線積分せんせきぶんと面積分めんせきぶんの入口いりぐち

5.11. 線積分せんせきぶん

向むき付づけられた区分的くぶんてき $$C^1$$C^1 曲線きょくせんを $$\mathbf{r}:[a,b]\to R^3$$\mathbf r:[a,b]\to\mathbb R^3 で表あらわし、$$r^{\prime }\left(t\right)\ne 0$$\mathbf r'(t)\ne\mathbf0 となる区間くかんを有限個ゆうげんこに分わけられるとする。$$\varphi$$\phi と $$\mathbf{F}$$\mathbf F が曲線上きょくせんじょうで連続れんぞくなら、スカラー線積分せんせきぶんと仕事積分しごとせきぶんを

および

で定義ていぎする。$$ds=\parallel r^{\prime }\left(t\right)\parallel dt$$ds=\|\mathbf r'(t)\|dt は弧長要素こちょうようそ、$$d\mathbf{r}=r^{\prime }\left(t\right)dt$$d\mathbf r=\mathbf r'(t)dt は向むき付づきの変位要素へんいようそである。

$$\psi$$\psi を対応たいおうする区間くかんの間あいだの区分的くぶんてき $$C^1$$C^1 全単射ぜんたんしゃで、各正則区間かくせいそくくかんで $${\psi }^{\prime }\ne 0$$\psi'\ne0 とし、$$\mathit{\rho }\left(\tau \right)=\mathbf{r}\left(\psi \right(\tau \left)\right)$$\boldsymbol\rho(\tau)=\mathbf r(\psi(\tau)) と置おく。合成関数ごうせいかんすうの微分びぶんより

である。したがって $$\psi$$\psi が単調増加たんちょうぞうかなら両方りょうほうの積分値せきぶんちは変かわらない。$$\psi$$\psi が単調減少たんちょうげんしょうなら、絶対値ぜったいちを含ふくむスカラー線積分せんせきぶんは変かわらず、仕事積分しごとせきぶんだけが符号ふごうを変かえる。

5.22. 面積分めんせきぶん

有界ゆうかいな Jordan 領域りょういき $$D\subset R^2$$D\subset\mathbb R^2 の閉包へいほうを考かんがえる。曲面きょくめんの 1 つのパッチを、その近傍きんぼうで $$C^1$$C^1 であり内部ないぶで 1 対たい 1 の写像うつし $$\mathbf{r}:D\to R^3$$\mathbf r:D\to\mathbb R^3、$$(u,v)\mapsto \mathbf{r}(u,v)$$(u,v)\mapsto\mathbf r(u,v) で表あらわし、$$r_u\times r_v\ne 0$$\mathbf r_u\times\mathbf r_v\ne\mathbf0 とする。この条件じょうけんを正則せいそくregularという。境界上きょうかいじょうでは面積めんせき 0 の重複じゅうふくを許ゆるす。$$\varphi$$\phi と $$\mathbf{F}$$\mathbf F が曲面上きょくめんじょうで連続れんぞくなら、以下いかの積分せきぶんは有限ゆうげんであり、スカラー面積分めんせきぶんを

で定義ていぎする。

流束積分りゅうそくせきぶんには、曲面全体きょくめんぜんたいで連続れんぞくに選えらんだ単位法線たんいほうせん $$\mathbf{n}$$\mathbf n、すなわち曲面きょくめんの向むきorientationが必要ひつようである。パラメータの順序じゅんじょをその向むきに合あわせて

と定義ていぎする。ここで

である。

向むきを保たもつ $$C^1$$C^1 座標変換ざひょうへんかんでパラメータを替かえても、Jacobian と外積がいせきの変化へんかが打うち消けし合あうので両方りょうほうの積分値せきぶんちは変かわらない。向むきを反転はんてんすると $$r_u\times r_v$$\mathbf r_u\times\mathbf r_v の符号ふごうが変かわるため、スカラー面積分めんせきぶんは不変ふへんだが流束積分りゅうそくせきぶんは符号ふごうを変かえる。連続れんぞくな法線ほうせんを大域的たいきょくてきに選えらべない曲面きょくめんには、この意味いみの大域的たいきょくてきな流束りゅうそくを定義ていぎできない。

複数ふくすうのパッチで覆おおう曲面きょくめんでは、内部ないぶが互たがいに交まじわらず、共通境界きょうつうきょうかいが面積めんせき 0 で、向むきが整合せいごうする有限個ゆうげんこのパッチへ分割ぶんかつし、各積分かくせきぶんを足たし合あわせる。内部ないぶで重かさなる一般的いっぱんてきなパッチをそのまま足たすと、重複部分じゅうふくぶぶんを二重にじゅうに数かぞえる。

5.33. 場ばの微分びぶんと積分せきぶんを結むすぶ定理ていり

境界きょうかいが区分的くぶんてき $$C^1$$C^1 である有界領域ゆうかいりょういき $$V$$V を考かんがえ、$$\mathbf{F}$$\mathbf F は $$\stackrel{\_}{V}$$\overline V を含ふくむ開集合かいしゅうごうで $$C^1$$C^1 とする。Gauss の発散定理はっさんていりdivergence theoremは

である。$$\mathbf{n}$$\mathbf n は閉曲面へいきょくめん $$\mathit{\partial }V$$\partial V の外向そとむき単位法線たんいほうせんである。

向むき付づけられたコンパクトな区分的くぶんてき $$C^1$$C^1 正則曲面せいそくきょくめん $$S$$S と区分的くぶんてき $$C^1$$C^1 境界きょうかい $$\mathit{\partial }S$$\partial S を考かんがえ、$$\mathbf{F}$$\mathbf F は $$S$$S を含ふくむ開近傍かいきんぼうで $$C^1$$C^1 とする。$$\mathit{\partial }S$$\partial S を法線ほうせんに右手則みぎてそくで対応たいおうさせると、Stokes の定理ていりStokes' theoremは

である。これらは前講義ぜんこうぎの発散はっさん・回転かいてんという局所的きょくしょてきな微分びぶんを、境界きょうかいを通とおる流束りゅうそく・循環じゅんかんという大域的たいいきてきな積分せきぶんへ結むすぶ。この入口いりぐちでは定理ていりとして用もちい、証明しょうめいは体系版たいけいばんで扱あつかう。

5.44. 電磁気でんじきとのつながり

電磁気学でんじきがくでは、閉曲面へいきょくめん $$S$$S を外向そとむきに向むき付づけると、電場でんばに対たいする Gauss の法則ほうそくは

と書かかれる。$$Q_{\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{c}}$$Q_{\mathrm{enc}} は $$S$$S の内側うちがわの電荷でんかである。

定常電流ていじょうでんりゅうに対たいし、閉曲線へいきょくせん $$C$$C とそれを張はる曲面きょくめんの法線ほうせんを右手則みぎてそくで対応たいおうさせる。$$I_{\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{c}}$$I_{\mathrm{enc}} をその曲面きょくめんを貫つらぬく向むき付づき電流でんりゅうとすると、Ampere の法則ほうそくは

である。時間変化じかんへんかする電場でんばを含ふくむ一般形いっぱんけいでは Maxwell の変位電流項へんいでんりゅうこうを加くわえる必要ひつようがある。

Faraday の電磁誘導でんじゆうどうの法則ほうそくについては、時間じかんによらない固定曲面こていきょくめん $$S$$S を考かんがえる。$$C=\mathit{\partial }S$$C=\partial S の向むきと $$S$$S の法線ほうせんを右手則みぎてそくで対応たいおうさせると

と書かく。負号ふごうは Lenz の法則ほうそくを表あらわす。回路かいろや曲面きょくめんが動うごく場合ばあいの全起電力ぜんきでんりょくには $$\mathbf{v}\times \mathbf{B}$$\mathbf v\times\mathbf B による運動起電力うんどうきでんりょくも加くわわるため、この固定面こていめんの式しきをそのまま使つかわない。これらの式しきは、線積分せんせきぶん・流束積分りゅうそくせきぶんの左辺さへんだけでなく、閉とじた境界きょうかい、向むき、源みなもとを含ふくむ等式全体とうしきぜんたいで法則ほうそくである。

6.1解析的かいせきてきな見方みかた

線積分せんせきぶんも面積分めんせきぶんも、普通ふつうの積分せきぶんを曲線きょくせんや曲面きょくめんに広ひろげたものである。

6.2幾何的きかてきな見方みかた

線積分せんせきぶんは道みちに沿そって効きく成分せいぶんを足たし、面積分めんせきぶんは面めんを貫つらぬく成分せいぶんを足たする。

6.3物理的ぶつりてきな見方みかた

線積分せんせきぶんは仕事しごとや循環じゅんかん、面積分めんせきぶんは流束りゅうそくや貫通量かんつうりょうを表あらわする。