Green 関数かんすうの入口いりぐち

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、線形せんけい PDE の解かいを、点源てんげんに対たいする応答おうとうの重かさね合あわせとして構成こうせいする方法ほうほうを説明せつめいする。Green 関数かんすうは時間発展問題じかんはってんもんだいにも使用しようされるが、その場合ばあいは時間変数じかんへんすうと因果性いんがせいも扱あつかう必要ひつようがある。このページでは楕円型だえんがたの境界値問題きょうかいちもんだいに範囲はんいを限定げんていする。

2用語ようごと定義ていぎ

Green 関数かんすうGreen function は、線形微分演算子せんけいびぶんえんざんし $$L$$L、領域りょういき、境界条件きょうかいじょうけんを固定こていしたときの点源応答てんげんおうとうである。まず、斉次境界条件せいじきょうかいじょうけんを課かした $$L$$L が可逆かぎゃく、すなわち各入力かくにゅうりょくに対たいして解かいが一意いちいに決きまる場合ばあいを考かんがえる。点源てんげんの位置いちを $$\xi$$\xi、観測位置かんそくいちを $$x$$x とすると、$$x$$x に作用さようする演算子えんざんしについて

を満みたし、$$x$$x について指定していされた斉次境界条件せいじきょうかいじょうけんも満みたす。ここで $$\delta (x-\xi )$$\delta(x-\xi) は $$\xi$$\xi にある点源てんげんを表あらわし、通常つうじょうの関数かんすうではなく、積分せきぶんの中なかで

と作用さようする分布ぶんぷ（超関数ちょうかんすう、distribution）である。分布ぶんぷとは、通常つうじょうの関数値かんすうちではなく、滑なめらかで有界ゆうかいな範囲はんいの外そとでは 0 になる試験関数しけんかんすう $$\phi$$\varphi に積分せきぶんを通とおして作用さようする対象たいしょうである。

3方針ほうしん

線形性せんけいせいにより、一般いっぱんの入力にゅうりょくは点源てんげんの連続的れんぞくてきな重かさね合あわせとして扱あつかえる。Green 関数かんすうが既知きちなら、解かいは畳たたみ込こみや積分せきぶんで表現ひょうげんされる。

4注意ちゅうい

Green 関数かんすうは方程式ほうていしきだけでなく、領域りょういきと境界条件きょうかいじょうけんに依存いぞんする。同おなじ微分演算子びぶんえんざんしであっても、境界条件きょうかいじょうけんが異ことなれば Green 関数かんすうも異ことなる。また、斉次問題せいじもんだい $$Lv=0$$Lv=0 が零れいでない解かいを持もつと、$$L$$L をそのまま逆ぎゃくにできない。

例たとえば、$$\mathrm{\Omega }$$\Omega を連結れんけつで $$C^1$$C^1 境界きょうかいを持もつ有界領域ゆうかいりょういきとする。$$\mathrm{\Omega }$$\Omega における $$-\mathrm{\Delta }u=f$$-\Delta u=f の斉次せいじ Neumann 問題もんだいでは、定数関数ていすうかんすうが斉次解せいじかいになる。発散定理はっさんていりから可解条件かかいじょうけん

が必要ひつようであり、解かいは定数ていすうの差さを除のぞいてのみ決きまる。この場合ばあいは、通常つうじょうの $$-{\mathrm{\Delta }}_{x}G=\delta (x-\xi )$$-\Delta_xG=\delta(x-\xi) では両辺りょうへんの領域積分りょういきせきぶんが一致いっちしないため、修正版しゅうせいばん

を使つかう。$$-1/\left|\mathrm{\Omega }\right|$$-1/|\Omega| が右辺うへんの平均へいきんを 0 にし、最後さいごの条件じょうけんが Green 関数かんすうに定数ていすうを加くわえる自由度じゆうどを固定こていする。このように、核かくがある場合ばあいは入力にゅうりょくの適合条件てきごうじょうけんと解かいの正規化せいきかを組くみ込こむ必要ひつようがある。

5一次元いちじげん Poisson 問題もんだい

区間くかん $$0<x<1$$0<x<1 で、内部点源ないぶてんげんの位置いちを $$\xi \in (0,1)$$\xi\in(0,1) とし、

を考かんがえる。ここでは $$f$$f を連続関数れんぞくかんすうとする。Green 関数かんすう $$G(x,\xi )$$G(x,\xi) は、$$x=\xi$$x=\xi で傾かたむきが跳とび、境界きょうかいで 0 になる折線せっせんとして構成こうせいされる。Green 関数かんすうは

である。この式しきは、$$x=0,1$$x=0,1 で 0 になり、$$x=\xi$$x=\xi で連続れんぞくであり、傾かたむきの跳とびにより $$-G_{xx}=\delta (x-\xi )$$-G_{xx}=\delta(x-\xi) を表あらわす。右辺うへん $$f$$f を点源てんげんの重かさね合あわせと解釈かいしゃくすると、解かいは

で表現ひょうげんされる。これは各点かくてん $$\xi$$\xi の点源てんげんへの応答おうとうを重かさね合あわせる式しきである。実際じっさい、分布ぶんぷの意味いみで $$x$$x について演算子えんざんしを積分せきぶんの中なかへ作用さようさせると

となる。また $$G(0,\xi )=G(1,\xi )=0$$G(0,\xi)=G(1,\xi)=0 なので、積分せきぶんで得えた $$u$$u も境界条件きょうかいじょうけんを満みたす。$$f$$f が連続れんぞくなら、具体式ぐたいしきを区間くかんごとに直接微分ちょくせつびぶんして古典解こてんかいとしても確認かくにんできる。この二ふたつの確認かくにんにより、表現式ひょうげんしきが元もとの境界値問題きょうかいちもんだいを解とくことが分わかる。

6Green 関数かんすうの式しきを導出どうしゅつする

$$x\ne \xi$$x\ne \xi では点源てんげんがないため、$$-G_{xx}=0$$-G_{xx}=0 である。したがって $$G$$G は $$x<\xi$$x<\xi と $$x>\xi$$x>\xi の両側りょうがわで一次関数いちじかんすうになる。境界条件きょうかいじょうけん $$G(0,\xi )=G(1,\xi )=0$$G(0,\xi)=G(1,\xi)=0 を満みたすように

と置おく。$$x=\xi$$x=\xi で連続れんぞくであるため

が必要ひつようである。さらに $$-G_{xx}=\delta (x-\xi )$$-G_{xx}=\delta(x-\xi) を $$\xi -\epsilon$$\xi-\varepsilon から $$\xi +\epsilon$$\xi+\varepsilon まで積分せきぶんすると

を得える。ここで $$G_x(\xi -,\xi )=A$$G_x(\xi-,\xi)=A、$$G_x(\xi +,\xi )=-C$$G_x(\xi+,\xi)=-C だから

である。連続条件れんぞくじょうけんと跳躍条件ちょうやくじょうけんを連立れんりつして解とくと

となる。よって

が導出どうしゅつされる。

この具体式ぐたいしきは $$G(x,\xi )=G(\xi ,x)$$G(x,\xi)=G(\xi,x) を満みたす。この対称性たいしょうせいは、$$-d^2/d{x}^2$$-d^2/dx^2 と Dirichlet 境界条件きょうかいじょうけんの組くみ合あわせが積分せきぶんに関かんして対称たいしょうであることに対応たいおうする。実際じっさい、同おなじ零境界条件れいきょうかいじょうけんを満みたす $$v,w$$v,w に対たいして部分積分ぶぶんせきぶんすると

である。ただし、一般いっぱんの演算子えんざんしの Green 関数かんすうが常つねに対称たいしょうとは限かぎらない。

7具体例ぐたいれい: 一定荷重いっていかじゅう

$$f\left(\xi \right)=1$$f(\xi)=1 の場合ばあい、解かいは

である。これは $$-u^{\prime }\text{'}=1$$-u''=1、$$u\left(0\right)=u\left(1\right)=0$$u(0)=u(1)=0 を満みたす。直接積分ちょくせつせきぶんでも同おなじ解かいを得えるが、Green 関数かんすうを使用しようすると任意にんいの右辺みぎへん $$f$$f に対たいして同一どういつの核かくを再利用さいりようできる。

8図式ずしきとしての畳たたみ込こみ

全空間ぜんくうかんで平行移動対称性へいこういどうたいしょうせいがある場合ばあい、Green 関数かんすうは $$G(x-\xi )$$G(x-\xi) の形かたちになり、解かいは畳たたみ込こみ $$G*f$$G*f で表現ひょうげんされる。境界きょうかいがある場合ばあいは、$$x$$x と $$\xi$$\xi を別々べつべつに扱あつかう $$G(x,\xi )$$G(x,\xi) が必要ひつようである。この差さが fundamental solution と Green 関数かんすうの実用上じつようじょうの相違そういである。

9fundamental solution との相違そうい

基本解きほんかいFundamental solution は全空間ぜんくうかんで $$L\mathrm{\Phi }=\delta$$L\Phi=\delta を満みたす点源応答てんげんおうとうである。Green 関数かんすうは領域りょういきと境界条件きょうかいじょうけんを反映はんえいした点源応答てんげんおうとうであり、基本解きほんかいに斉次解せいじかいを加くわえて境界条件きょうかいじょうけんを合あわせて構成こうせいできる場合ばあいもある。したがって Green 関数かんすうの方ほうが境界値問題きょうかいちもんだいに適合てきごうする。

10関連かんれんリンク

ここまでで二階線形にかいせんけい PDE の性質せいしつと解かいの構成法こうせいほうを確認かくにんした。次つぎは一階いっかいの transport 方程式ほうていしきへ戻もどり、局所的きょくしょてきな流ながれから保存則ほぞんそくを導みちびく。

Introduction to Green Functions

1Introduction

This lecture explains how to construct solutions of linear PDEs by superposing responses to point sources. Green functions also apply to time-evolution problems, where time and causality require additional treatment. Here the scope is restricted to elliptic boundary-value problems.

2Terminology and Definition

A Green functionGreen function is the point-source response determined by a linear differential operator $L$L, a domain, and boundary conditions. First suppose that $L$L with homogeneous boundary conditions is invertible, so every admissible input determines a unique solution. If the source point is $\xi$\xi and the observation point is $x$x, then

and $G$G satisfies the prescribed homogeneous boundary conditions in the variable $x$x. The symbol $\delta (x-\xi )$\delta(x-\xi) denotes a point source at $\xi$\xi. It is a distribution rather than an ordinary function and acts under an integral by

A distribution is an object defined by its action on smooth test functions with compact support, rather than by ordinary pointwise values.

3Strategy

Linearity permits a general input to be represented as a continuous superposition of point sources. Once a Green function is known, the solution can be expressed by an integral or, in translation-invariant settings, by a convolution.

4Dependence on the Boundary-Value Problem

A Green function depends not only on the equation but also on the domain and boundary conditions. Different boundary conditions for the same differential operator generally produce different Green functions. Moreover, if the homogeneous problem $Lv=0$Lv=0 has a nonzero solution, then $L$L is not directly invertible.

For example, let $\mathrm{\Omega }$\Omega be a bounded connected domain with $C^1$C^1 boundary. For the homogeneous Neumann problem for $-\mathrm{\Delta }u=f$-\Delta u=f on $\mathrm{\Omega }$\Omega, constant functions lie in the kernel. The divergence theorem gives the necessary solvability condition

and the solution is determined only up to an additive constant. The unmodified equation $-{\mathrm{\Delta }}_{x}G=\delta (x-\xi )$-\Delta_xG=\delta(x-\xi) is incompatible after integration over the domain. One instead uses

The term $-1/\left|\mathrm{\Omega }\right|$-1/|\Omega| makes the right-hand side have zero mean, and the final condition fixes the freedom to add a constant to $G$G. Thus a nontrivial kernel requires both a compatibility condition on the input and a normalization of the solution.

5A One-Dimensional Poisson Problem

On $0<x<1$0<x<1, fix an interior source point $\xi \in (0,1)$\xi\in(0,1) and consider

where $f$f is continuous. The Green function is a piecewise-linear function that vanishes at the boundary and whose derivative jumps at $x=\xi$x=\xi:

This function vanishes at $x=0,1$x=0,1, is continuous at $x=\xi$x=\xi, and its derivative jump represents $-G_{xx}=\delta (x-\xi )$-G_{xx}=\delta(x-\xi). Interpreting $f$f as a superposition of point sources gives

Indeed, applying the operator under the integral in the distributional sense gives

Since $G(0,\xi )=G(1,\xi )=0$G(0,\xi)=G(1,\xi)=0, the integral also satisfies the boundary conditions. For continuous $f$f, differentiating the explicit piecewise integral verifies the equation classically as well.

6Derivation of the Green Function

For $x\ne \xi$x\ne\xi, there is no point source and $-G_{xx}=0$-G_{xx}=0. Hence $G$G is linear on each side of $\xi$\xi. Write

Continuity at $x=\xi$x=\xi requires

Integrating $-G_{xx}=\delta (x-\xi )$-G_{xx}=\delta(x-\xi) from $\xi -\epsilon$\xi-\varepsilon to $\xi +\epsilon$\xi+\varepsilon gives the jump condition

Because $G_x(\xi -,\xi )=A$G_x(\xi-,\xi)=A and $G_x(\xi +,\xi )=-C$G_x(\xi+,\xi)=-C, this condition is $A+C=1$A+C=1. Solving it together with continuity gives

which yields the stated formula for $G$G.

7Symmetry

The explicit formula satisfies $G(x,\xi )=G(\xi ,x)$G(x,\xi)=G(\xi,x). This symmetry corresponds to the symmetry of $-d^2/d{x}^2$-d^2/dx^2 with Dirichlet boundary conditions under the integral pairing. For functions $v,w$v,w satisfying the same homogeneous boundary conditions, integration by parts gives

Green functions for general operators need not be symmetric.

8Example: A Constant Load

For $f\left(\xi \right)=1$f(\xi)=1,

This solution satisfies $-u^{\prime }\text{'}=1$-u''=1 and $u\left(0\right)=u\left(1\right)=0$u(0)=u(1)=0. Direct integration gives the same result, but the Green function provides one kernel that can be reused for any right-hand side $f$f.

9Convolution and Translation Invariance

On the whole space, translation invariance can make a Green function depend only on $x-\xi$x-\xi. The solution then takes the convolution form $G*f$G*f. In a domain with a boundary, one generally needs a two-variable function $G(x,\xi )$G(x,\xi). This distinction separates the practical roles of a fundamental solution and a Green function.

10Difference from a Fundamental Solution

A fundamental solutionFundamental solution is a point-source response on the whole space satisfying $L\mathrm{\Phi }=\delta$L\Phi=\delta. A Green function incorporates a domain and boundary conditions. In some cases it can be constructed by adding a homogeneous solution to a fundamental solution so that the required boundary conditions are satisfied. Green functions are therefore adapted to boundary-value problems.

11Related Lectures

This completes the discussion of qualitative properties and solution constructions for second-order linear PDEs. The next lecture returns to first-order transport equations and derives conservation laws from local flow.