スカラー場ばとベクトル場ば

date2026-07-14document_iddoc_6720f5a98e9ab26caa4e69c990d40030descriptionスカラー場とベクトル場を、空間の各点へ量またはベクトルを対応させる写像として整理する。prerequisites多変数関数と偏微分 / ベクトルの基本演算type講義content_typelecturestatusactive

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1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、空間くうかんの各点かくてんに何なにを対応たいおうさせるかにより、スカラー場ばとベクトル場ばを区別くべつする。

2用語ようごと定義ていぎ

$U \subset R^{n}$ を開集合かいしゅうごうとする。スカラー場ばScalar field は、各点かくてんに数値すうちを対応たいおうさせる関数かんすう $f : U \to R$ である。温度おんどや圧力あつりょくが典型例てんけいれいである。

ベクトル場ばVector field は、各点かくてんにベクトルを対応たいおうさせる関数かんすう $F : U \to R^{n}$ である。速度場そくどばや力場りきばが典型例てんけいれいである。

場ばであること自体じたいは連続性れんぞくせいを仮定かていしない。スカラー場ばでは関数かんすうが連続れんぞくなら連続れんぞくスカラー場ば、 $C^{1}$ なら $C^{1}$ スカラー場ばという。ベクトル場ばでは各成分かくせいぶんが連続れんぞくなら連続れんぞくベクトル場ば、各成分かくせいぶんが $C^{1}$ なら $C^{1}$ ベクトル場ばという。すべての階数かいすうの偏導関数へんどうかんすうが存在そんざいして連続れんぞくな場ばを $C^{\infty}$ と書かく。後続こうぞくの grad・div・curl では $C^{1}$ の場ばを扱あつかう。

3方針ほうしん

$C^{1}$ スカラー場ばでは、勾配こうばいが 0 でない点てんで「どの方向ほうこうに最もっとも増加ぞうかするか」を確認かくにんする。 $C^{1}$ ベクトル場ばでは「どれだけ流入流出りゅうにゅうりゅうしゅつするか」「どれだけ回転かいてんするか」を確認かくにんする。この区別くべつが勾配こうばい・発散はっさん・回転かいてんの入口いりぐちになる。

4具体例ぐたいれい

$T (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ はスカラー場ばであり、各点かくてんに 1 つの数かずを対応たいおうさせる。

$F (x, y) = (- y, x)$ はベクトル場ばであり、原点以外げんてんいがいの各点かくてんに原点中心げんてんちゅうしんの円えんの接線方向せっせんほうこうを向むくベクトルを対応たいおうさせる。原点げんてんでは $F (0, 0) = 0$ である。これらの例れいは多項式成分たこうしきせいぶんを持もつので $C^{\infty}$ である。

5場ばの例れい

温度場おんどばはスカラー場ばであり、各点かくてんの温度おんどを返かえす。高度場こうどばもスカラー場ばであり、地形ちけいの高たかさを返かえす。速度場そくどばはベクトル場ばであり、流体りゅうたいの各点かくてんでの速度そくどを返かえす。電場でんばもベクトル場ばであり、単位電荷たんいでんかに働はたらく力ちからを返かえす。

次つぎの表ひょうの gradient・divergence・curl・flux・circulation は後続講義こうぞくこうぎで定義ていぎする演算えんざんの予告よこくである。

場ば	値あたい	単位たんいの例れい	次つぎの演算えんざん
温度場おんどば $T (x, y, z)$	スカラー	$K$	gradient
圧力場あつりょくば $p (x, y, z)$	スカラー	$P a$	gradient
速度場そくどば $v (x, y, z)$	ベクトル	$m / s$	divergence, curl
電場でんば $E (x, y, z)$	ベクトル	$N / C$	flux, circulation

単位たんいを付つけると、演算えんざんの意味いみも明確めいかくになる。たとえば次講義じこうぎで定義ていぎする温度勾配おんどこうばい $\nabla T$ の単位たんいは $K / m$ であり、一いちメートルあたりの温度変化おんどへんかを表あらわす。

6等位面とういめんと流線りゅうせん

スカラー場ば $f : U \to R$ に対たいして

L_{c} := {x \in U : f (x) = c}

を等位集合とういしゅうごうlevel setという。 $f \in C^{1} (U)$ とし、 $x_{0} \in L_{c}$ で少すくなくとも 1 つの偏導関数へんどうかんすうが 0 でないとする。陰関数定理いんかんすうていりにより $L_{c}$ は $x_{0}$ の近ちかくで $(n - 1)$ 次元じげんの $C^{1}$ 超曲面ちょうきょくめんになる。この条件じょうけんは、次講義じこうぎで定義ていぎする勾配こうばいを使つかえば $\nabla f (x_{0}) \neq 0$ と書かける。陰関数定理いんかんすうていりの証明しょうめいは多変数微積分たへんすうびせきぶんの発展内容はってんないようであり、ここでは等位面とういめんになるための条件じょうけんとして用もちいる。臨界点りんかいてんでは、点てんへ退化たいかしたり面めんでなくなったりすることがある。

ここでは $U \subset R^{n}$ を開集合かいしゅうごうとする。 $F : U \to R^{n}$ に対たいし、 $C^{1}$ 曲線きょくせん $γ : J \to U$ が

γ^{'} (t) = F (γ (t))

を満みたすとき、その像ぞうを積分曲線せきぶんきょくせんintegral curveまたは流線りゅうせんという。 $F (p) = 0$ なら $γ (t) = p$ は定常ていじょうな積分曲線せきぶんきょくせんである。 $p \in U$ とする。 $F$ が連続れんぞくなら $p$ を通とおる局所解きょくしょかいが少すくなくとも 1 つ存在そんざいし、局所きょくしょ Lipschitz 連続れんぞくならその局所解きょくしょかいは一意いちいである。

二次元にじげんのスカラー場ば $T (x, y) = x^{2} + y^{2}$ では、 $c > 0$ の等位集合とういしゅうごうは半径はんけい $\sqrt{c}$ の円えん、 $c = 0$ では原点げんてん 1 点てん、 $c < 0$ では空集合くうしゅうごうである。三次元さんじげんでも $c > 0$ のとき球面きゅうめん、 $c = 0$ のとき原点げんてん 1 点てんになる。一方いっぽう、 $F = (- y, x)$ では $r > 0$ に対たいして

γ (t) = r (\cos (t + θ_{0}), \sin (t + θ_{0}))

が反時計回はんとけいまわりの円形えんけいの積分曲線せきぶんきょくせんとなり、原点げんてんは定常点ていじょうてんである。等位集合とういしゅうごうは値あたいが一定いっていの集合しゅうごう、積分曲線せきぶんきょくせんは場ばに沿そう軌道きどうであり、役割やくわりは異ことなる。

7比較例ひかくれい

$F (x, y) = (1, 0)$ は全点ぜんてんで右向みぎむきの一定速度場いっていそくどばであり、積分曲線せきぶんきょくせんは水平線すいへいせんになる。 $G (x, y) = (x, y)$ では $t \in R$ に対たいして $γ (t) = e^{t} p$ であり、 $p \neq 0$ の軌道像きどうぞうは原点げんてんを除のぞく半直線はんちょくせん、原点げんてんは定常点ていじょうてんである。divergence はベクトルの大おおきさだけでなく、各成分かくせいぶんが対応たいおうする座標方向ざひょうほうこうへどう変化へんかするかで決きまり、矢印やじるしの長ながさだけからは判断はんだんできない。

8次つぎへの接続せつぞく

スカラー場ばには勾配こうばいを適用てきようし、ベクトル場ばには発散はっさんや回転かいてんを適用てきようする。この区別くべつを固定こていしてから、局所演算子きょくしょえんざんしへ進行しんこうする。

Euclidean 空間くうかんで座標系ざひょうけいを替かえるとベクトルの成分表示せいぶんひょうじは変かわるが、幾何的きかてきなベクトル場ばそのものは同おなじである。曲線座標きょくせんざひょうでは基底きていも点てんごとに変かわるため、grad・div・curl の成分公式せいぶんこうしきは後続講義こうぞくこうぎで座標条件ざひょうじょうけんとともに確認かくにんする。

data/lecture/math/vector-calculus/gradient-divergence-and-curl.lecture.n.md

9よくある誤あやまり

スカラー場ばとベクトル場ばを値あたいの型かたで区別くべつしない。
座標表示ざひょうひょうじを場ばそのものと同一視どういつしする。
図示ずしされた矢印やじるしの長ながさだけを確認かくにんし、方向ほうこうの変化へんかを無視むしする。