リーマン和と定積分-基本演習
mathcalculusexerciseriemann-sum
1問題 1
任意の分割 0=x_0<\cdots<x_n=1 と代表点 \xi_i\in[x_{i-1},x_i] に対し、リーマン和が 1/2 へ収束することを示し、\int_0^1x\,dx を求めよ。
1.1解答例
各小区間の中点を m_i=(x_{i-1}+x_i)/2、幅を \Delta x_i=x_i-x_{i-1} とする。このとき
\sum_{i=1}^n m_i\Delta x_i
=\frac12\sum_{i=1}^n(x_i^2-x_{i-1}^2)=\frac12
である。また、|\xi_i-m_i|\le\Delta x_i/2 であるから、
\left|\sum_{i=1}^n\xi_i\Delta x_i-\frac12\right|
\le\frac12\sum_{i=1}^n(\Delta x_i)^2
\le\frac{|P|}{2}\sum_{i=1}^n\Delta x_i
=\frac{|P|}{2}\to0.
したがって、分割と代表点の選択に依存せず、\int_0^1x\,dx=1/2 である。
1.2解説
誤差評価 |P|/2\to0 により、1 つの特定の分割列だけでなく、任意の分割と代表点に対する収束が保証される。
2問題 2
\int_{-2}^{2}x\,dx と幾何学的面積を求めよ。
2.1解答例
定積分は 0 である。幾何学的面積は \int_{-2}^{2}|x|\,dx=4 である。
2.2解説
定積分は符号付き面積である。
3関連リンク
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Riemann Sums and Definite Integrals — Basic Exercises
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1Problem 1
For an arbitrary partition 0=x_0<\cdots<x_n=1 and sample points \xi_i\in[x_{i-1},x_i], prove that the Riemann sum converges to 1/2, and hence evaluate \int_0^1x\,dx.
1.1Sample Solution
Let m_i=(x_{i-1}+x_i)/2 and \Delta x_i=x_i-x_{i-1}. Then
\sum_{i=1}^n m_i\Delta x_i
=\frac12\sum_{i=1}^n(x_i^2-x_{i-1}^2)=\frac12.
Because |\xi_i-m_i|\le\Delta x_i/2,
\left|\sum_{i=1}^n\xi_i\Delta x_i-\frac12\right|
\le\frac12\sum_{i=1}^n(\Delta x_i)^2
\le\frac{|P|}{2}\sum_{i=1}^n\Delta x_i
=\frac{|P|}{2}\to0.
Thus the limit is independent of the partition and sample points, and \int_0^1x\,dx=1/2.
1.2Explanation
The estimate |P|/2\to0 proves convergence for arbitrary partitions and sample points, not merely for one particular sequence of partitions.
2Problem 2
Evaluate \int_{-2}^{2}x\,dx and the corresponding geometric area.
2.1Sample Solution
The definite integral is 0. The geometric area is \int_{-2}^{2}|x|\,dx=4.
2.2Explanation
A definite integral represents signed area.
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