二階線形にかいせんけい PDE の分類ぶんるい

date2026-07-16document_iddoc_81d376f88ff17ce0094b1c94c0e9b6e1description二変数の二階線形 PDE を主部の符号で点ごとに分類し、特性方向・標準形・典型的性質の適用条件を整理する。prerequisitesPDE とは何か / PDE の初期値問題と境界値問題 / 接平面・連鎖律・Jacobian / 二次形式と正定値行列type講義content_typelecturestatusactive

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1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、二変数にへんすうの二階線形にかいせんけい PDE を最高階微分さいこうかいびぶんから点てんごとに分類ぶんるいし、特性方向とくせいほうこうと標準形ひょうじゅんけいを判定はんていする方法ほうほうを説明せつめいする。楕円型だえんがた・放物型ほうぶつがた・双曲型そうきょくがたという名前なまえは典型的てんけいてきな平衡へいこう・拡散かくさん・伝播でんぱを予想よそうする手掛てがかりになるが、型かただけで存在そんざい・一意性いちいせい・安定性あんていせいを保証ほしょうするものではない。

この判別量はんべつりょうによる三分類さんぶんるいは独立変数どくりつへんすうが 2 個この場合ばあいを扱あつかう。より多おおくの変数へんすうでは、主係数行列しゅけいすうぎょうれつの固有値こゆうちの符号ふごうを数かぞえる一般化いっぱんかが必要ひつようになる。

2一般形いっぱんけいと主部しゅぶ

領域りょういき $Ω \subset R^{2}$ で、実数値じっすうちの連続係数れんぞくけいすうを持もつ方程式ほうていしき

A u_{x x} + 2 B u_{x y} + C u_{y y} + D u_{x} + E u_{y} + F u = G

を考かんがえる。 $A, \dots, F, G$ は $(x, y)$ の既知関数きちかんすうであり、 $u$ やその微分びぶんには依存いぞんしない。このことが $u$ に関かんする線形性せんけいせいを意味いみする。分類ぶんるいに使つかう主部しゅぶPrincipal partは

A u_{x x} + 2 B u_{x y} + C u_{y y}

であり、主係数行列しゅけいすうぎょうれつは

M (x, y) = (\begin{matrix} A & B \\ B & C \end{matrix})

である。 $D, E, F, G$ は解かいの具体形ぐたいけいや適切性てきせつせいに影響えいきょうするが、型かたは $M$ だけで決きまる。

3判別量はんべつりょうと三分類さんぶんるい

点てん $(x, y)$ で

δ = B^{2} - A C = - \det M

と置おく。 $M \neq 0$ 、すなわち $A, B, C$ がすべて 0 ではない点てんでは、次つぎのように分類ぶんるいする。

判別条件はんべつじょうけん	型かた	$M$ の符号構造ふごうこうぞう	実特性方向じつとくせいほうこう
$δ < 0$	楕円型だえんがたElliptic	正定値せいていちまたは負定値ふていち	なし
$δ = 0$ かつ $M \neq 0$	放物型ほうぶつがたParabolic	rank 1 の半正定値はんせいていちまたは半負定値はんふていち	重複ちょうふくする 1 方向ほうこう
$δ > 0$	双曲型そうきょくがたHyperbolic	不定値ふていち	異ことなる 2 方向ほうこう

$A = B = C = 0$ なら $δ = 0$ でも二階主部にかいしゅぶがなく、放物型ほうぶつがたとは呼よべない。係数けいすうが変化へんかする場合ばあい、これは領域全体りょういきぜんたいではなく各点かくてんでの分類ぶんるいである。

4代表方程式だいひょうほうていしきの計算けいさん

Laplace 方程式ほうていしき

u_{x x} + u_{y y} = 0

では $A = C = 1, B = 0$ なので $δ = - 1 < 0$ であり、楕円型だえんがたである。

熱方程式ねつほうていしきを $(x, t)$ の順じゅんで

u_{t} - κ u_{x x} = 0, κ > 0

と書かくと、 $A = - κ, B = C = 0$ で $δ = 0$ 、 $M$ は rank 1 なので放物型ほうぶつがたである。 $u_{t}$ は一階項いっかいこうなので型かたの判定はんていには入はいらないが、時間発展じかんはってんの向むきを決きめる重要じゅうような項こうである。

波動方程式はどうほうていしきを

u_{t t} - c^{2} u_{x x} = 0, c > 0

と書かくと、 $A = - c^{2}, B = 0, C = 1$ なので $δ = c^{2} > 0$ であり、双曲型そうきょくがたである。

5座標変換ざひょうへんかんで型かたが保たもたれる理由りゆう

新あたらしい座標関数ざひょうかんすう $(ξ, η) = (ξ (x, y), η (x, y))$ を $C^{2}$ 級きゅうとし、その Jacobian 行列ぎょうれつを $J$ とする。 $\det J \neq 0$ の点てんでは逆関数定理ぎゃくかんすうていりにより局所座標きょくしょざひょうとして使つかえ、新座標しんざひょうでの主係数行列しゅけいすうぎょうれつは

\tilde{M} = J M J^{T}

という合同変換ごうどうへんかんを受うける。したがって

\det \tilde{M} = (\det J)^{2} \det M

となり、 $δ = - \det M$ の符号ふごうは変かわらない。可変係数かへんけいすうの方程式ほうていしきを変換へんかんすると座標ざひょうの二階微分にかいびぶんから低階項ていかいこうも生しょうじるが、主部しゅぶの型かたは非特異ひとくいな座標変換ざひょうへんかんで保たもたれる。特異とくいな変換へんかんではこの結論けつろんを使つかえない。

6特性曲線とくせいきょくせんとの関係かんけい

曲線きょくせん $ϕ (x, y) = constant$ に垂直すいちょくな法線方向ほうせんほうこうは、勾配こうばい $(ϕ_{x}, ϕ_{y})$ で表あらわせる。この曲線きょくせんが主部しゅぶに対たいして特性的とくせいてきCharacteristicである条件じょうけんは

A ϕ_{x^{2}} + 2 B ϕ_{x} ϕ_{y} + C ϕ_{y^{2}} = 0

である。接方向せつほうこうを $(d x, d y)$ と書かけば、同おなじ条件じょうけんは同次式どうじしき

A (d y)^{2} - 2 B d x d y + C (d x)^{2} = 0

になる。この形かたちは垂直すいちょくな曲線きょくせんも扱あつかえる。曲線きょくせんを $y = y (x)$ と書かけ、 $m = d y / d x$ とすれば法線ほうせんは $(- m, 1)$ に比例ひれいするので、

A m^{2} - 2 B m + C = 0

を得える。 $A \neq 0$ なら、これは有限ゆうげんな傾かたむき $m$ の二次方程式にじほうていしきであり、判別式はんべつしきは $4 (B^{2} - A C) = 4 δ$ である。 $A = 0$ では二次項にじこうが消きえ、 $B \neq 0$ なら一次式いちじしき、 $B = 0$ なら定数式ていすうしきになるため、 $d x = 0$ の垂直方向すいちょくほうこうを傾かたむき $m$ で表あらわせない場合ばあいがある。そのときは同次式どうじしきへ戻もどるか、 $x = x (y)$ の表示ひょうじを使つかう。射影的しゃえいてきな方向全体ほうこうぜんたいを数かぞえれば、上うえの三分類さんぶんるいと実特性方向じつとくせいほうこうの本数ほんすうが一致いっちする。

熱方程式ねつほうていしきでは $m = d t / d x = 0$ が重根じゅうこんなので、 $t = constant$ は二階主部にかいしゅぶに対たいする特性曲線とくせいきょくせんである。それでも $t = 0$ に 1 個この初期値しょきちを置おいて前向まえむき発展はってんを考かんがえられるのは、 $u_{t}$ が一階いっかいで残のこる放物型発展構造ほうぶつがたはってんこうぞうによる。前講義ぜんこうぎの一階準線形いっかいじゅんせんけい PDE における非特性条件ひとくせいじょうけんと、この二階主部にかいしゅぶの特性条件とくせいじょうけんを同おなじ規則きそくとして扱あつかってはならない。

data/lecture/math/partial-differential-equations/method-of-characteristics.lecture.n.md

7標準形ひょうじゅんけいへの入口いりぐち

一点いってんでは、非特異ひとくいな線形座標変換せんけいざひょうへんかんと、必要ひつようなら方程式全体ほうていしきぜんたいへの $- 1$ 倍ばいにより、主部しゅぶを次つぎの形かたちに正規化せいきかできる。

型かた	主部しゅぶの標準形ひょうじゅんけい
楕円型だえんがた	$u_{ξ ξ} + u_{η η}$
放物型ほうぶつがた	$u_{ξ ξ}$
双曲型そうきょくがた	$u_{ξ ξ} - u_{η η}$ 、または特性座標とくせいざひょうで $u_{ξ η}$

可変係数かへんけいすうの方程式ほうていしきを近傍全体きんぼうぜんたいで標準形ひょうじゅんけいへ移うつすには、係数けいすうの正則性せいそくせい、型かたが一定いっていであること、局所座標きょくしょざひょうの存在そんざいを別べつに確認かくにんする。大域的たいいきてきな標準化ひょうじゅんかは自動的じどうてきには従したがわない。

8型かたから予想よそうできることとできないこと

型かたは問題設定もんだいせっていと解法かいほうを選えらぶ入口いりぐちである。ただし次つぎの対応たいおうは、代表的だいひょうてきな追加仮定ついかかていのもとで成立せいりつする。

型かた	典型像てんけいぞう	必要ひつようになる追加条件ついかじょうけんの例れい
楕円型だえんがた	境界値きょうかいちと内部平衡ないぶへいこう、maximum principle	一様楕円性いちようだえんせい、低階係数ていかいけいすうの符号ふごう、領域りょういきと境界条件きょうかいじょうけん
放物型ほうぶつがた	前向まえむき時間発展じかんはってんと平滑化へいかつか	拡散係数かくさんけいすうの正せいの下限かげん、時間方向じかんほうこう、係数けいすうと初期境界条件しょききょうかいじょうけん
双曲型そうきょくがた	有限速度ゆうげんそくどの伝播でんぱと energy	異ことなる実特性方向じつとくせいほうこうが保たもたれること、適切てきせつな時間面じかんめん、係数けいすうの正則性せいそくせい

領域りょういきで一様楕円性いちようだえんせいUniform ellipticityを仮定かていするとは、領域全体りょういきぜんたいで固定こていした $σ \in {1, - 1}$ と定数ていすう $0 < λ_{0} [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] Λ_{0} < \infty$ があり、すべての $ζ \in R^{2}$ に対たいして

λ_{0} | ζ |^{2} [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] ζ^{T} (σ M) ζ [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] Λ_{0} | ζ |^{2}

が各点かくてんで成立せいりつすることを意味いみする。これは固有値こゆうちの符号ふごうを領域全体りょういきぜんたいでそろえ、0 と無限大むげんだいの両方りょうほうから一様いちように隔へだてる条件じょうけんである。このような一様性いちようせいは、型かたごとの評価ひょうかを領域全体りょういきぜんたいで使つかうときに重要じゅうようである。

たとえば前向まえむき熱方程式ねつほうていしきと後うしろ向むき熱方程式ねつほうていしきは主部しゅぶの同おなじ放物型分類ほうぶつがたぶんるいを持もつが、安定性あんていせいは同おなじではない。また楕円型だえんがたというだけで、任意にんいの境界条件きょうかいじょうけんが一意解いちいかいを定さだめるとは限かぎらない。初期条件しょきじょうけん・境界条件きょうかいじょうけん・適切性てきせつせいは、型かたとは別べつに問題全体もんだいぜんたいで確認かくにんする。

data/lecture/math/partial-differential-equations/initial-and-boundary-value-problems.lecture.n.md

9反例はんれいまたは限界げんかい

係数けいすうが場所ばしょで変化へんかする方程式ほうていしきでは、領域全体りょういきぜんたいで型かたが一定いっていとは限かぎらない。たとえば

y u_{x x} + u_{y y} = 0

では $A = y, B = 0, C = 1$ なので $δ = - y$ である。したがって $y > 0$ で楕円型だえんがた、 $y < 0$ で双曲型そうきょくがた、 $y = 0$ で rank 1 の放物型ほうぶつがたになる。 $y = 0$ は型変化線かたへんかせんであり、一様性いちようせいが失うしなわれるため、片側かたがわで使つかえる評価ひょうかや解法かいほうをそのまま横断的おうだんてきに適用てきようできない。

10よくある誤あやまり

$2 B u_{x y}$ という係数規約けいすうきやくを確認かくにんせず、 $B^{2} - A C$ へ別べつの $B$ を代入だいにゅうする。交差項こうさこうを $B u_{x y}$ と書かく規約きやくでは、主係数行列しゅけいすうぎょうれつの非対角成分ひたいかくせいぶんは $B / 2$ になる。
$δ = 0$ だけを見みて、 $A = B = C = 0$ の退化たいかした式しきまで放物型ほうぶつがたと呼よぶ。
型かたを確認かくにんしただけで、境界条件きょうかいじょうけん、時間方向じかんほうこう、係数けいすうの正則性せいそくせいを調しらべずに適切性てきせつせいを結論けつろんする。
一点いってんでの分類ぶんるいを領域全体りょういきぜんたいへ広ひろげ、型変化かたへんかや一様性いちようせいを見落みおとす。

Classification of Second-Order Linear PDEs

1Introduction

This lecture explains how to classify a second-order linear PDE in two variables pointwise from its highest-order derivatives and how to determine its characteristic directions and canonical form. The terms elliptic, parabolic, and hyperbolic suggest typical equilibrium, diffusion, and propagation behavior, but the type alone does not guarantee existence, uniqueness, or stability.

The discriminant classification presented here applies to two independent variables. In higher dimensions, it is generalized by counting the signs of the eigenvalues of the principal coefficient matrix.

2General form and principal part

On a domain $Ω \subset R^{2}$ , consider an equation with real-valued continuous coefficients,

A u_{x x} + 2 B u_{x y} + C u_{y y} + D u_{x} + E u_{y} + F u = G .

Here $A, \dots, F, G$ are prescribed functions of $(x, y)$ and do not depend on $u$ or its derivatives; this is the meaning of linearity in $u$ . The {principal part} used for classification is

A u_{x x} + 2 B u_{x y} + C u_{y y},

with principal coefficient matrix

M (x, y) = (\begin{matrix} A & B \\ B & C \end{matrix}) .

The terms $D, E, F, G$ affect the particular form and well-posedness of solutions, but the type is determined by $M$ alone.

3Discriminant and the three types

At a point $(x, y)$ , set

δ = B^{2} - A C = - \det M .

At points where $M \neq 0$ , equivalently where $A, B, C$ are not all zero, the classification is as follows.

Discriminant condition	Type	Sign structure of $M$	Real characteristic directions
$δ < 0$	{Elliptic}	positive or negative definite	none
$δ = 0$ and $M \neq 0$	{Parabolic}	positive or negative semidefinite of rank 1	one repeated direction
$δ > 0$	{Hyperbolic}	indefinite	two distinct directions

If $A = B = C = 0$ , then the second-order principal part is absent, so the equation is not called parabolic even though $δ = 0$ . When the coefficients vary, the classification is pointwise rather than automatically valid throughout the domain.

4Computations for representative equations

For Laplace's equation

u_{x x} + u_{y y} = 0,

one has $A = C = 1$ and $B = 0$ , so $δ = - 1 < 0$ and the equation is elliptic.

Write the heat equation in the variable order $(x, t)$ as

u_{t} - κ u_{x x} = 0, κ > 0.

Then $A = - κ$ and $B = C = 0$ , so $δ = 0$ and $M$ has rank 1; the equation is parabolic. The term $u_{t}$ is first order and therefore does not enter the classification, although it is essential in determining the direction of time evolution.

For the wave equation

u_{t t} - c^{2} u_{x x} = 0, c > 0,

one has $A = - c^{2}$ , $B = 0$ , and $C = 1$ , so $δ = c^{2} > 0$ and the equation is hyperbolic.

5Why the type is preserved under coordinate changes

Let the new coordinate functions $(ξ, η) = (ξ (x, y), η (x, y))$ be of class $C^{2}$ , and let $J$ be their Jacobian matrix. At a point where $\det J \neq 0$ , the inverse function theorem makes them local coordinates, and the principal coefficient matrix in the new coordinates is transformed by congruence:

\tilde{M} = J M J^{T} .

Consequently,

\det \tilde{M} = (\det J)^{2} \det M,

so the sign of $δ = - \det M$ is unchanged. Transforming a variable-coefficient equation also produces lower-order terms from second derivatives of the coordinate functions, but the type of the principal part is preserved by a nonsingular coordinate change. This conclusion is unavailable for a singular transformation.

6Relation to characteristic curves

The normal direction to a curve $ϕ (x, y) = constant$ is the gradient $(ϕ_{x}, ϕ_{y})$ . The curve is {characteristic} for the principal part when

A ϕ_{x^{2}} + 2 B ϕ_{x} ϕ_{y} + C ϕ_{y^{2}} = 0.

Writing the tangent direction as $(d x, d y)$ gives the equivalent homogeneous condition

A (d y)^{2} - 2 B d x d y + C (d x)^{2} = 0.

This formulation also includes vertical curves. If the curve is written as $y = y (x)$ and $m = d y / d x$ , its normal is proportional to $(- m, 1)$ , and hence

A m^{2} - 2 B m + C = 0.

When $A \neq 0$ , this is a quadratic equation for the finite slope $m$ , with discriminant $4 (B^{2} - A C) = 4 δ$ . If $A = 0$ , the quadratic term disappears; the equation is linear when $B \neq 0$ and constant when $B = 0$ . A vertical direction $d x = 0$ may then be invisible in the slope coordinate $m$ . One must return to the homogeneous equation or use a representation $x = x (y)$ . Counting all projective directions yields the numbers of real characteristic directions in the classification table.

For the heat equation, $m = d t / d x = 0$ is a repeated root, so $t = constant$ is characteristic for the second-order principal part. Nevertheless, one initial value can be prescribed at $t = 0$ for forward evolution because the first-order term $u_{t}$ remains and creates the parabolic evolution structure. The non-characteristic condition for a first-order quasilinear PDE in the preceding lecture must not be identified with this characteristic condition for a second-order principal part.

data/lecture/math/partial-differential-equations/method-of-characteristics.lecture.n.md

7Entry point to canonical forms

At a single point, a nonsingular linear coordinate transformation, together with multiplication of the entire equation by $- 1$ when necessary, reduces the principal part to one of the following forms.

Type	Canonical form of the principal part
Elliptic	$u_{ξ ξ} + u_{η η}$
Parabolic	$u_{ξ ξ}$
Hyperbolic	$u_{ξ ξ} - u_{η η}$ , or $u_{ξ η}$ in characteristic coordinates

Reducing a variable-coefficient equation to canonical form throughout a neighborhood additionally requires sufficient coefficient regularity, constancy of type, and the existence of suitable local coordinates. A global reduction does not follow automatically.

8What the type does and does not predict

The type is an entry point for selecting a problem formulation and a method of solution. The following correspondences hold only under representative additional assumptions.

Type	Typical picture	Examples of additional conditions
Elliptic	boundary values and interior equilibrium; maximum principles	uniform ellipticity, signs of lower-order coefficients, domain and boundary conditions
Parabolic	forward time evolution and smoothing	a positive lower bound for the diffusion coefficient, time direction, coefficients and initial-boundary data
Hyperbolic	finite-speed propagation and energy methods	preservation of distinct real characteristic directions, an appropriate time surface, coefficient regularity

{Uniform ellipticity} on a domain means that there are a fixed $σ \in {1, - 1}$ and constants $0 < λ_{0} [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] Λ_{0} < \infty$ such that, at every point and for every $ζ \in R^{2}$ ,

λ_{0} | ζ |^{2} [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] ζ^{T} (σ M) ζ [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] Λ_{0} | ζ |^{2.}

This condition makes the eigenvalue signs consistent throughout the domain and keeps their magnitudes uniformly separated from both zero and infinity. Such uniformity is important when estimates associated with a type are applied over an entire domain.

For example, the forward and backward heat equations have the same parabolic principal-part classification, but their stability properties differ. Likewise, ellipticity alone does not imply that arbitrary boundary conditions determine a unique solution. Initial conditions, boundary conditions, and well-posedness must be assessed for the complete problem separately from its type.