積分せきぶんintegrationの定義ていぎ：リーマン和わRiemann sumと符号付ふごうつき面積めんせきsigned area

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、定積分ていせきぶんdefinite integralを、小区間しょうくかんごとの寄与きよを加算かさんした総和そうわsumの極限きょくげんlimitとして定義ていぎする。さらに、定積分ていせきぶんが符号付ふごうつき面積めんせきsigned areaを表あらわすことを説明せつめいし、幾何学的面積きかがくてきめんせきとの相違そういを明確めいかくにする。

2定義ていぎ

$a<b$a<b とし、関数かんすう $f:[a,b]\to \mathbb{R}$f:[a,b]\to\mathbb R を考かんがえる。区間くかん $[a,b]$[a,b] を

と分割ぶんかつし、各小区間かくしょうくかんで代表点だいひょうてん ${\xi }_i\in [x_{i-1},x_i]$\xi_i\in[x_{i-1},x_i] を選択せんたくする。リーマン和わRiemann sumは

である。分割ぶんかつ $P$P の分割幅ぶんかつはばmeshを

と定義ていぎする。$\left|P\right|\to 0$|P|\to0 としたとき、分割ぶんかつおよび各小区間かくしょうくかんの代表点だいひょうてん ${\xi }_i$\xi_i の選択せんたくに依存いぞんせず、リーマン和わが同一どういつの極限値きょくげんちへ収束しゅうそくするならば、その値あたいを

と書かき、$f$f は $[a,b]$[a,b] 上じょうでリーマン積分可能せきぶんかのうRiemann integrableであるという。

3連続関数れんぞくかんすうの積分可能性せきぶんかのうせい

3.1定理ていり

閉区間へいくかん $[a,b]$[a,b] 上じょうで連続れんぞくな関数かんすうは、$[a,b]$[a,b] 上じょうでリーマン積分可能せきぶんかのうである。

3.2証明しょうめい

分割ぶんかつ $P$P の各小区間かくしょうくかんにおける $f$f の最大値さいだいちと最小値さいしょうちを $M_i,m_i$M_i,m_i とし、上和じょうわと下和かなんわを

と定義ていぎする。下積分かせきぶん $\underset{P}{\sup }L(f,P)$\sup_P L(f,P) と上積分じょうせきぶん $\underset{P}{\inf }U(f,P)$\inf_P U(f,P) は、この順じゅんで大小関係だいしょうかんけいを満みたす。任意にんいの $\epsilon >0$\varepsilon>0 に対たいして $U(f,P)-L(f,P)<\epsilon$U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon となる分割ぶんかつが存在そんざいすれば、両者りょうしゃは同一どういつの値あたい $I$I になる。

このとき、任意にんいのタグ付つき分割ぶんかつ $Q$Q と $P$P の共通細分きょうつうさいぶん $R$R を考かんがえる。$R$R は $P$P の細分さいぶんであるから $L(f,P)\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}L(f,R)\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}I\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}U(f,R)\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}U(f,P)$L(f,P)\le L(f,R)\le I\le U(f,R)\le U(f,P) であり、$R$R のタグ付つき和わと $I$I の差さは $\epsilon$\varepsilon 未満みまんである。$f$f の絶対値ぜったいちの上界じょうかいを $B$B、$P$P の内部分点ないぶぶんてんの個数こすうを $k$k とする。$Q$Q から $R$R への細分さいぶんで変化へんかするのは、それらの分点ぶんてんを含ふくむ小区間しょうくかんだけであるため、両者りょうしゃのタグ付つき和わの差さは $2Bk\left|Q\right|$2Bk|Q| 以下いかである。したがって、$\left|Q\right|\to 0$|Q|\to0 のとき $Q$Q のタグ付つき和わも $I$I へ収束しゅうそくする。これがダルブーの判定条件はんていじょうけんDarboux criterionである。

閉区間へいくかん 上じょうの連続関数れんぞくかんすうは一様連続いちようれんぞくuniformly continuousである。したがって、$\left|P\right|$|P| を十分じゅうぶんに小ちいさくすれば、各小区間かくしょうくかんで $M_i-m_i<\epsilon /(b-a)$M_i-m_i<\varepsilon/(b-a) となる。このとき

であるから、ダルブーの判定条件はんていじょうけんにより $f$f はリーマン積分可能せきぶんかのうである。

この定理ていりにより、後続こうぞくの微分積分学びぶんせきぶんがくの基本定理きほんていりでは、閉区間へいくかん 上じょうで連続れんぞくな $f$f の定積分ていせきぶんを使用しようできる。

4符号付ふごうつき面積めんせき

定積分ていせきぶんdefinite integralでは、$$x$$x 軸じくより上側うわがわの寄与きよを正せい、下側したがわの寄与きよを負ふとして合算がっさんする。したがって、常つねに非負ひふである幾何学的面積きかがくてきめんせきは、絶対値ぜったいちabsolute value $\left|f\right|$|f| の積分せきぶんで計算けいさんする。符号変化点ふごうへんかてんが有限個ゆうげんこである場合ばあいは、それらの点てんで区間くかんを分割ぶんかつしてもよい。

5具体例ぐたいれい

$$f\left(x\right)=x$$f(x)=x は奇関数きかんすうであり、区間くかん $[-1,1]$[-1,1] では正負せいふの寄与きよが相殺そうさいするため、

である。しかし、幾何学的面積きかがくてきめんせきは

である。したがって、定積分ていせきぶんの値あたいと幾何学的面積きかがくてきめんせきは一般いっぱんには一致いっちしない。

6演習えんしゅうリンク

7関連かんれんリンク

Defining Integration: Riemann Sums and Signed Area

1Introduction

This lecture defines the definite integral as the limit of sums formed by adding the contribution from each subinterval. It also explains why a definite integral represents signed area and clarifies how signed area differs from geometric area.

2Definition

Let $a<b$a<b and consider a function $f:[a,b]\to \mathbb{R}$f:[a,b]\to\mathbb R. Partition $[a,b]$[a,b] as

and choose a sample point ${\xi }_i$\xi_i in each subinterval $[x_{i-1},x_i]$[x_{i-1},x_i]. The corresponding Riemann sum is

For a partition $P$P, define its mesh by

If the Riemann sums converge to the same limit as $\left|P\right|\to 0$|P|\to0, independently of both the partitions and the sample points, write this limit as

and say that $f$f is Riemann integrable on $[a,b]$[a,b].

3Integrability of Continuous Functions

3.1Theorem

Every function that is continuous on a closed interval $[a,b]$[a,b] is Riemann integrable on $[a,b]$[a,b].

3.2Proof

For a partition $P$P, let $M_i$M_i and $m_i$m_i be the maximum and minimum of $f$f on its $i$ith subinterval, and define

The lower integral $\underset{P}{\sup }L(f,P)$\sup_P L(f,P) does not exceed the upper integral $\underset{P}{\inf }U(f,P)$\inf_P U(f,P). If, for every $\epsilon >0$\varepsilon>0, some partition satisfies $U(f,P)-L(f,P)<\epsilon$U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon, these two quantities have a common value $I$I.

To connect this criterion to tagged sums, take any tagged partition $Q$Q and its common refinement $R$R with $P$P. Since $R$R refines $P$P,

so every tagged sum on $R$R differs from $I$I by less than $\epsilon$\varepsilon. Let $\left|f\right|\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}B$|f|\le B, and let $k$k be the number of interior division points of $P$P. Only the subintervals of $Q$Q containing these points change when $Q$Q is refined to $R$R; hence the corresponding tagged sums differ by at most $2Bk\left|Q\right|$2Bk|Q|. Therefore every tagged sum on $Q$Q tends to $I$I as $\left|Q\right|\to 0$|Q|\to0. This is the Darboux criterion.

A continuous function on a closed interval is uniformly continuous. Thus, when $\left|P\right|$|P| is sufficiently small, $M_i-m_i<\epsilon /(b-a)$M_i-m_i<\varepsilon/(b-a) on every subinterval. Consequently,

The Darboux criterion now shows that $f$f is Riemann integrable.

This theorem justifies the use of definite integrals of continuous functions in the subsequent fundamental theorem of calculus.

4Signed Area

In a definite integral, contributions above the $x$x-axis are positive and contributions below it are negative. Geometric area, which is always nonnegative, is calculated by integrating the absolute value $\left|f\right|$|f|. If $f$f has only finitely many sign-change points, one may instead split the interval at those points.

5Example

The function $f\left(x\right)=x$f(x)=x is odd, so its positive and negative contributions cancel on $[-1,1]$[-1,1]:

The geometric area is instead

Thus, the value of a definite integral and geometric area do not agree in general.

6Exercises

7Related Material