変数分離法へんすうぶんりほうと Fourier 級数きゅうすう

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、変数分離法へんすうぶんりほうを、境界条件きょうかいじょうけんに適合てきごうする空間くうかんモードへ PDE を分解ぶんかいする方法ほうほうとして解説かいせつする。

2用語ようごと定義ていぎ

変数分離法へんすうぶんりほうSeparation of variables は、$$u(x,t)=X\left(x\right)T\left(t\right)$$u(x,t)=X(x)T(t) のように未知関数みちかんすうを一変数関数いちへんすうかんすうの積せきとして仮定かていし、PDE を ODE 群ぐんへ分解ぶんかいする方法ほうほうである。

Fourier 級数きゅうすうFourier series は、関数かんすうを互たがいに直交ちょっこうする三角関数さんかくかんすうの級数きゅうすうとして展開てんかいする表現ひょうげんである。このページでは $$0<x<L$$0<x<L の零れい Dirichlet 境界条件きょうかいじょうけんに適合てきごうする sine 級数きゅうすうを扱あつかう。

3方針ほうしん

境界条件きょうかいじょうけんから空間方向くうかんほうこうの固有値問題こゆうちもんだいが現あらわれる。その固有関数こゆうかんすうを基底きていとして初期条件しょきじょうけんを展開てんかいし、時間方向じかんほうこうの ODE を解とく。

4分離定数ぶんりていすうが現あらわれる理由りゆう

$$u(x,t)=X\left(x\right)T\left(t\right)$$u(x,t)=X(x)T(t) という非零解ひれいかいを代入だいにゅうし、$$X\left(x\right)T\left(t\right)\ne 0$$X(x)T(t)\ne0 となる領域りょういきで両辺りょうへんを $$XT$$XT で割わると、一方いっぽうは $$x$$x だけの関数かんすう、他方たほうは $$t$$t だけの関数かんすうになる。独立どくりつに変化へんかする $$x,t$$x,t のすべてで等ひとしいため、両方りょうほうは同一どういつの定数ていすうでなければならない。この定数ていすうが分離定数ぶんりていすうである。零点れいてんを含ふくむ区間くかんでは、導出どうしゅつした線形せんけい ODE とその解かいの一意性いちいせいにより、非零領域ひれいりょういきで得えた同一どういつの定数ていすうを保持ほじして延長えんちょうする。

5典型例てんけいれい

区間くかん $$0<x<L$$0<x<L の熱方程式ねつほうていしきで $$u(0,t)=u(L,t)=0$$u(0,t)=u(L,t)=0 とすると、空間くうかんモードは $$\sin (n\pi x/L)$$\sin(n\pi x/L) になる。初期分布しょきぶんぷを sine 級数きゅうすうで展開てんかいし、それぞれのモードが時間じかんとともに減衰げんすいする。

波動方程式はどうほうていしきで同おなじ境界条件きょうかいじょうけんを課かすと、空間くうかんモードは同おなじく $$\sin (n\pi x/L)$$\sin(n\pi x/L) になる。ただし時間方向じかんほうこうは指数減衰しすうげんすいではなく、$$\cos (cn\pi t/L)$$\cos(cn\pi t/L) と $$\sin (cn\pi t/L)$$\sin(cn\pi t/L) の振動しんどうになる。熱ねつと波なみの差さは、同おなじ空間固有値くうかんこゆうちに対たいする時間方程式じかんほうていしきの差さとして現あらわれる。

6具体例ぐたいれい 1: 熱方程式ねつほうていしき

熱拡散率ねつかくさんりつ $$\kappa >0$$\kappa>0 とし、問題もんだいを

とする。$$u=XT$$u=XT を代入だいにゅうすると、

である。境界条件きょうかいじょうけんから、空間方向くうかんほうこうには

という固有値問題こゆうちもんだいが現あらわれる。ここでは実数値じっすうちのモード $$X$$X を考かんがえる。この式しきに $$X$$X を掛かけて部分積分ぶぶんせきぶんすると、非零解ひれいかいでは

である。したがって $$\lambda =0$$\lambda=0 や $$\lambda <0$$\lambda<0 からは非零ひれいの固定端こていたんモードが生しょうじず、$$\lambda >0$$\lambda>0 の場合ばあいだけを解とけばよい。固有関数こゆうかんすうの任意にんいの非零定数倍ひれいていすうばいは同おなじ固有空間こゆうくうかんに属ぞくするため、その代表だいひょうを

と選えらべる。時間方向じかんほうこうは $$T_n\left(t\right)=e^{-\kappa {\lambda }_{n}t}$$T_n(t)=e^{-\kappa\lambda_n t} となる。初期条件しょきじょうけんは

により決定けっていする。ここでは、$$L^2(0,L)$$L^2(0,L) の sine 系けいが完全かんぜんであるという Fourier 級数きゅうすうの完全性定理かんぜんせいていりを用もちいる。この定理ていりは、$$f$$f を $$(-L,L)$$(-L,L) へ奇延長きえんちょうし、Fourier 系けいの $$L^2$$L^2 完全性かんぜんせいを適用てきようすることで得えられる。直交性ちょっこうせい

を用もちいた。$${\delta }_{nm}$$\delta_{nm} は $$n=m$$n=m なら 1、$$n\ne m$$n\ne m なら 0 となる Kronecker のデルタである。したがって形式的けいしきてきには

である。$$f\in L^2(0,L)$$f\in L^2(0,L) なら sine 級数きゅうすうは $$L^2$$L^2 の意味いみで $$f$$f を表あらわす。ここで $$L^2(0,L)$$L^2(0,L) は $${\int }_0^L\left|f\right(x){|}^{2}dx<\mathrm{\infty }$$\int_0^L|f(x)|^2dx<\infty を満みたす関数かんすうの空間くうかんであり、「二乗平均にじょうへいきんの誤差ごさが 0 へ近ちかづく」という収束しゅうそくを使つかう。任意にんいの $$t>0$$t>0 では指数因子しすういんしが高周波こうしゅうはを強つよく抑おさえるため、空間くうかん・時間じかんについて項別微分こうべつびぶんでき、滑なめらかな古典解こてんかいになる。一方いっぽう、$$t=0$$t=0 まで各点かくてんで初期条件しょきじょうけんを満みたす古典解こてんかいとして延長えんちょうするには、$$f$$f の追加正則性ついかせいそくせいと $$f\left(0\right)=f\left(L\right)=0$$f(0)=f(L)=0 などの境界適合条件きょうかいてきごうじょうけんが必要ひつようである。

7具体例ぐたいれい 2: 波動方程式はどうほうていしき

波速はそく $$c>0$$c>0 とし、同おなじ区間くかんと固定端こていたんで

を扱あつかう。空間くうかんモードは熱方程式ねつほうていしきと同一どういつだが、時間方程式じかんほうていしきは

となる。したがって形式的けいしきてきには

である。係数けいすうは

である。$$d_n$$d_n の分母ぶんぼは、$$u_t(x,0)$$u_t(x,0) を計算けいさんすると sine の係数けいすうが $$(cn\pi /L)d_n$$(cn\pi/L)d_n になることから決きまる。波動方程式はどうほうていしきには熱方程式ねつほうていしきの指数的しすうてきな高周波減衰こうしゅうはげんすいがない。したがって、この級数きゅうすうを古典解こてんかいとして二回にかい項別微分こうべつびぶんするには、微分後びぶんごの級数きゅうすうが収束しゅうそくするだけの Fourier 係数けいすうの減衰げんすいと、使用しようする導関数どうかんすうに必要ひつようなすべての端点適合条件たんてんてきごうじょうけんが必要ひつようである。$$f\left(0\right)=f\left(L\right)=g\left(0\right)=g\left(L\right)=0$$f(0)=f(L)=g(0)=g(L)=0 は必要ひつような低階ていかいの適合条件てきごうじょうけんだが、それだけで古典解こてんかいの存在そんざいを保証ほしょうする完全かんぜんな定理ていりではない。より低正則性ていせいそくせいのデータでは、級数きゅうすうの収束しゅうそくと方程式ほうていしきを満みたす意味いみを別べつに指定していする必要ひつようがある。

8固有値問題こゆうちもんだいと直交性ちょっこうせい

境界条件きょうかいじょうけんが空間演算子くうかんえんざんしの定義域ていぎいきを定さだめ、その固有値問題こゆうちもんだいを規定きていする。固定端こていたんでは $$-\frac{d^2}{d{x}^2}$$-\frac{d^2}{dx^2} の固有関数こゆうかんすうが sine 関数かんすうになり、それらが直交ちょっこうするため初期条件しょきじょうけんを係数けいすうへ分解ぶんかいできる。Neumann 条件じょうけんなら cosine と定数ていすうモード、周期境界条件しゅうききょうかいじょうけんなら複素指数関数ふくそしすうかんすうが自然しぜんになる。変数分離へんすうぶんりは境界条件きょうかいじょうけんに適合てきごうする固有関数系こゆうかんすうけいを構成こうせいし、完全性かんぜんせいが成立せいりつする場合ばあいに基底きていとして用もちいる手続てつづきである。

9限界げんかい

領域りょういきや係数けいすうが複雑ふくざつで、積せきの形かたち $$X\left(x\right)T\left(t\right)$$X(x)T(t) に分解ぶんかいできない場合ばあいがある。非線形ひせんけい PDE でも重かさね合あわせが成立せいりつしないため、Fourier 級数きゅうすうによる単純たんじゅんな展開てんかいは使用しようしにくい。

10よくある誤あやまり

• 境界条件きょうかいじょうけんを確認かくにんせず、任意にんいの Fourier 展開てんかいを使用しようする。
• 固有値問題こゆうちもんだいと Fourier 級数きゅうすうの関係かんけいを切断せつだんする。
• 級数解きゅうすうかいの収束しゅうそくや境界きょうかいでの挙動きょどうを確認かくにんしない。

11関連かんれんリンク

Separation of Variables and Fourier Series

1Introduction

This lecture explains separation of variables as a method that decomposes a PDE into spatial modes compatible with its boundary conditions.

2Terminology and Definitions

Separation of variables assumes a product form such as $u(x,t)=X\left(x\right)T\left(t\right)$u(x,t)=X(x)T(t) and decomposes a PDE into ordinary differential equations. A Fourier series represents a function as a series of mutually orthogonal trigonometric functions. We use sine series adapted to homogeneous Dirichlet conditions on $0<x<L$0<x<L.

3Strategy

The boundary conditions determine a spatial eigenvalue problem. We expand the initial data in its eigenfunctions and solve the corresponding time-dependent ODE for each coefficient.

4Why a Separation Constant Appears

After substituting a nonzero product $u(x,t)=X\left(x\right)T\left(t\right)$u(x,t)=X(x)T(t) and dividing by $XT$XT where it is nonzero, one side depends only on $x$x and the other only on $t$t. Because $x$x and $t$t vary independently, both sides must equal one constant, called the separation constant. On intervals containing zeros, uniqueness for the resulting linear ODEs extends the solutions while preserving the same constant obtained on the nonzero regions.

5Typical Models

For the heat equation on $0<x<L$0<x<L with $u(0,t)=u(L,t)=0$u(0,t)=u(L,t)=0, the spatial modes are $\sin (n\pi x/L)$\sin(n\pi x/L). The initial distribution is expanded in a sine series, and every mode decays with time.

For the wave equation under the same boundary conditions, the spatial modes are identical, but the time factors oscillate as $\cos (cn\pi t/L)$\cos(cn\pi t/L) and $\sin (cn\pi t/L)$\sin(cn\pi t/L) rather than decaying exponentially. The difference between heat and waves therefore appears in the time equation associated with the same spatial eigenvalue.

6Example 1: The Heat Equation

Let $\kappa >0$\kappa>0 and consider

Substitution of $u=XT$u=XT gives

The spatial problem is

For real-valued $X$X, multiplication by $X$X and integration by parts show that every nonzero mode satisfies

Thus neither $\lambda =0$\lambda=0 nor $\lambda <0$\lambda<0 yields a nonzero fixed-end mode. Since every nonzero scalar multiple spans the same eigenspace, representatives of the eigenfunctions and their eigenvalues may be chosen as

with $T_n\left(t\right)=e^{-\kappa {\lambda }_{n}t}$T_n(t)=e^{-\kappa\lambda_n t}. To expand the initial condition, we invoke the completeness theorem stating that the sine system is complete in $L^2(0,L)$L^2(0,L). It follows by extending $f$f oddly to $(-L,L)$(-L,L) and applying $L^2$L^2 completeness of the Fourier system. Thus

This formula uses

where ${\delta }_{nm}$\delta_{nm} is the Kronecker delta. Formally,

If $f\in L^2(0,L)$f\in L^2(0,L), meaning ${\int }_0^L\left|f\right(x){|}^{2}dx<\mathrm{\infty }$\int_0^L|f(x)|^2dx<\infty, its sine series represents $f$f in the $L^2$L^2 sense: the mean-square error tends to zero. For every $t>0$t>0, exponential suppression of high frequencies permits termwise spatial and temporal differentiation and produces a smooth classical solution. Extension to a pointwise classical solution at $t=0$t=0 requires additional regularity and compatibility such as $f\left(0\right)=f\left(L\right)=0$f(0)=f(L)=0.

7Example 2: The Wave Equation

Let $c>0$c>0 and consider

The spatial modes are the same as for the heat equation, while the time equation is

Thus, formally,

where

The denominator of $d_n$d_n follows because the sine coefficient of $u_t(x,0)$u_t(x,0) is $(cn\pi /L)d_n$(cn\pi/L)d_n. Unlike the heat equation, the wave equation has no exponential high-frequency decay. Twice differentiating the series termwise as a classical solution therefore requires decay of the Fourier coefficients sufficient for the differentiated series to converge, together with all endpoint compatibility conditions required by those derivatives. Conditions such as $f\left(0\right)=f\left(L\right)=g\left(0\right)=g\left(L\right)=0$f(0)=f(L)=g(0)=g(L)=0 are necessary low-order compatibility conditions but are not by themselves a complete classical-solvability theorem. For weaker data, one must specify both the convergence and the sense in which the equation is satisfied.

8Eigenvalue Problems and Orthogonality

Boundary conditions determine the domain of the spatial operator and hence its eigenvalue problem. With fixed endpoints, the eigenfunctions of $-d^2/d{x}^2$-d^2/dx^2 are sine functions. Their orthogonality decomposes the initial data into coefficients. Neumann conditions instead produce cosine functions and a constant mode, while periodic conditions naturally produce complex exponentials. Separation of variables therefore constructs an eigenfunction system compatible with the boundary conditions and uses it as a basis when the relevant completeness theorem applies.

9Limitations

Complicated domains or coefficients may prevent a product decomposition $X\left(x\right)T\left(t\right)$X(x)T(t). For nonlinear PDEs, superposition also fails, so a simple Fourier-series expansion may not apply.

10Common Errors

• Choosing a Fourier expansion without checking the boundary conditions.
• Separating the eigenvalue problem from the reason the Fourier series appears.
• Ignoring convergence of the series solution or its behavior at the boundary.

11Related Lectures