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ステップ入力・デルタ入力・畳み込み-標準演習md 2585d77
exercise/math/differential-equations/step-delta-and-convolution.exercise.n.md
ステップ入力・デルタ入力・畳み込み-標準演習
mathdifferential-equationsexerciselaplaceconvolution
1演習の方針
有限なステップ入力とデルタ入力を区別し、接続条件、跳躍条件、零状態応答と零入力応答を毎回確認する。
2問題 1
\lambda>0、a>0 とする。初期値問題
y'+\lambda y=F H(t-a),\qquad y(0)=0
を解き、t=a での接続条件を述べよ。
2.1解答例
○
y(t)=\frac{F}{\lambda}H(t-a)
\bigl(1-e^{-\lambda(t-a)}\bigr),
\qquad
y(a+)=y(a-)=0.
2.2解説
a の前後で方程式を積分すると、有界な右辺と y の積分は区間幅とともに 0 へ近づく。したがって y は跳ばず、t>a では y'+\lambda y=F を y(a)=0 から解く。
3問題 2
\lambda>0、a>0、A を定数として
y'+\lambda y=A\delta(t-a),\qquad y(0)=0
を分布の意味で解き、t=a での跳躍量を求めよ。
3.1解答例
○
y(t)=A H(t-a)e^{-\lambda(t-a)},
\qquad
y(a+)-y(a-)=A.
3.2解説
a-\varepsilon から a+\varepsilon まで積分して \varepsilon\to0 とすると、\lambda y の積分は 0 へ近づき、デルタ入力の総量 A だけが残る。
4問題 3
h(t)=H(t)e^{-2t}、f(t)=H(t) とする。因果的畳み込み (h*f)(t) を計算し、どの初期値問題の零状態応答かを答えよ。
4.1解答例
○
(h*f)(t)=\int_0^t e^{-2(t-\tau)}\,d\tau
=\frac12(1-e^{-2t})\qquad(t\ge0).
これは
y'+2y=H(t),\qquad y(0)=0
の零状態応答である。
4.2解説
0<\tau<t では H(t-\tau)=H(\tau)=1 であり、端点での値は積分値に影響しない。したがって指数関数だけを積分すればよい。
5問題 4
y'+3y=f(t)、y(0)=y_0 とする。インパルス応答を h(t)=H(t)e^{-3t} として、解を零入力応答と零状態応答に分けて表せ。
5.1解答例
○
y(t)=\underbrace{y_0e^{-3t}}_{\text{零入力応答}}
+\underbrace{\int_0^t e^{-3(t-\tau)}f(\tau)\,d\tau}_{\text{零状態応答}}.
5.2解説
h*f だけで表せるのは初期値が 0 の応答である。非零初期値では同次方程式から生じる零入力応答を加える。
6問題 5
[t]=\mathrm s、[y]=\mathrm{mol} とする。
y'+\lambda y=A\delta(t-a)
で \lambda、\delta(t-a)、A の単位を求めよ。
6.1解答例
○
[\lambda]=\mathrm{s^{-1}},
\qquad
[\delta(t-a)]=\mathrm{s^{-1}},
\qquad
[A]=\mathrm{mol}.
6.2解説
y' の単位は \mathrm{mol/s} である。デルタ入力を時間積分すると A が残り、これは y の跳躍量になる。
7問題 6
a>0 とする。片側ラプラス変換
\mathcal L\{H(t-a)\},
\qquad
\mathcal L\{\delta(t-a)\}
を求め、2 式の違いを説明せよ。
7.1解答例
○
\operatorname{Re}s>0 で
\mathcal L\{H(t-a)\}=\frac{e^{-as}}s,
\qquad
\mathcal L\{\delta(t-a)\}=e^{-as}.
7.2解説
ステップ入力は a 以後も持続するため、
\int_a^\infty e^{-st}\,dt=\frac{e^{-as}}s
となる。デルタは台が 1 点に限られるので、その評価作用を滑らかな重み e^{-st} に適用すると、t=a での値 e^{-as} を取り出す。デルタの変換だけならすべての s\in\mathbb C で意味を持つが、2 式を同じ範囲で比べるため \operatorname{Re}s>0 とした。