フィードバック制御せいぎょの基本きほん

date2026-07-14document_iddoc_3f51b086dfd6a2aef83c7d4db9ad36cadescription負帰還、閉ループ伝達関数、極と安定性、比例制御の定常偏差を説明する。prerequisites微分方程式の基本 / ラプラス変換の基本type講義statusactive

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1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、測定そくていした出力しゅつりょくを目標値もくひょうちと比較ひかくし、その誤差ごさから入力にゅうりょくを決定けっていする負帰還制御ふきかんせいぎょを説明せつめいする。線形時不変せんけいじふへんな一入力一出力いちにゅうりょくいちしゅつりょくシステムを対象たいしょうとし、閉へいループ伝達関数でんたつかんすう、極きょく、安定性あんていせい、定常偏差ていじょうへんさを導出どうしゅつする。

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2構成要素こうせいようそ

制御対象せいぎょたいしょうPlantとは、入力にゅうりょく $u (t)$ によって出力しゅつりょく $y (t)$ を変化へんかさせる対象たいしょうである。目標値もくひょうちReference $r (t)$ は出力しゅつりょくに要求ようきゅうする値あたい、誤差ごさError $e (t) = r (t) - y (t)$ は目標値もくひょうちと測定出力そくていしゅつりょくの差さである。したがって $r$ と $y$ は同おなじ物理次元ぶつりじげんを持もち、 $e$ も同おなじ次元じげんを持もつ。

制御器せいぎょきControllerは誤差ごさから入力にゅうりょくを生成せいせいする。制御対象せいぎょたいしょうの伝達関数でんたつかんすうを $G (s)$ 、制御器せいぎょきを $C (s)$ とする。伝達関数でんたつかんすうは、初期値しょきちを 0 とした LTI システムにおける出力しゅつりょくと入力にゅうりょくのラプラス変換へんかんの比ひである。

外乱がいらんDisturbanceとは、制御対象せいぎょたいしょうへ作用さようするが制御器せいぎょきが直接決定ちょくせつけっていしない入力にゅうりょくである。外乱がいらんや測定雑音そくていざつおんへの応答おうとうは重要じゅうようであるが、まず目標値もくひょうちから出力しゅつりょくまでの関係かんけいを導出どうしゅつする。

3閉へいループ伝達関数でんたつかんすう

単位負帰還たんいふきかんを仮定かていすると、

E (s) = R (s) - Y (s), U (s) = C (s) E (s), Y (s) = G (s) U (s)

である。これらを消去しょうきょすると、

Y (s) = G (s) C (s) {R (s) - Y (s)}

であるから、

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] T (s) = \frac{Y (s)}{R (s)} = \frac{G (s) C (s)}{1 + G (s) C (s)}

を得える。 $L (s) = G (s) C (s)$ をループ伝達関数でんたつかんすうLoop transfer functionという。この式しきは、ブロックの接続せつぞくが適切てきせつに定義ていぎされ、 $1 + L (s)$ が恒等的こうとうてきに 0 ではないことを前提ぜんていとする。

4極きょくと安定性あんていせい

極きょくPoleとは、約分後やくぶんごの有理伝達関数ゆうりでんたつかんすうを発散はっさんさせる $s$ の値あたいである。BIBO 安定あんていBounded-input bounded-output stabilityとは、すべての有界入力ゆうかいにゅうりょくに対たいして出力しゅつりょくが有界ゆうかいとなる性質せいしつである。

有限次元ゆうげんじげん、因果的いんがてきな連続時間れんぞくじかん LTI システムの真しんにプロパーな有理伝達関数ゆうりでんたつかんすうでは、すべての極きょくの実部じつぶが負ふなら BIBO 安定あんていである。右半平面みぎはんへいめんの極きょくは発散成分はっさんせいぶんを、虚軸上きょじくじょうの極きょくは一般いっぱんに BIBO 安定性あんていせいの欠如けつじょを示しめす。不安定ふあんていな極零相殺きょくれいそうさいは内部状態ないぶじょうたいを隠かくし得うるため、入出力伝達関数にゅうしゅつりょくでんたつかんすうの約分やくぶんだけでは内部安定性ないぶあんていせいを保証ほしょうできない。

負帰還ふきかんという符号ふごうだけで安定性あんていせいが保証ほしょうされるわけではない。閉へいループの特性方程式とくせいほうていしき $1 + L (s) = 0$ について、根こんの複素平面上ふくそへいめんじょうの位置いちを確認かくにんする必要ひつようがある。

5一次遅いちじおくれ系けいの比例制御ひれいせいぎょ

制御対象せいぎょたいしょうを

G (s) = \frac{K}{τ s + 1}, τ > 0

とし、比例制御器ひれいせいぎょき $C (s) = k_{p}$ を用もちいる。 $K k_{p}$ は無次元むじげんのループゲインであるとする。このとき、

T (s) = \frac{K k_{p}}{τ s + 1 + K k_{p}}

であり、閉へいループの極きょくは

s = - \frac{1 + K k_{p}}{τ}

である。したがって $1 + K k_{p} > 0$ なら安定あんていであり、 $K k_{p} > 0$ の範囲はんいではゲインを増加ぞうかさせるとこの理想模型りそうもけいの応答おうとうは高速化こうそくかする。

単位たんいステップ目標値もくひょうちに対たいし、閉へいループが安定あんていで最終値定理さいしゅうちていりの条件じょうけんを満みたすなら、

e_{s s} = \frac{1}{1 + K k_{p}}

となる。比例ひれいゲインを有限ゆうげんに保たもつ限かぎり、定常偏差ていじょうへんさは一般いっぱんに 0 ではない。ゲインの増加ぞうかはモデル誤差ごさ、雑音ざつおん、飽和ほうわへの感度かんどにも影響えいきょうするため、応答速度おうとうそくどだけで決定けっていできない。

6要点ようてん

負帰還ふきかんでは誤差ごさ $e = r - y$ を制御器せいぎょきへ入力にゅうりょくする。
単位負帰還たんいふきかんの閉へいループ伝達関数でんたつかんすうは $G C / (1 + G C)$ である。
安定性あんていせいは負帰還ふきかんという名称めいしょうではなく、閉へいループの極きょくから判定はんていする。
比例制御ひれいせいぎょには応答速度おうとうそくどと定常偏差ていじょうへんさ、雑音ざつおんや飽和ほうわに関かんするトレードオフがある。

7次つぎに進すすむ講義こうぎ

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Feedback Control Fundamentals

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1Introduction

This lecture explains negative-feedback control, in which a measured output is compared with a reference and the resulting error determines the input. For a linear time-invariant single-input single-output system, it derives the closed-loop transfer function and examines poles, stability, and steady-state error.

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2Components

A plantPlant is the object whose output $y (t)$ is changed by an input $u (t)$ . A referenceReference $r (t)$ is the desired output, and the errorError $e (t) = r (t) - y (t)$ is the difference between the reference and measured output. Consequently, $r$ and $y$ have the same physical dimension, and so does $e$ .

A controllerController generates the input from the error. Let the plant transfer function be $G (s)$ and the controller be $C (s)$ . A transfer function is the ratio of the Laplace transform of output to that of input for an LTI system under zero initial conditions.

A disturbanceDisturbance is an input that acts on the plant but is not directly chosen by the controller. Responses to disturbances and measurement noise are important, but we first derive the relation from reference to output.

3Closed-Loop Transfer Function

Under unity negative feedback,

E (s) = R (s) - Y (s), U (s) = C (s) E (s), Y (s) = G (s) U (s) .

Eliminating the intermediate variables gives

Y (s) = G (s) C (s) {R (s) - Y (s)},

and hence

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] T (s) = \frac{Y (s)}{R (s)} = \frac{G (s) C (s)}{1 + G (s) C (s)} .

$L (s) = G (s) C (s)$ is the loop transfer functionLoop transfer function. This expression assumes that the block interconnection is well defined and that $1 + L (s)$ is not identically zero.

4Poles and Stability

A polePole is a value of $s$ at which a rational transfer function in reduced form becomes unbounded. BIBO stabilityBounded-input bounded-output stability means that every bounded input produces a bounded output.

For a finite-dimensional, causal, continuous-time LTI system with a strictly proper rational transfer function, all poles in the open left half-plane imply BIBO stability. A right-half-plane pole produces a divergent component, while an imaginary-axis pole generally prevents BIBO stability. An unstable pole-zero cancellation can hide internal state, so reduction of an input-output transfer function alone does not guarantee internal stability.

Negative feedback does not guarantee stability merely by its sign. The locations of the roots of the closed-loop characteristic equation $1 + L (s) = 0$ in the complex plane must be examined.

5Proportional Control of a First-Order Plant

Let

G (s) = \frac{K}{τ s + 1}, τ > 0,

and use the proportional controller $C (s) = k_{p}$ . Assume that $K k_{p}$ is a dimensionless loop gain. Then

T (s) = \frac{K k_{p}}{τ s + 1 + K k_{p}},

whose closed-loop pole is

s = - \frac{1 + K k_{p}}{τ} .

The system is therefore stable when $1 + K k_{p} > 0$ . Within the range $K k_{p} > 0$ , increasing the gain accelerates the response of this ideal model.

For a unit-step reference, if the closed loop is stable and the conditions of the final-value theorem hold, then

e_{s s} = \frac{1}{1 + K k_{p}} .

The steady-state error is generally nonzero for finite proportional gain. Increasing gain also affects sensitivity to modeling error, noise, and saturation, so response speed alone cannot determine the gain.

6Key Points

Negative feedback supplies the error $e = r - y$ to the controller.
Under unity feedback, the closed-loop transfer function is $G C / (1 + G C)$ .
Stability is determined from the closed-loop poles, not from the label “negative feedback.”
Proportional control involves trade-offs among response speed, steady-state error, noise, and saturation.

7Next Lecture

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