状態方程式じょうたいほうていしきの基本きほん

date2026-07-14document_iddoc_41b908ce5ee6b1ab1b73fa7367087210description状態、状態方程式、行列の次元、状態遷移、安定性、伝達関数との関係を説明する。prerequisitesフィードバック制御の基本 / 微分方程式の基本 / 線形写像と行列type講義statusactive

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1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、システムの内部状態ないぶじょうたいをベクトルとして表現ひょうげんし、入力にゅうりょくを与あたえたときの時間発展じかんはってん、出力しゅつりょく、安定性あんていせいを状態方程式じょうたいほうていしきから分析ぶんせきする。

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2状態じょうたいと状態空間表現じょうたいくうかんひょうげん

状態じょうたいStateとは、ある時刻じこくにおける値あたいと、それ以後いごの入力にゅうりょくが与あたえられれば、システムの将来しょうらいの時間発展じかんはってんを一意いちいに決定けっていできる十分じゅうぶんな内部情報ないぶじょうほうである。状態じょうたいの選択せんたくは一意いちいとは限かぎらず、冗長じょうちょうな変数へんすうを含ふくむ表現ひょうげんもあり得うる。有限次元ゆうげんじげん LTI システムでは、同おなじ入出力関係にゅうしゅつりょくかんけいを表あらわす最小実現さいしょうじつげんどうしは相似変換そうじへんかんで結むすばれる。

連続時間れんぞくじかん LTI システムの状態空間表現じょうたいくうかんひょうげんState-space representationを

\dot{x} (t) = A x (t) + B u (t), y (t) = C x (t) + D u (t)

とする。状態じょうたい $x \in R^{n}$ 、入力にゅうりょく $u \in R^{m}$ 、出力しゅつりょく $y \in R^{p}$ に対たいし、

A \in R^{n \times n}, B \in R^{n \times m}, C \in R^{p \times n}, D \in R^{p \times m}

である。 $A$ は状態間じょうたいかんの結合けつごう、 $B$ は入力にゅうりょくの作用さよう、 $C$ は状態じょうたいから出力しゅつりょくへの写像しゃぞう、 $D$ は入力にゅうりょくから出力しゅつりょくへの直接項ちょくせつこうを表あらわす。

3二階方程式にかいほうていしきからの構成こうせい

質量しつりょう $m > 0$ 、減衰係数げんすいけいすう $c [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"ge\")")] 0$ 、ばね定数ていすう $k [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"ge\")")] 0$ の系けい

m \ddot{q} + c \dot{q} + k q = u (t)

を考かんがえる。 $x_{1} = q$ 、 $x_{2} = \dot{q}$ と定義ていぎすると、

\frac{d}{d t} (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ - k / m & - c / m \end{matrix}) (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 \\ 1 / m \end{matrix}) u (t)

となる。位置いちと速度そくどは物理次元ぶつりじげんが異ことなるため、 $A$ の各成分かくせいぶんも同一どういつの単位たんいではない。ただし、各行かくぎょうの積せき $A x$ は対応たいおうする状態微分じょうたいびぶんと同おなじ物理次元ぶつりじげんを持もつ。この次元整合性じげんせいごうせいはモデルの検査けんさに利用りようできる。

4状態遷移じょうたいせんい

$A$ と $B$ が定数行列ていすうぎょうれつであるとき、初期状態しょきじょうたい $x (0) = x_{0}$ に対たいする解かいは

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] x (t) = e^{A t} x_{0} + \int_{0}^{t} e^{A (t - τ)} B u (τ) d τ

である。状態遷移行列じょうたいせんいぎょうれつState-transition matrix $e^{A t}$ は零入力れいにゅうりょくにおける状態じょうたいの時間発展じかんはってんを表あらわし、積分項せきぶんこうは入力履歴にゅうりょくりれきの寄与きよを表あらわす。

5固有値こゆうちと内部安定性ないぶあんていせい

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零入力系れいにゅうりょくけい $\dot{x} = A x$ の原点げんてんが漸近安定ぜんきんあんていAsymptotically stableであるとは、十分小じゅうぶんちいさい初期状態しょきじょうたいからの解かいが原点近傍げんてんきんぼうに留とどまり、かつ $t \to \infty$ で $x (t) \to 0$ となることである。

有限次元ゆうげんじげんの連続時間れんぞくじかん LTI システムでは、 $A$ のすべての固有値こゆうちが開左半平面かいひだりはんへいめん、すなわち $Re λ < 0$ にあることと、原点げんてんの大域的指数安定性だいいきてきしすうあんていせいは同値どうちである。実部じつぶが正せいの固有値こゆうちがあれば不安定ふあんていである。虚軸上きょじくじょうの固有値こゆうちがある場合ばあいは、ジョルダン構造こうぞうにより有界ゆうかいまたは発散はっさんとなり得うるが、漸近安定ぜんきんあんていではない。

6伝達関数でんたつかんすうとの関係かんけい

初期状態しょきじょうたいを 0 としてラプラス変換へんかんし、 $s I - A$ が可逆かぎゃくな $s$ を考かんがえると、

X (s) = (s I - A)^{- 1} B U (s)

であり、

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] G (s) = C (s I - A)^{- 1} B + D

を得える。ここで $G (s) \in C^{p \times m}$ は伝達関数行列でんたつかんすうぎょうれつである。入力にゅうりょくから励起れいきできないモードを不可制御ふかせいぎょモードUncontrollable mode、出力しゅつりょくに現あらわれないモードを不可観測ふかかんそくモードUnobservable modeという。状態空間表現じょうたいくうかんひょうげんがこれらのモードを含ふくむと、 $A$ の固有値こゆうちが $G (s)$ の極きょくとして現あらわれないことがある。したがって、伝達関数でんたつかんすうだけからすべての内部安定性ないぶあんていせいを判定はんていできるとは限かぎらない。

7要点ようてん

状態じょうたいは、将来入力しょうらいにゅうりょくとともに将来応答しょうらいおうとうを決定けっていする内部情報ないぶじょうほうである。
行列ぎょうれつ $A, B, C, D$ の次元じげんは、状態じょうたい、入力にゅうりょく、出力しゅつりょくの次元じげんから決きまる。
$e^{A t}$ は零入力応答れいにゅうりょくおうとうを記述きじゅつし、 $A$ の固有値こゆうちは内部安定性ないぶあんていせいを決定けっていする。
$G (s) = C (s I - A)^{- 1} B + D$ は零初期状態れいしょきじょうたいの入出力関係にゅうしゅつりょくかんけいであり、内部ないぶのすべてのモードを表示ひょうじするとは限かぎらない。

State Equation Fundamentals

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1Introduction

This lecture represents a system's internal state as a vector and uses a state equation to analyze its evolution, output, and stability under a given input.

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2State and State-Space Representation

The stateState is sufficient internal information whose value at a given time, together with the subsequent input, uniquely determines the system's future evolution. A state choice need not be unique, and a representation may contain redundant variables. For finite-dimensional LTI systems, any two minimal realizations of the same input-output relation are related by a similarity transformation.

A continuous-time LTI state-space representationState-space representation is

\dot{x} (t) = A x (t) + B u (t), y (t) = C x (t) + D u (t) .

For state $x \in R^{n}$ , input $u \in R^{m}$ , and output $y \in R^{p}$ ,

A \in R^{n \times n}, B \in R^{n \times m}, C \in R^{p \times n}, D \in R^{p \times m} .

$A$ represents coupling among states, $B$ the action of inputs, $C$ the map from state to output, and $D$ the direct term from input to output.

3Construction from a Second-Order Equation

Consider the system

m \ddot{q} + c \dot{q} + k q = u (t)

with mass $m > 0$ , damping coefficient $c [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"ge\")")] 0$ , and spring constant $k [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"ge\")")] 0$ . Define $x_{1} = q$ and $x_{2} = \dot{q}$ . Then

\frac{d}{d t} (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ - k / m & - c / m \end{matrix}) (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 \\ 1 / m \end{matrix}) u (t) .

Position and velocity have different physical dimensions, so the entries of $A$ do not all have the same units. Each row of the product $A x$ , however, has the same physical dimension as the corresponding state derivative. This dimensional consistency provides a model check.

4State Transition

When $A$ and $B$ are constant matrices, the solution for initial state $x (0) = x_{0}$ is

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] x (t) = e^{A t} x_{0} + \int_{0}^{t} e^{A (t - τ)} B u (τ) d τ .

The state-transition matrixState-transition matrix $e^{A t}$ describes zero-input state evolution, while the integral describes the contribution of the input history.

5Eigenvalues and Internal Stability

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The origin of the zero-input system $\dot{x} = A x$ is asymptotically stableAsymptotically stable if solutions starting sufficiently near the origin remain near it and satisfy $x (t) \to 0$ as $t \to \infty$ .

For a finite-dimensional continuous-time LTI system, all eigenvalues of $A$ lying in the open left half-plane, $Re λ < 0$ , is equivalent to global exponential stability of the origin. An eigenvalue with positive real part makes the origin unstable. If an eigenvalue lies on the imaginary axis, solutions may remain bounded or may diverge according to the Jordan structure, but the origin is not asymptotically stable.

6Relationship to the Transfer Function

With zero initial state, take Laplace transforms and consider $s$ for which $s I - A$ is invertible. Then

X (s) = (s I - A)^{- 1} B U (s),

and hence

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] G (s) = C (s I - A)^{- 1} B + D .

Here, $G (s) \in C^{p \times m}$ is the transfer-function matrix. A mode that cannot be excited through the input is an uncontrollable modeUncontrollable mode; a mode that does not appear in the output is an unobservable modeUnobservable mode. If a state-space representation contains either type, an eigenvalue of $A$ may not appear as a pole of $G (s)$ . A transfer function alone therefore need not reveal every internal stability property.

7Key Points

State is internal information that, together with the future input, determines the future response.
The dimensions of $A, B, C, D$ follow from the dimensions of state, input, and output.
$e^{A t}$ describes zero-input evolution, and the eigenvalues of $A$ determine internal stability.
$G (s) = C (s I - A)^{- 1} B + D$ is a zero-initial-state input-output relation and need not expose every internal mode.