線型連立系せんけいれんりつけいと行列指数関数ぎょうれつしすうかんすう――標準演習ひょうじゅんえんしゅう

date2026-07-16document_iddoc_2cdc4ad4fe7dad21bb2857a4065d4038description行列指数の時間発展、非対角行列の対角化、回転、一般高階方程式の一階化、非同次系の定数変化公式を確認する演習。prerequisites一階連立系と行列指数関数type問題演習content_typeexercisestatusactive

mathdifferential-equationsexerciselinear-systemsmatrix-exponential

1問題もんだい 1：時間発展じかんはってんの合成ごうせい

$E (t) = e^{A t}$ が $E (t + s) = E (t) E (s)$ を満みたすことを、初期値問題しょきちもんだいの一意性いちいせいから証明しょうめいせよ。また、 $E (t)$ が可逆かぎゃくであることを証明しょうめいせよ。

1.1解答例かいとうれい

○

$t$ の関数かんすう $E (t + s)$ と $E (t) E (s)$ は、いずれも $X^{'} = A X$ を満みたし、 $t = 0$ において $E (s)$ に一致いっちする。初期値問題しょきちもんだいの一意性いちいせいにより、

E (t + s) = E (t) E (s)

が成立せいりつする。 $s = - t$ とすれば

E (t) E (- t) = E (0) = I

である。したがって、 $E (t)$ は可逆かぎゃくであり、

E (t)^{- 1} = E (- t) = e^{- A t}

である。

Linear Systems and Matrix Exponentials — Standard Exercises

1Problem 1: Composition of Time Evolution

Use uniqueness for initial-value problems to prove that $E (t) = e^{A t}$ satisfies $E (t + s) = E (t) E (s)$ . Also prove that $E (t)$ is invertible.

1.1Sample Answer

○

As functions of $t$ , both $E (t + s)$ and $E (t) E (s)$ satisfy $X^{'} = A X$ and have the same value $E (s)$ at $t = 0$ . Uniqueness for the initial-value problem therefore gives

E (t + s) = E (t) E (s) .

Setting $s = - t$ yields

E (t) E (- t) = E (0) = I .

Consequently, $E (t)$ is invertible and

E (t)^{- 1} = E (- t) = e^{- A t} .