相平面そうへいめん・線型化せんけいか・安定性あんていせい――統合演習とうごうえんしゅう

date2026-07-16document_iddoc_080c17d5eb0ba4147ba5834559003990description固有方向と Jordan 構造から相図を読み、線型化と安定性の定義を使い分ける統合演習である。prerequisites対角化・Jordan 形と連立系 / 線型化と固有値判定の入口 / 相平面と安定性type問題演習content_typeexercisestatusactive

mathdifferential-equationsexercisesystemsstability

data/lecture/math/differential-equations/linearization-and-eigenvalue-stability.lecture.n.md data/lecture/math/differential-equations/phase-planes-and-stability.lecture.n.md

1演習えんしゅう方針ほうしん

この演習えんしゅうでは、固有値こゆうちだけでなく固有方向こゆうほうこう、Jordan 構造こうぞう、時間じかんの向むきから相図そうずを説明せつめいする。また、正確せいかくな線型系せんけいけいの完全判定かんぜんはんていと、非線型系ひせんけいけいに対たいする局所的きょくしょてきな線型化定理せんけいかていりを区別くべつして適用てきようする。

2問題もんだい 1

x^{'} = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & - 2 \end{matrix}) x

の固有値こゆうちと固有方向こゆうほうこうを求もとめ、安定方向あんていほうこう・不安定方向ふあんていほうこうと軌道きどうの時間方向じかんほうこうを述のべよ。

2.1解答例かいとうれい

○

固有値こゆうちは $1, - 2$ で、固有こゆうベクトルとして $v_{u} = (1, 0)^{T}$ 、 $v_{s} = (1, - 3)^{T}$ を取とれる。一般解いっぱんかいは

x (t) = c_{u} e^{t} v_{u} + c_{s} e^{- 2 t} v_{s}

である。 $span (v_{s})$ 上じょうでは原点げんてんへ接近せっきんし、 $span (v_{u})$ 上じょうでは原点げんてんから離脱りだつする。 $c_{u} c_{s} \neq 0$ の一般軌道いっぱんきどうは、後方時間こうほうじかんでは安定方向あんていほうこうに漸近ぜんきんし、前方時間ぜんぽうじかんでは不安定方向ふあんていほうこうに漸近ぜんきんする。

Integrated Exercises: Phase Planes, Linearization, and Stability

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1Exercise Strategy

These exercises use eigenvalues, eigendirections, Jordan structure, and time orientation to describe phase portraits. Distinguish the complete criterion for an exact linear system from the local linearization theorem for a nonlinear system.

2Problem 1

For

x^{'} = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & - 2 \end{matrix}) x,

find the eigenvalues and eigendirections, and describe the stable direction, unstable direction, and time orientation of the orbits.

2.1Sample Answer

○

The eigenvalues are $1$ and $- 2$ . Corresponding eigenvectors are $v_{u} = (1, 0)^{T}$ and $v_{s} = (1, - 3)^{T}$ . The general solution is

x (t) = c_{u} e^{t} v_{u} + c_{s} e^{- 2 t} v_{s} .

On $span (v_{s})$ , solutions approach the origin as time increases; on $span (v_{u})$ , they depart from it. When $c_{u} c_{s} \neq 0$ , a general orbit is asymptotic to the stable direction in backward time and to the unstable direction in forward time.