは限界げんかい

係数けいすうが $x$ に依存いぞんする $u_{t} = (a (x) u_{x})_{x}$ では、Fourier 変換へんかんを適用てきようしても単純たんじゅんな乗算じょうざんには変換へんかんされない。 $x$ 側がわの積せきが周波数側しゅうはすうがわの畳たたみ込こみになるため、異ことなる周波数しゅうはすうが結合けつごうし、定数係数ていすうけいすうの場合ばあいと同おなじ手順てじゅんでは完結かんけつしない。

10どこまで成立せいりつするか

Fourier 変換へんかんは領域りょういきや境界条件きょうかいじょうけんに強つよく依存いぞんする。有界区間ゆうかいくかんでは、Fourier 級数きゅうすうや固有関数展開こゆうかんすうてんかいが自然しぜんになる。

明示解めいじかいを計算けいさんできない場合ばあいでも解かいの最大値さいだいちや安定性あんていせいを評価ひょうかするため、次つぎに maximum principle へ進すすむ。

data/lecture/math/partial-differential-equations/maximum-principle-basics.lecture.n.md

Fourier Transforms and PDEs

1Introduction

This lecture explains how the Fourier transform converts spatial differentiation into multiplication by frequency and thereby decomposes a constant-coefficient PDE on the whole space into independent frequency problems.

2Strategy

For nonperiodic problems on the whole space, the Fourier transform is more natural than a Fourier series. Since differentiation becomes multiplication by the frequency variable, constant-coefficient heat and wave equations can be analyzed frequency by frequency.

3Why Differentiation Becomes Multiplication

Use the convention

\hat{f} (ξ) = \int_{R} f (x) e^{- i x ξ} d x .

Assume $f \in [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"mathcal\")")] S (R)$ , the Schwartz class defined in the prerequisite lecture. Then $f$ and all its derivatives decay rapidly, so the integrals converge absolutely and integration by parts has no boundary contribution. Hence

\hat{f^{'}} (ξ) = \int_{R} f^{'} (x) e^{- i x ξ} d x = i ξ \hat{f} (ξ)

and

\hat{f^{'}'} (ξ) = - ξ^{2} \hat{f} (ξ) .

Thus a PDE containing spatial derivatives becomes an algebraic equation or an ODE at each frequency.

4Representative Example

Let $κ > 0$ . Transforming $u_{t} = κ u_{x x}$ in $x$ gives

\partial_{t} \hat{u} = - κ ξ^{2} \hat{u} .

For this calculation, assume that $t \mapsto u (\cdot, t)$ is a $C^{1}$ map with values in $[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"mathcal\")")] S (R)$ . This condition permits interchange of the time derivative and Fourier transform. The transformed equation is an ODE in $t$ , and it shows that higher frequencies decay faster. If $f \in [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"mathcal\")")] S (R)$ , the solution $u = G_{t} * f$ constructed below satisfies these conditions for $t > 0$ .

5Difference from Fourier Series

A Fourier series decomposes a periodic function or a function on a bounded interval into discrete frequencies. A Fourier transform decomposes a function on the whole space into continuous frequencies. Boundary-value problems naturally lead to Fourier series or other eigenfunction expansions, whereas translation-invariant whole-space problems naturally lead to Fourier transforms.

6Connection to the Heat Kernel

For $f \in [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"mathcal\")")] S (R)$ and $u (x, 0) = f (x)$ ,

\hat{u} (ξ, t) = e^{- κ ξ^{2} t} \hat{f} (ξ) .

With the inverse-transform convention

f (x) = \frac{1}{2 π} \int_{R} \hat{f} (ξ) e^{i x ξ} d ξ,

the Gaussian Fourier-transform formula proved in the prerequisite lecture gives

\frac{1}{2 π} \int_{R} e^{- κ t ξ^{2}} e^{i x ξ} d ξ = \frac{1}{\sqrt{4 π κ t}} e^{- x^{2} / (4 κ t)} .

More explicitly, setting $η = \sqrt{κ t} ξ$ accounts for both the Jacobian and the scaled evaluation point:

\frac{1}{2 π \sqrt{κ t}} \int_{R} e^{- η^{2}} e^{i (x / \sqrt{κ t}) η} d η = \frac{1}{\sqrt{4 π κ t}} e^{- x^{2} / (4 κ t)} .

This is the scaled Gaussian Fourier-transform formula proved in the prerequisite lecture. Therefore the inverse transform of $e^{- κ t ξ^{2}}$ is the heat kernel, and convolution with it averages the initial distribution against a Gaussian.

7Solving the Whole-Space Heat Equation

Consider

u_{t} = κ u_{x x}, x \in R, t > 0, u (x, 0) = f (x),

where $κ > 0$ and $f \in [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"mathcal\")")] S (R)$ . The unknown is $u (x, t)$ , the independent variables are space $x$ and time $t$ , and the spatial domain is the entire real line. Transforming in $x$ produces

\partial_{t} \hat{u} (ξ, t) = - κ ξ^{2} \hat{u} (ξ, t), \hat{u} (ξ, 0) = \hat{f} (ξ),

whose solution is

\hat{u} (ξ, t) = e^{- κ ξ^{2} t} \hat{f} (ξ) .

Inverting yields

u (x, t) = \frac{1}{\sqrt{4 π κ t}} \int_{R} e^{- (x - y)^{2} / (4 κ t)} f (y) d y = (G_{t} * f) (x),

where

G_{t} (x) = \frac{1}{\sqrt{4 π κ t}} e^{- x^{2} / (4 κ t)} .

For $t > 0$ , all derivatives of $G_{t}$ are integrable, and direct calculation gives

\partial_{t} G_{t} (x) = (- \frac{1}{2 t} + \frac{x^{2}}{4 κ t^{2}}) G_{t} (x) = κ \partial_{x x} G_{t} (x) .

Differentiation under the integral therefore verifies

u_{t} = (\partial_{t} G_{t}) * f = κ (\partial_{x x} G_{t}) * f = κ u_{x x} .

Moreover, $\int_{R} G_{t} (x) d x = 1$ , and for every $δ > 0$ ,

\int_{| x | > δ} G_{t} (x) d x ⟶ 0 (t ↓ 0) .

Thus $G_{t}$ is an approximate identity. For Schwartz $f$ , $G_{t} * f \to f$ pointwise and in $L^{2}$ , so the integral representation recovers the initial condition.

8Comparison: Problems with Boundaries

On $0 < x < L$ with Dirichlet conditions, the boundary destroys translation invariance. The appropriate frequencies are then the discrete modes $\sin (n π x / L)$ rather than the continuous variable $ξ$ . The domain and boundary conditions determine whether a Fourier transform, Fourier series, or another eigenfunction expansion is appropriate.

9Limitation

For a variable-coefficient equation

u_{t} = (a (x) u_{x})_{x},

the Fourier transform does not reduce the spatial operator to simple multiplication. Products in $x$ become convolutions in frequency, coupling distinct frequencies. The constant-coefficient procedure therefore does not close in the same way.

10Scope of Validity

The appropriate spectral representation depends strongly on the domain and boundary conditions. On bounded intervals, Fourier series and eigenfunction expansions are generally more natural.

11Related Lectures

data/lecture/math/analysis/introduction-to-fourier-transform.lecture.n.md data/lecture/math/partial-differential-equations/separation-of-variables-and-fourier-series.lecture.n.md

When an explicit solution is unavailable, maximum principles can still estimate its maximum and stability.