Laplacian と物理応用ぶつりおうよう

date2026-07-15document_iddoc_ed20f0ae09615c4bc0a22c581572f5b3descriptionLaplacian とベクトル解析の恒等式を、熱伝導・波動・ポテンシャル論への接続として整理する。prerequisites勾配・発散・回転 / Green・Gauss・Stokes の定理type講義content_typelecturestatusactive

mathvector-calculuslaplacianlecture

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、Laplacian が局所平均きょくしょへいきんからの偏差へんさを特徴とくちょうづけ、拡散かくさん・波動はどう・ポテンシャルを記述きじゅつする中心的ちゅうしんてきな演算子えんざんしであることを説明せつめいする。

2用語ようごと定義ていぎ

$Ω \subset R^{n}$ を開集合かいしゅうごうとする。LaplacianLaplacian は、 $f \in C^{2} (Ω)$ であるスカラー場ばに対たいして

Δ f = \nabla \cdot \nabla f

で定義ていぎされる二階線形微分演算子にかいせんけいびぶんえんざんしである。 $R^{n}$ の直交座標ちょっこうざひょうでは

Δ f = \sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i^{2}}}

となる。以下いかでは Euclidean 空間くうかんのスカラー Laplacian を扱あつかう。前講義ぜんこうぎでは Gauss の発散定理はっさんていりから、 $Δ u$ の体積積分たいせきせきぶんが勾配こうばい $\nabla u$ の外向そとむき境界流束きょうかいりゅうそくに等ひとしいことを確認かくにんした。この講義こうぎでは、その局所的きょくしょてきな意味いみを平均値へいきんちとの関係かんけいから解説かいせつする。

3方針ほうしん

Laplacian は、一点いってんの値あたいと、その点てんを囲かこむ小球面しょうきゅうめんでの平均へいきんとの偏差へんさの主要項しゅようこうを与あたえる。この関係かんけいを Taylor 展開てんかいで導出どうしゅつしてから、熱方程式ねつほうていしき・波動方程式はどうほうていしき・Laplace 方程式ほうていしき・Poisson 方程式ほうていしきへ接続せつぞくする。

4局所平均きょくしょへいきんからの差さ

$f \in C^{2} (Ω)$ 、 $x \in Ω$ とし、 $x$ を中心ちゅうしんとする半径はんけい $r$ の閉球へいきゅうが $Ω$ に含ふくまれるとする。その境界球面きょうかいきゅうめんを $\partial B_{r} (x)$ と書かき、球面積きゅうめんせきで正規化せいきかした球面平均きゅうめんへいきんを

M_{r} f (x) = \frac{1}{| \partial B_{r} (x) |} \int_{\partial B_{r} (x)} f d S

と定義ていぎする。 $r \to 0$ で Taylor 展開てんかいすると、

M_{r} f (x) = f (x) + \frac{r^{2}}{2 n} Δ f (x) + o (r^{2})

を得える。ここで $o (r^{2})$ は、 $r \to 0$ で $o (r^{2}) / r^{2} \to 0$ を満みたす剰余項じょうよこうを表あらわす。一次いちじの項こうと二階偏導関数行列にかいへんびぶんかんすうぎょうれつ Hessian の非対角項ひたいかくこうは球面上きゅうめんじょうの対称性たいしょうせいで平均へいきんが 0 になり、対角項たいかくこうの和わだけが Laplacian として残のこる。

したがって $Δ f (x) > 0$ なら、主要項しゅようこうが剰余項じょうよこうを支配しはいする十分小じゅうぶんちいさい $r$ に対たいして、周囲しゅういの平均へいきんは中心ちゅうしんの値あたいより高たかい。 $Δ f (x) < 0$ なら逆ぎゃくである。ただし、一点いってんで $Δ f (x) = 0$ というだけでは、有限半径ゆうげんはんけいの平均へいきんと $f (x)$ が等ひとしいとは限かぎらない。

一次元いちじげんでは、Laplacian は二階微分にかいびぶんそのものであり、グラフの局所的きょくしょてきな凹凸おうとつを特徴とくちょうづける。高次元こうじげんでは、互たがいに直交ちょっこうする方向ほうこうの二階変化にかいへんかを合計ごうけいする。

$Δ f = 0$ が $\overline{B_{R} (x)}$ の近傍きんぼうで成立せいりつするとする。球面平均きゅうめんへいきんを単位球面たんいきゅうめん $S^{n - 1}$ 上じょうの積分せきぶんとして微分びぶんし、Gauss の発散定理はっさんていりを適用てきようすると、 $0 < r < R$ で

\frac{d}{d r} M_{r} f (x) = \frac{1}{| S^{n - 1} | r^{n - 1}} \int_{\partial B_{r} (x)} \nabla f \cdot n d S = \frac{1}{| S^{n - 1} | r^{n - 1}} \int_{B_{r} (x)} Δ f d V = 0

となる。したがって $M_{r} f (x)$ は $r$ に依存いぞんせず、 $r \to 0$ で $M_{r} f (x) \to f (x)$ であるため、すべての $0 < r < R$ において $M_{r} f (x) = f (x)$ が成立せいりつする。これが調和関数ちょうわかんすうの平均値性質へいきんちせいしつである。

5代表例だいひょうれい

以下いかでは、均質きんしつ・等方とうほう・定係数ていけいすうの最もっとも単純たんじゅんな古典こてんモデルと十分滑じゅうぶんなめらかな古典解こてんかいを考かんがえる。熱方程式ねつほうていしきでは空間くうかんについて $C^{2}$ 、時間じかんについて $C^{1}$ 、波動方程式はどうほうていしきでは空間くうかん・時間じかんについて $C^{2}$ 、Laplace・Poisson 方程式ほうていしきでは空間くうかんについて $C^{2}$ を仮定かていする。

熱拡散率ねつかくさんりつ $κ > 0$ を持もつ熱方程式ねつほうていしきは

u_{t} = κ Δ u

であり、温度おんどが周囲しゅういとの差さを均ならすように変化へんかすることを表あらわす。

Laplace 方程式ほうていしき

Δ u = 0

は、内部ないぶに源みなもとのない平衡状態へいこうじょうたいを表あらわす。この解かいが調和関数ちょうわかんすうである。

方程式ほうていしき	Laplacian の役割やくわり
熱方程式ねつほうていしき $u_{t} = κ Δ u$	周囲しゅういとの差さを均ならして温度おんどを拡散かくさんさせる
波動方程式はどうほうていしき $u_{t t} = c^{2} Δ u$	空間的くうかんてきな張力ちょうりょくや曲まがりを加速度かそくどへ変換へんかんする
Poisson 方程式ほうていしき $- Δ u = f$	ここではこの符号規約ふごうきやくを採用さいようし、源みなもと $f$ からポテンシャルを決定けっていする
Laplace 方程式ほうていしき $Δ u = 0$	源みなもとのない平衡へいこうを表あらわす

6調和関数ちょうわかんすうの例れい

$u (x, y) = x^{2} - y^{2}$ では $u_{x x} = 2$ 、 $u_{y y} = - 2$ であるため、 $Δ u = 0$ である。このような関数かんすうを調和関数ちょうわかんすうという。この関数かんすうは、その定義域内ていぎいきないに閉包へいほうが含ふくまれるすべての球きゅうで平均値性質へいきんちせいしつを満みたす。

別べつの例れいとして $u (x, y) = \log \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ は、原点げんてんを除のぞく領域りょういきで調和ちょうわである。ただし原点げんてんに特異点とくいてんがあるため、領域りょういきを指定していせずに全平面ぜんへいめんの調和関数ちょうわかんすうとして扱あつかってはならない。この例れいは Green 関数かんすうや基本解きほんかいへの入口いりぐちになる。

7座標系ざひょうけいによる式しきの変化へんか

二次元にじげんの直交座標ちょっこうざひょうでは $Δ f = f_{x x} + f_{y y}$ である。 $r > 0$ の極座標きょくざひょうでは

Δ f = f_{r r} + \frac{1}{r} f_{r} + \frac{1}{r^{2}} f_{θ θ}

となる。この式しきは $x = r \cos θ$ 、 $y = r \sin θ$ に連鎖律れんさりつを適用てきようし、 $f_{x x} + f_{y y}$ を整理せいりして導出どうしゅつできる。 $r = 0$ では極座標きょくざひょうそのものが特異とくいなので、この表示ひょうじをそのまま代入だいにゅうしない。同おなじ Euclidean Laplacian でも座標表示ざひょうひょうじは変化へんかし、 $1 / r$ などの項こうは座標変換ざひょうへんかんの結果けっかとして現あらわれる。

8単位たんいの確認かくにん

熱方程式ねつほうていしきで $u$ の単位たんいを $K$ 、長ながさの単位たんいを $m$ とすると、 $Δ u$ の単位たんいは $K / m^{2}$ である。 $κ$ の単位たんいが $m^{2} / s$ なら、 $κ Δ u$ は $K / s$ となり、 $u_{t}$ と一致いっちする。

9混同こんどうしやすい点てん

scalar Laplacian はスカラー場ばへ作用さようする。 $R^{3}$ の直交座標ちょっこうざひょうでは、 $C^{2}$ 級きゅうベクトル場ば $F$ の vector Laplacian を各成分かくせいぶんへスカラー Laplacian を作用さようさせて定義ていぎでき、

Δ F = \nabla (\nabla \cdot F) - \nabla \times (\nabla \times F)

が成立せいりつする。右辺うへんを各成分かくせいぶんで展開てんかいすると混合偏微分こんごうへんびぶんの項こうが相殺そうさいし、 $Δ F_{i}$ だけが残のこる。曲線座標きょくせんざひょうで「表示成分ひょうじせいぶんを単純たんじゅんに二階微分にかいびぶんする」だけでは、基底きていの変化へんかを落おとすため同おなじ演算子えんざんしにならない。

10どこまで成立せいりつするか

ここで扱あつかったのは Euclidean 空間くうかんの Laplacian と均質きんしつ・等方とうほうな定係数ていけいすうモデルである。不均質ふきんしつまたは異方的いほうてきな媒質ばいしつでは、たとえば $\nabla \cdot (A (x) \nabla u)$ のような可変係数演算子かへんけいすうえんざんしが現あらわれる。一般いっぱんの Riemann 多様体たようたいでは計量けいりょうから定さだまる Laplace--Beltrami 演算子えんざんしを用もちいる。また、平均値性質へいきんちせいしつは一点いってんの $Δ f = 0$ からではなく、球きゅうを含ふくむ領域りょういきでの調和性ちょうわせいから得えられる。

The Laplacian and Its Physical Applications

1Introduction

This lecture explains how the Laplacian characterizes deviation from a local average and serves as a central operator in the mathematical descriptions of diffusion, waves, and potentials.

2Terminology and Definition

Let $Ω \subset R^{n}$ be open. For a scalar field $f \in C^{2} (Ω)$ , the Laplacian is the second-order linear differential operator

Δ f = \nabla \cdot \nabla f .

In Cartesian coordinates on $R^{n}$ ,

Δ f = \sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i^{2}}} .

This lecture concerns the scalar Laplacian in Euclidean space. The preceding lecture used the divergence theorem to show that the volume integral of $Δ u$ equals the outward boundary flux of $\nabla u$ . Here, the local significance of this relation is explained through local averages.

3Strategy

The Laplacian supplies the leading term in the difference between the value at a point and the average over a small sphere surrounding that point. We first derive this relation from a Taylor expansion and then connect it to the heat, wave, Laplace, and Poisson equations.

4Deviation from a Local Average

Let $f \in C^{2} (Ω)$ and $x \in Ω$ , and suppose that the closed ball of radius $r$ centered at $x$ lies in $Ω$ . Define the spherical average by

M_{r} f (x) = \frac{1}{| \partial B_{r} (x) |} \int_{\partial B_{r} (x)} f d S .

A Taylor expansion as $r \to 0$ gives

M_{r} f (x) = f (x) + \frac{r^{2}}{2 n} Δ f (x) + o (r^{2}) .

Here $o (r^{2})$ denotes a remainder satisfying $o (r^{2}) / r^{2} \to 0$ as $r \to 0$ . The linear terms and the off-diagonal entries of the Hessian have zero spherical average by symmetry. The sum of its diagonal entries remains and equals the Laplacian. Consequently, if $Δ f (x) > 0$ , the leading term dominates the remainder and the surrounding average exceeds the central value for every sufficiently small $r$ ; if $Δ f (x) < 0$ , the inequality is reversed. The condition $Δ f (x) = 0$ at one point alone does not imply equality with an average over a ball of finite radius.

In one dimension, the Laplacian is the second derivative and characterizes the local concavity or convexity of a graph. In higher dimensions, it sums second-order changes in mutually orthogonal directions.

Suppose $Δ f = 0$ on a neighborhood of $\overline{B_{R} (x)}$ . Differentiating the spherical average after expressing it as an integral over the unit sphere, and then applying the divergence theorem, gives, for $0 < r < R$ ,

\frac{d}{d r} M_{r} f (x) = \frac{1}{| S^{n - 1} | r^{n - 1}} \int_{\partial B_{r} (x)} \nabla f \cdot n d S = \frac{1}{| S^{n - 1} | r^{n - 1}} \int_{B_{r} (x)} Δ f d V = 0.

Thus $M_{r} f (x)$ is independent of $r$ . Since $M_{r} f (x) \to f (x)$ as $r \to 0$ ,

f (x) = M_{r} f (x)

for every $0 < r < R$ . This identity is the mean-value property.

5Principal Equations

We consider the simplest homogeneous, isotropic, constant-coefficient classical models and solutions with sufficient regularity: $C^{2}$ in space and $C^{1}$ in time for the heat equation, $C^{2}$ in both space and time for the wave equation, and $C^{2}$ in space for the Laplace and Poisson equations.

For thermal diffusivity $κ > 0$ , the heat equation is

u_{t} = κ Δ u .

It describes the evolution of temperature toward its surrounding average. The Laplace equation

Δ u = 0

describes an equilibrium without an interior source, and its solutions are harmonic functions.

Equation	Role of the Laplacian
Heat equation $u_{t} = κ Δ u$	Diffuses temperature by reducing deviations from surrounding values
Wave equation $u_{t t} = c^{2} Δ u$	Converts spatial tension or curvature into acceleration
Poisson equation $- Δ u = f$	Determines a potential from the source $f$ under the sign convention used here
Laplace equation $Δ u = 0$	Describes a source-free equilibrium

6Examples of Harmonic Functions

For $u (x, y) = x^{2} - y^{2}$ , one has $u_{x x} = 2$ and $u_{y y} = - 2$ , hence $Δ u = 0$ . Thus $u$ is harmonic and satisfies the mean-value property on every ball contained in its domain.

Another example is

u (x, y) = \log \sqrt{x^{2} + y^{2}},

which is harmonic away from the origin. Because it has a singularity at the origin, it must not be described as harmonic on the entire plane. This example leads to Green functions and fundamental solutions.

7Dependence of the Formula on Coordinates

In two-dimensional Cartesian coordinates, $Δ f = f_{x x} + f_{y y}$ . In polar coordinates with $r > 0$ ,

Δ f = f_{r r} + \frac{1}{r} f_{r} + \frac{1}{r^{2}} f_{θ θ} .

This formula follows by applying the chain rule to $x = r \cos θ$ and $y = r \sin θ$ and simplifying $f_{x x} + f_{y y}$ . Polar coordinates are singular at $r = 0$ , so this expression cannot be substituted there directly. The Euclidean operator itself is unchanged, but its coordinate expression changes; terms such as $1 / r$ arise from the coordinate transformation.

8Dimensional Check

In the heat equation, suppose that $u$ is measured in $K$ and length in $m$ . Then $Δ u$ has units $K / m^{2}$ . If $κ$ has units $m^{2} / s$ , then $κ Δ u$ has units $K / s$ , which agrees with $u_{t}$ .

9Common Confusions

The scalar Laplacian acts on scalar fields. For a $C^{2}$ vector field $F$ in Cartesian coordinates on $R^{3}$ , the vector Laplacian may be defined componentwise, and

Δ F = \nabla (\nabla \cdot F) - \nabla \times (\nabla \times F) .

Expanding the right side componentwise cancels the mixed partial derivatives and leaves $Δ F_{i}$ in each component. In curvilinear coordinates, merely differentiating the displayed components twice omits the variation of the basis and therefore does not produce the same operator.

10Scope of Validity

The discussion above concerns the Euclidean Laplacian and homogeneous, isotropic, constant-coefficient models. In an inhomogeneous or anisotropic medium, a variable-coefficient operator such as $\nabla \cdot (A (x) \nabla u)$ may appear. On a general Riemannian manifold, the metric determines the Laplace--Beltrami operator. Moreover, the mean-value property follows from harmonicity on a region containing the ball, not merely from the equation $Δ f = 0$ at its center.