外積がいせきの基本きほん

date2026-07-14document_iddoc_70b13f012606de0396b761afebda5d1adescription外積を、二本のベクトルが作る面積と法線方向を表す道具として導入し、成分公式と行列式との関係まで整理する講義である。prerequisitesベクトルと内積 / 行列式type講義content_typelecturestatusactive

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1導入どうにゅう

この講義こうぎで重要じゅうようなのは、外積がいせきを、2 本ほんのベクトルが張はる平行四辺形へいこうしへんけいの面積めんせきと、その面めんに垂直すいちょくな向むきを同時どうじに表あらわすベクトルとして理解りかいすることである。

内積ないせきは同方向成分どうほうこうせいぶんを測定そくていする。外積がいせきは、それと対照的たいしょうてきに、2 本ほんのベクトルがどれだけ面めんを形成けいせいするかを測定そくていする。力学りきがくのトルクや角運動量かくうんどうりょう、電磁気でんじきのローレンツ力りょくにおいても、この面積めんせきと向むきの情報じょうほうが利用りようされる。

2用語ようごと定義ていぎ

外積がいせきCross product とは、3 次元じげんベクトル $a, b$ に対たいして、 $a$ と $b$ の両方りょうほうに垂直すいちょくで、大おおきさが

| a \times b | = | a | | b | \sin θ

となるベクトルである。向むきは右手系みぎてけいで定さだめる。

成分表示せいぶんひょうじでは、

a \times b = (\begin{matrix} a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2} \\ a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3} \\ a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} \end{matrix})

である。

3方針ほうしん

まず平行四辺形へいこうしへんけいの面積めんせきから $\sin θ$ が現あらわれる理由りゆうを確認かくにんする。つぎに面めんを 1 本ぽんのベクトルで表現ひょうげんするために法線方向ほうせんほうこうを採用さいようする。その後あとで、成分公式せいぶんこうしきが 2 次じの行列式ぎょうれつしきから構成こうせいされることを確認かくにんする。

data/lecture/math/vector/geometric-vectors-and-dot-products.lecture.n.md data/lecture/math/linear-algebra/determinants.lecture.n.md

4直感的ちょっかんてきな説明せつめい

2 本ほんのベクトルが平行へいこうなら、平行四辺形へいこうしへんけいの面積めんせきは 0 である。直交ちょっこうするほど面積めんせきは大おおきくなる。そのため外積がいせきの大おおきさには $\sin θ$ が現あらわれる。

さらに、面積めんせきだけでは向むきの情報じょうほうが不足ふそくする。そこで 3 次元じげんでは、面めんに垂直すいちょくな向むきを採用さいようし、右手系みぎてけいで符号ふごうを固定こていする。

5厳密げんみつな説明せつめい

5.11. 面積めんせきとしての大おおきさ

平行四辺形へいこうしへんけいの底辺ていへんを $| a |$ 、高たかさを $| b | \sin θ$ とすると、

面積 = | a | | b | \sin θ

である。外積がいせきはこの面積めんせきを大おおきさとして持もつ。

5.22. 成分公式せいぶんこうしき

$a = (a_{1}, a_{2}, a_{3})^{T}$ 、 $b = (b_{1}, b_{2}, b_{3})^{T}$ とする。 $a \times b$ は $a$ と $b$ に垂直すいちょくであるため、

(a \times b) \cdot a = 0, (a \times b) \cdot b = 0

を満みたす。成分公式せいぶんこうしき

a \times b = (\begin{matrix} a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2} \\ a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3} \\ a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} \end{matrix})

を代入だいにゅうすると、確たしかに両方りょうほうの内積ないせきが 0 になる。

5.33. 行列式ぎょうれつしきとの関係かんけい

$a \times b$ の第一成分だいいちせいぶんは、 $y z$ 平面へいめんへの射影しゃえいが作つくる符号付面積ふごうつきめんせき

| \begin{matrix} a_{2} & a_{3} \\ b_{2} & b_{3} \end{matrix} | = a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2}

である。他ほかの成分せいぶんも同様どうように、座標平面ざひょうへいめんへの射影しゃえいの符号付面積ふごうつきめんせきとして理解りかいできる。

6具体例ぐたいれい

e_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), e_{2} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

なら、

e_{1} \times e_{2} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) = e_{3}

である。これは $x y$ 平面へいめんの単位正方形たんいせいほうけいの面積めんせきが 1 で、向むきが正せいの $z$ 方向ほうこうであることに対応たいおうする。

7別べつの観点かんてん

幾何的きかてきには、外積がいせきは面積めんせきと法線方向ほうせんほうこうである。代数的だいすうてきには、成分せいぶんが 2 次じの行列式ぎょうれつしきで構成こうせいされるベクトルである。物理的ぶつりてきには、回転かいてんの向むきや面めんを貫つらぬく方向ほうこうを表現ひょうげんする道具どうぐである。

8見分みわけ方かた

面積めんせき、法線ほうせん、回転かいてん、トルク、ローレンツ力りょくが出現しゅつげんしたら、外積がいせきを検討けんとうする。
同方向成分どうほうこうせいぶんを測定そくていするなら内積ないせき、面めんと垂直方向すいちょくほうこうを測定そくていするなら外積がいせきである。

9どこまで成立せいりつするか

ここで扱あつかう外積がいせきは 3 次元じげんユークリッド空間くうかんに固有こゆうの道具どうぐである。2 次元じげんでは符号付面積ふごうつきめんせきとして数すうで扱あつかう場合ばあいが多おおい。高次元こうじげんでは外積代数がいせきだいすうや微分形式びぶんけいしきで一般化いっぱんかする。

10最終形さいしゅうけい

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] | a \times b | = | a | | b | \sin θ

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] a \times b ⊥ a, a \times b ⊥ b

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] a \times b = (\begin{matrix} a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2} \\ a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3} \\ a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} \end{matrix})

11一言ひとことでいうと

外積がいせきは、2 本ほんのベクトルが形成けいせいする面積めんせきと法線方向ほうせんほうこうを 1 本ぽんのベクトルで表現ひょうげんする道具どうぐである。